Technika časoprostorového diagramu - Spacetime triangle diagram technique

v fyzika a matematika, technika časoprostorového trojúhelníkového diagramu (STTD), také známý jako Smirnov metoda neúplného oddělení proměnných, je metoda přímé časoprostorové domény pro elektromagnetický a skalární pohyb.

Základní fáze

1. (Elektromagnetické pole ) Systém Maxwellových rovnic je redukován na druhý řád PDE pro polní komponenty nebo potenciály nebo jejich deriváty.
2. Prostorové proměnné jsou rozděleny pomocí pohodlných rozšíření do sérií a / nebo integrálních transformací - kromě těch, které zůstávají ohraničeny časovou proměnnou, což vede PDE hyperbolického typu.
3. Výsledný hyperbolický PDE a současně transformované počáteční podmínky tvoří problém, který je řešen pomocí Riemann – Volterraův integrální vzorec. Tím se získá obecné řešení vyjádřené dvojitým integrálem nad doménou trojúhelníku v ohraničené souřadnici - časoprostoru. Pak je tato doména nahrazena složitější, ale menší doménou, ve které je integrant v zásadě nenulový, nalezený pomocí striktně formalizovaného postupu zahrnujícího specifické trojúhelníkové diagramy časoprostoru (viz např. Odkazy.^[1][2][3]).
4. Ve většině případů získaná řešení, vynásobená známými funkcemi dříve oddělených proměnných, vedou k výrazům jasného fyzického významu (režimy nestacionárního stavu). V mnoha případech však lze nalézt explicitnější řešení, která shrnuje expanze nebo provádí inverzní integrální transformaci.

Technika STTD versus Green

Technika STTD patří k druhému mezi dvěma hlavními ansätze pro teoretické zpracování vln - frekvenční doména a přímá časoprostorová doména. Nejvíce zavedenou metodou pro nehomogenní (zdrojové) popisné rovnice vlnového pohybu je metoda založená na Greenově funkční technice.^[4] Za okolností popsaných v oddíle 6.4 a kapitole 14 Jacksonových Klasická elektrodynamika,^[4] lze ji redukovat na výpočet vlnového pole pomocí retardované potenciály (zejména Liénard – Wiechertovy potenciály ).

Navzdory určité podobnosti mezi metodami Greenova a Riemann – Volterra (v některé literatuře se Riemannova funkce nazývá Riemann – Greenova funkce ^[5]), jejich aplikace na problémy vlnového pohybu má za následek odlišné situace:

• Definice Greenovy funkce a odpovídajícího Greenova řešení nejsou jedinečné, protože ponechávají prostor pro přidání libovolného řešení homogenní rovnice; za určitých okolností je konkrétní volba Greenovy funkce a konečné řešení definována okrajovými podmínkami nebo věrohodností a fyzickou přípustností konstruovaných vlnových funkcí.^[6] Riemannova funkce je řešením homogenní rovnice, která navíc musí mít na charakteristikách určitou hodnotu, a je tedy definována jedinečným způsobem.
• Na rozdíl od Greenovy metody, která poskytuje konkrétní řešení nehomogenní rovnice, metoda Riemann – Volterra souvisí s odpovídající problém, zahrnující PDE a počáteční podmínky,

^[7][8] a byla to reprezentace Riemann – Volterra Smirnov použitý v jeho Kurz vyšší matematiky prokázat jedinečnost řešení výše uvedeného problému (viz^[8] položka 143).

• Obecně platí, že Greenův vzorec implikuje integraci v celé doméně variací souřadnic a času, zatímco integrace v řešení Riemann – Volterra se provádí v omezené oblasti trojúhelníku, čímž se zajistí hranice řešení Podpěra, podpora.
• Příčinnost (jedinečného) řešení Riemann – Volterra je poskytována automaticky, aniž by bylo nutné se vracet k dalším úvahám, jako je retardovaná povaha argumentu, šíření vln v určitém směru, konkrétní volba integrační cesty atd. (Obvykle popisný rovnice, jako je například klasická skalární rovnice, mají T-symetrie. Jsou to časově asymetrické počáteční podmínky, které definují šipka času přes omezení integrační domény ve Riemannově vzorci na ${ displaystyle t> 0}$, viz více v^[2] a konkrétní příklad uvedený níže.)
• Greenovu funkci lze snadno odvodit z Liénard-Wiechertova potenciálu zdroje pohybujícího se bodu, ale konkrétní výpočet vlnové funkce, nevyhnutelně zahrnující analýzu retardovaného argumentu, se může vyvinout v poměrně komplikovaném úkolu, pokud nebudou použity speciální techniky, jako je parametrická metoda ,^[9]

