Statistické potrubí - Statistical manifold

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Statistické potrubí"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a statistická rozmanitost je Riemannovo potrubí, z nichž každý bod je a rozdělení pravděpodobnosti. Statistické potrubí poskytuje nastavení pro pole informační geometrie. The Fisherova metrika informací poskytuje a metrický na těchto potrubích. V návaznosti na tuto definici se funkce log-likelihood je diferencovatelná mapa a skóre je zařazení.^[1]

Příklady

Rodina všech normální distribuce,^{[je zapotřebí objasnění ]} parametrizováno pomocí očekávaná hodnota μ a rozptyl σ² ≥ 0, s Riemannova metrika dané Fisher informace matice, je statistický potrubí. Jeho geometrie je modelována hyperbolický prostor.

Jednoduchým příkladem statistického potrubí, převzatého z fyziky, by byl kanonický soubor: je to jednorozměrné potrubí s teplota T slouží jako souřadnice na potrubí. Pro jakoukoli pevnou teplotu T, jeden má prostor pravděpodobnosti: takže pro plyn atomů by to bylo rozdělení pravděpodobnosti rychlostí atomů. Jak jeden mění teplotu T, rozdělení pravděpodobnosti se liší.

Dalším jednoduchým příkladem převzatým z medicíny by bylo rozdělení pravděpodobnosti výsledků pacientů v reakci na množství podaného léku. To znamená, že u fixní dávky se někteří pacienti zlepšují a někteří ne: toto je základní prostor pravděpodobnosti. Pokud se dávka mění, pravděpodobnost výsledků se změní. Dávka je tedy souřadnicí na potrubí. Být a hladké potrubí je třeba měřit výsledky v reakci na svévolně malé změny v dávkování; nejedná se o prakticky realizovatelný příklad, ledaže by existoval již existující matematický model reakce na dávku, kde lze dávku libovolně měnit.

Definice

Nechat X být orientovatelné potrubí a nechte ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ být opatření na X. Ekvivalentně, pojďme ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ být pravděpodobnostní prostor na ${ displaystyle Omega = X}$, s sigma algebra ${ displaystyle { mathcal {F}} = Sigma}$ a pravděpodobnost ${ displaystyle P = mu}$.

Statistické potrubí S(X) z X je definován jako prostor všech měr ${ displaystyle mu}$ na X (pomocí sigma-algebry ${ displaystyle Sigma}$ fixní). Všimněte si, že tento prostor je nekonečně dimenzionální; běžně se to považuje za Fréchetový prostor. Body z S(X) jsou opatření.

Spíše než zacházet s nekonečně dimenzionálním prostorem S(X), je běžné pracovat s konečně-dimenzionální podmanifold, definovaný zvážením souboru rozdělení pravděpodobnosti parametrizován nějakým plynulým, neustále se měnícím parametrem ${ displaystyle theta}$. To znamená, že jeden zvažuje pouze ta opatření, která jsou vybrána parametrem. Pokud je parametr ${ displaystyle theta}$ je n-dimenzionální, pak obecně bude také podmanifold. Tímto způsobem lze chápat všechna konečná dimenzionální statistická potrubí.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Reference

Tento související s geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

Tento statistika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.