Comonotonicita - Comonotonicity

v teorie pravděpodobnosti, komonotonicita odkazuje hlavně na dokonalou pozitivní závislost mezi složkami a náhodný vektor, v podstatě říkají, že mohou být reprezentovány jako rostoucí funkce jedné náhodné proměnné. Ve dvou dimenzích je také možné uvažovat o dokonalé negativní závislosti, která se nazývá countermonotonicity.

Comonotonicita také souvisí s komonotonickou aditivitou Choquet integrální.^[1]

Koncept comonotonicity má aplikace v řízení finančních rizik a pojistněmatematická věda, viz např. Dhaene a kol. (2002a) a Dhaene a kol. (2002b). Zejména součet složek $X 1 + X 2 + \cdot \cdot \cdot + X n$ je nejrizikovější, pokud společné rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru $(X 1, X 2, . . . , X n)$ je komonotonický.^[2] Kromě toho $α$ -kvantil součtu se rovná součtu $α$ -kvantily jeho složek, proto jsou komonotonické náhodné proměnné kvantilní aditivem.^[3]^[4] Z praktického hlediska řízení rizik to znamená, že od diverzifikace existuje minimální (nebo případně žádné) snížení odchylek.

Pro rozšíření comonotonicity viz Jouini & Napp (2004) a Puccetti & Scarsini (2010).

Definice

Comonotonicita podmnožin $R n$

Podmnožina $S$ z $R n$ je nazýván komonotonický^[5] (někdy také neklesající^[6]) pokud pro všechny $(X 1, X 2, . . . , X n)$ a $(y 1, y 2, . . . , y n)$ v $S$ s $X i < y i$ pro některé $i \in {1, 2, . . . , n$ }, z toho vyplývá, že $X j \leq y j$ pro všechny $j \in {1, 2, . . . , n$ }.

Tohle znamená tamto $S$ je úplně objednaná sada.

Comonotonicita pravděpodobnostních opatření na $R n$

Nechat $μ$ být míra pravděpodobnosti na $n$ -dimenzionální Euklidovský prostor $R n$ a nechte $F$ označit jeho vícerozměrný kumulativní distribuční funkce, to je

{displaystyle F (x_ {1}, ldots, x_ {n}): = mu {igl (} {(y_ {1}, ldots, y_ {n}) v {mathbb {R}} ^ {n} uprostřed y_ {1} leq x_ {1}, ldots, y_ {n} leq x_ {n}} {igr)}, qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) v {mathbb {R}} ^ {n }.}

Kromě toho $F 1, . . . , F n$ označují kumulativní distribuční funkce $n$ jednorozměrný mezní rozdělení z $μ$ , to znamená

{displaystyle F_ {i} (x): = mu {igl (} {(y_ {1}, ldots, y_ {n}) v {mathbb {R}} ^ {n} uprostřed y_ {i} leq x} { igr)}, qquad xin {mathbb {R}}}

pro každého $i \in {1, 2, . . . , n$ }. Pak $μ$ je nazýván komonotonický, pokud

{displaystyle F (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = min _ {iin {1, ldots, n}} F_ {i} (x_ {i}), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) v {mathbb {R}} ^ {n}.}

Všimněte si, že míra pravděpodobnosti $μ$ je komonotonický, právě když je Podpěra, podpora $S$ je comonotonic podle výše uvedené definice.^[7]

Comonotonicity $R n$ -hodnocení náhodných vektorů

An $R n$ -hodnocení náhodného vektoru $X = (X 1, . . . , X n)$ je nazýván komonotonický, pokud je jeho vícerozměrný rozdělení (dále jen dopředné opatření ) je komonotonický, to znamená

{displaystyle Pr (X_ {1} leq x_ {1}, ldots, X_ {n} leq x_ {n}) = min _ {iin {1, ldots, n}} Pr (X_ {i} leq x_ {i} ), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) v {mathbb {R}} ^ {n}.}

Vlastnosti

An $R n$ -hodnocení náhodného vektoru $X = (X 1, . . . , X n)$ je komonotonický právě tehdy, pokud jej lze reprezentovat jako

{displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = _ {ext {d}} (F_ {X_ {1}} ^ {- 1} (U), ldots, F_ {X_ {n}} ^ {-1} (U)) ,,}

kde $= d$ znamená rovnost v distribuci, na pravé straně jsou levý spojitý generalizované inverze^[8] kumulativních distribučních funkcí $F X 1, . . . , F X n$ , a $U$ je rovnoměrně rozložená náhodná proměnná na jednotkový interval. Obecněji řečeno, náhodný vektor je komonotonický právě tehdy, pokud souhlasí v distribuci s náhodným vektorem, kde jsou všechny komponenty neklesající funkce (nebo všechny jsou nerostoucí funkce) stejné náhodné proměnné.^[9]

Horní hranice

Horní Fréchet – Hoeffding směřuje k kumulativním distribučním funkcím

Nechat $X = (X 1, . . . , X n)$ být $R n$ -hodnocení náhodného vektoru. Pak pro každého $i \in {1, 2, . . . , n$ },

{displaystyle Pr (X_ {1} leq x_ {1}, ldots, X_ {n} leq x_ {n}) leq Pr (X_ {i} leq x_ {i}), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) v {mathbb {R}} ^ {n},}

proto

{displaystyle Pr (X_ {1} leq x_ {1}, ldots, X_ {n} leq x_ {n}) leq min _ {iin {1, ldots, n}} Pr (X_ {i} leq x_ {i} ), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) v {mathbb {R}} ^ {n},}

s rovností všude tehdy a jen tehdy $(X 1, . . . , X n)$ je komonotonický.