jsou vyvolány. Přístup Riemann-Volterra představuje stejné nebo dokonce vážnější obtíže, zvláště když se jedná o zdroje s omezenou podporou: zde musí být definovány skutečné limity integrace ze systému nerovností zahrnujících časoprostorové proměnné a parametry zdroje období. Tuto definici však lze striktně formalizovat pomocí prostoročasových trojúhelníkových diagramů. Hraje stejnou roli jako Feynmanovy diagramy v částicové fyzice poskytují STTD přísný a ilustrativní postup pro definici oblastí se stejným analytickým znázorněním integrační domény v 2D prostoru rozloženém neoddělenou prostorovou proměnnou a časem.

Nevýhody metody

• Metodu lze použít pouze na problémy se známou Riemannovou funkcí.
• Uplatnění metody a analýza získaných výsledků vyžaduje hlubší znalosti o speciální funkce matematické fyziky (např. provoz s zobecněné funkce, Funkce Mathieu různých druhů a Lommelovy funkce dvou proměnných ) než metoda Greenovy funkce.
• V některých případech vyžadují konečné integrály zvláštní pozornost v oblastech rychlé oscilace Riemannovy funkce.

Nejdůležitější konkretizace

Obecné úvahy

Několik účinných metod pro škálování elektromagnetických problémů v ortogonálních souřadnicích ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ byly diskutovány Borisovem v Ref.^[10] Nejdůležitější podmínky jejich použitelnosti jsou ${ displaystyle h_ {3} = 1}$ a ${ displaystyle částečné _ {3} (h_ {1} / h_ {2}) = 0}$, kde ${ displaystyle h_ {i}, i = 1,2,3}$ jsou metrické (Lamé) koeficienty (tak, aby prvek na druhou byla ${ displaystyle ds ^ {2} = h_ {1} ^ {2} dx_ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2} dx_ {2} ^ {2} + h_ {3} ^ {2 } dx_ {3} ^ {2}}$). Je pozoruhodné, že tato podmínka je splněna pro většinu prakticky důležitých souřadnicových systémů, včetně kartézských, válcových a sférických systémů obecného typu.

Pro problémy vlnového pohybu je volný prostor, základní metodou oddělování prostorových proměnných je použití integrálních transformací, zatímco pro problémy generování a šíření vln ve vodicích systémech jsou proměnné obvykle odděleny pomocí expanzí z hlediska základních funkcí (režimy) splňující požadované okrajové podmínky na povrchu vodicího systému.

Kartézské a válcové souřadnice

V Kartézský ${ displaystyle left {x_ {1} = x, ; x_ {2} = y, ; x_ {3} = z doprava }}$ a válcové souřadnice obecného typu ${ displaystyle left {x_ {1} = x_ {1} (x, y), ; x_ {2} = x_ {2} (x, y), ; x_ {3} = z vpravo }}$ oddělení prostorových proměnných vede k problému počáteční hodnoty pro a hyperbolické PDE známý jako 1D Klein-Gordonova rovnice (KGE)

${ displaystyle { begin {aligned} & left ( partial _ { tau} ^ {2} - částečné _ {z} ^ {2} + k ^ {2} right) psi ( tau, z) = f ( tau, z) & psi ( tau, z) = 0 { text {pro}} tau <0 end {zarovnáno}}}$

Tady ${ displaystyle tau}$ je časová proměnná vyjádřená v jednotkách délky pomocí určité charakteristické rychlosti (např. rychlosti světla nebo zvuku),${ displaystyle k}$ je konstanta vzniklá oddělením proměnných a ${ displaystyle f ( tau, z)}$ představuje část zdrojového kódu v počáteční vlnové rovnici, která zůstává po aplikaci postupů variabilní separace (sériový koeficient nebo výsledek integrální transformace).

Výše uvedený problém má známou Riemannovu funkci

${ displaystyle R_ {k} ( tau, z; tau ', z') = J_ {0} vlevo (k { sqrt {( tau - tau ') ^ {2} - (z-z ') ^ {2}}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle J_ {0} ( cdot)}$ je Besselova funkce prvního druhu řádu nula.

Kanonické proměnné ξ, η.

Počáteční proměnné z, τ.

Nejjednodušší STTD představující doménu integrace trojúhelníku vycházel z Riemann – Volterraův integrální vzorec.

Předávání kanonickým proměnným ${ displaystyle z, tau to xi, eta}$ získá se nejjednodušší STTD diagram, který odráží přímou aplikaci metody Riemann – Volterra,^[7][8] se základní doménou integrace představovanou prostoročasovým trojúhelníkem MPQ (tmavě šedá).

Otáčení STTD o 45 ° proti směru hodinových ručiček poskytuje běžnější formu STTD v konvenčním časoprostoru ${ displaystyle z, tau}$.

Pro homogenní počáteční podmínky (jedinečné^[8]) řešení problému je dáno Riemannovým vzorcem

${ displaystyle psi ( tau, z) = { frac {1} {2}} iint limity _ { trojúhelník MPQ} , d tau ', dz'R ( tau, z; tau ', z') f ( tau ', z').}$

Evoluci vlnového procesu lze sledovat pomocí pevného pozorovacího bodu (${ displaystyle z = { text {const}}}$) postupné zvyšování výšky trojúhelníku (${ displaystyle tau}$) nebo alternativně „chvilkový snímek“ vlnové funkce ${ displaystyle psi}$ posunutím časoprostorového trojúhelníku podél ${ displaystyle z}$ osa (${ displaystyle tau = { text {const}}}$).

Užitečnější a propracovanější STTD odpovídají pulzním zdrojům, jejichž Podpěra, podpora je časoprostor omezen. Každé omezení produkuje specifické úpravy v STTD, což vede k menším a komplikovanějším integračním doménám, ve kterých je integrace v podstatě nenulová. Níže jsou uvedeny příklady nejběžnějších úprav a jejich kombinovaných akcí.

Statická omezení oblasti zdroje^[10]

STTD pro zdroj omezený zleva letadlem ${ displaystyle z = 0}$, tj. ${ displaystyle f ( tau, z) = 0 { text {for}} z <0}$, což je případ, například pro cestující zdroj šířící se podél polo nekonečného zářiče ${ displaystyle l}$.

STTD pro zdroj omezený zprava letadlem ${ displaystyle z = l}$, tj. ${ displaystyle f ( tau, z) = 0 { text {for}} z> l.}$

STTD pro zdroj omezený z obou stran, tj. ${ displaystyle f ( tau, z) = 0 { text {for}} z notin [0, l]}$, což je případ, například pro cestující zdroj šířící se podél zářiče konečné délky ${ displaystyle l}$.

Kombinovaná akce omezení jiného typu, viz odkazy.^{[1][10][11][12][13]} pro podrobnosti a složitější příklady

STTD pro polo nekonečný zdrojový pulz cestování.

STTD pro konečný zdroj pulzu cestování.

STTD pro konečný cestující zdrojový pulz šířící se po polo nekonečném zářiči ${ displaystyle z in left [0, infty right)}$.

Posloupnost obecných STTD pro „krátký“ konečný zdrojový pulz trvání ${ displaystyle T}$ šířící se podél konečného radiátoru ${ displaystyle z v [0, l]}$ s konstantní rychlostí ${ displaystyle beta}$.^{[Citace je zapotřebí ]} V tomto případě lze zdroj vyjádřit ve formě

${ displaystyle f ( tau, z) = f_ {0} ( tau, z) krát h (z) h (lz) h doleva ( tau - { frac {z} { beta}} vpravo) h vlevo (T- tau + { frac {z} { beta}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle h ( cdot)}$ je Funkce Heaviside step.

Stejná sekvence STTD pro „dlouhý“ puls.^{[Citace je zapotřebí ]}

Sférické souřadnice

V sférický souřadný systém - který s ohledem na Obecné úvahy musí být zastoupeny v pořadí ${ displaystyle left {x_ {1} = theta, ; x_ {2} = varphi, ; x_ {3} = r doprava }}$, ujištění ${ displaystyle h_ {3} = 1}$ - je možné škálovat problémy pro příčné elektrické (TE) nebo příčné magnetické (TM) vlny pomocí funkcí Borgnis, Debyeho potenciálů nebo Hertzových vektorů. Následné oddělení úhlových proměnných ${ displaystyle theta, varphi}$ prostřednictvím rozšíření počáteční vlnové funkce ${ Displaystyle psi left ( tau, theta, varphi, r right)}$ a zdroj