Horní mez pro kovarianci

Nechat $(X, Y)$ být dvojrozměrný náhodný vektor takový, že očekávané hodnoty z $X$ , $Y$ a produkt $X Y$ existovat. Nechat $(X *, Y *)$ být komonotonickým dvojrozměrným náhodným vektorem se stejnými jednorozměrnými okrajovými distribucemi jako $(X, Y)$ .^{[poznámka 1]} Pak to vyplývá z Höffdingův vzorec pro kovarianci^[10] a horní Fréchet – Hoeffding to svázal

{displaystyle {ext {Cov}} (X, Y) leq {ext {Cov}} (X ^ {*}, Y ^ {*})}

a odpovídajícím způsobem

{displaystyle operatorname {E} [XY] leq operatorname {E} [X ^ {*} Y ^ {*}]}

s rovností právě tehdy $(X, Y)$ je komonotonický.^[11]

Všimněte si, že tento výsledek zobecňuje přeskupení nerovnost a Čebyševova nerovnost součtu.

Viz také

Copula (teorie pravděpodobnosti)

Poznámky

^ $(X *, Y *)$ vždy existuje, vezměte si například $(F X -1 (U), F Y -1 (U))$ viz část Vlastnosti výše.

Citace

^ (Sriboonchitta et al. 2010, s. 149–152)
^ (Kaas a kol. 2002, Věta 6)
^ (Kaas a kol. 2002, Věta 7)
^ (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Tvrzení 6.15)
^ (Kaas a kol. 2002, Definice 1)
^ Viz (Nelsen 2006, Definice 2.5.1) pro případ $n = 2$
^ Viz (Nelsen 2006, Věta 2.5.4) pro případ $n = 2$
^ (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Návrh A.3 (vlastnosti generalizované inverze))
^ (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Návrh 5.16 a jeho důkaz)
^ (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Lemma 5,24)
^ (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Věta 5.25 (2))

Reference

Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J .; Vyncke, David (2002a), „Koncept komonotonicity v pojistněmatematické vědě a financích: teorie“ (PDF), Pojištění: Matematika a ekonomie, 31 (1): 3–33, doi:10.1016 / s0167-6687 (02) 00134-8, PAN 1956509, Zbl 1051.62107, archivovány z originál (PDF) dne 09.12.2008, vyvoláno 2012-08-28
Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J .; Vyncke, David (2002b), „Koncept komonotonicity v pojistněmatematické vědě a financích: aplikace“ (PDF), Pojištění: Matematika a ekonomie, 31 (2): 133–161, CiteSeerX 10.1.1.10.789, doi:10.1016 / s0167-6687 (02) 00135-x, PAN 1932751, Zbl 1037.62107, archivovány z originál (PDF) dne 09.12.2008, vyvoláno 2012-08-28
Jouini, Elyès; Napp, Clotilde (2004), „Podmíněná komonotonicita“ (PDF), Rozhodování v ekonomice a financích, 27 (2): 153–166, doi:10.1007 / s10203-004-0049-r, ISSN 1593-8883, PAN 2104639, Zbl 1063.60002
Kaas, Rob; Dhaene, Jan; Vyncke, David; Goovaerts, Marc J .; Denuit, Michel (2002), „Jednoduchý geometrický důkaz, že komonotonická rizika mají konvexně nejvyšší částku“ (PDF), Bulletin ASTIN, 32 (1): 71–80, doi:10.2143 / ast.32.1.1015, PAN 1928014, Zbl 1061.62511
McNeil, Alexander J .; Frey, Rüdiger; Embrechts, Paul (2005), Kvantitativní řízení rizik. Koncepty, techniky a nástroje, Princeton Series in Finance, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12255-7, PAN 2175089, Zbl 1089.91037
Nelsen, Roger B. (2006), Úvod do spár, Springer Series in Statistics (druhé vydání), New York: Springer, str. xiv + 269, ISBN 978-0-387-28659-4, PAN 2197664, Zbl 1152.62030
Puccetti, Giovanni; Scarsini, Marco (2010), „Vícerozměrná komonotonicita“ (PDF), Journal of Multivariate Analysis, 101 (1): 291–304, doi:10.1016 / j.jmva.2009.08.003, ISSN 0047-259X, PAN 2557634, Zbl 1184.62081
Sriboonchitta, Songsak; Wong, Wing-Keung; Dhompongsa, Sompong; Nguyen, Hung T. (2010), Stochastická dominance a aplikace pro finance, rizika a ekonomiku, Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1-4200-8266-1, PAN 2590381, Zbl 1180.91010

[10] $(X *, Y *)$ vždy existuje, vezměte si například $(F X -1 (U), F Y -1 (U))$ viz část Vlastnosti výše.

[1] (Sriboonchitta et al. 2010, s. 149–152)

[2] (Kaas a kol. 2002, Věta 6)

[3] (Kaas a kol. 2002, Věta 7)

[4] (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Tvrzení 6.15)

[5] (Kaas a kol. 2002, Definice 1)

[6] Viz (Nelsen 2006, Definice 2.5.1) pro případ $n = 2$

[7] Viz (Nelsen 2006, Věta 2.5.4) pro případ $n = 2$

[8] (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Návrh A.3 (vlastnosti generalizované inverze))

[9] (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Návrh 5.16 a jeho důkaz)

[11] (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Lemma 5,24)

[12] (McNeil, Frey & Embrechts 2005, Věta 5.25 (2))

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[poznámka 1]

[10]

[11]