${ displaystyle ; f left ( tau, theta, varphi, r right)}$ ve smyslu

${ displaystyle left ({ begin {pole} {c} sin m varphi cos m varphi end {pole}} vpravo) P_ {n} ^ {(m)} ( cos theta),}$

kde ${ displaystyle P_ {n} ^ {(m)} ! left ( cdot right)}$ je přidružený Legendrov polynom stupně ${ displaystyle n}$ a objednat ${ displaystyle m}$, má za následek problém počáteční hodnoty pro hyperbolický Euler – Poisson – Darbouxova rovnice^[3][10]

${ displaystyle { begin {aligned} & left ( částečné _ { tau} ^ {2} - částečné _ {r} ^ {2} + { frac {n (n + 1)} {r ^ {2}}} vpravo) psi _ {nm} ( tau, r) = f_ {nm} ( tau, r) & psi _ {nm} ( tau, r) = 0 { text {for}} tau <0 end {zarovnáno}}}$

je známo, že má Riemannovu funkci

${ displaystyle R ( tau, r; tau ', r') = {P_ {n}} vlevo ({ frac {r ^ {2} + {r '} ^ {2} - ( tau - tau ') ^ {2}} {2rr'}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle P_ {n} ! left ( cdot right)}$ je (obyčejný) Legendární polynom stupně ${ displaystyle n}$.

Ekvivalence řešení STTD (Riemann) a Greena

Technika STTD představuje alternativu ke klasické metodě Greenovy funkce. Vzhledem k jedinečnosti řešení daného počátečního hodnotového problému^[8] v konkrétním případě nulových počátečních podmínek se musí Riemannovo řešení poskytované technikou STTD shodovat s konvolucí kauzální Greenovy funkce a zdrojového členu.

Tyto dvě metody poskytují zjevně odlišné popisy vlnové funkce: např. Riemannova funkce k problému Klein-Gordon je Besselova funkce (která musí být integrována spolu se zdrojovým členem přes omezenou oblast představovanou základním trojúhelníkem MPQ) zatímco retardovaná Greenova funkce na Klein-Gordonovu rovnici je Fourierova transformace imaginárního exponenciálního členu (má být integrována do celé roviny) ${ displaystyle z ', tau'}$, viz například kap. 3.1. Ref.^[14]) redukovatelné na

${ displaystyle G_ {k} ( tau, z; tau ', z') = - { frac {1} {(2 pi) ^ {2}}} int limity _ {- infty} ^ { infty} dp , { rm {e}} ^ {ip (z-z ')} int limity _ {- infty} ^ { infty} d Omega , { frac {{ rm {e}} ^ {i Omega ( tau - tau ')}} { Omega ^ {2} -p ^ {2} -k ^ {2}}}.}$

Rozšíření integrace s ohledem na ${ displaystyle Omega}$ do komplexní domény pomocí věty o zbytku (s póly ${ displaystyle Omega _ {1,2}}$ vybráno jako ${ displaystyle lim _ { varepsilon na 0 +} vlevo ( pm { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2} + i varepsilon}} vpravo)}$k uspokojení podmínek příčinné souvislosti) jeden dostane

${ displaystyle G_ {k} ( tau, z; tau ', z') = { frac {1} { pi}} int limity _ {0} ^ { infty} dp , { frac { sin left (( tau - tau ') { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2}}} right)} { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2 }}}} cos (p (z-z ')).}$

Pomocí vzorce 3.876-1 z Gradshteyn a Ryzhik,^[15]

${ displaystyle int limity _ {0} ^ { infty} dx , { frac { sin (p { sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}})}} { sqrt { x ^ {2} + a ^ {2}}}} cos (bx) = left {{ begin {aligned} & { frac { pi} {2}} J_ {0} (a { sqrt {p ^ {2} -b ^ {2}}}) & { text {for}} & 0$ p> 0 end {zarovnáno}} vpravo. qquad (a> 0),}

reprezentace funkce posledního Greena se redukuje na výraz^[16]

${ displaystyle { frac {1} {2}} J_ {0} left (k { sqrt {( tau - tau ') ^ {2} - (z-z') ^ {2}}} right) h ( tau - tau '- | z-z' |),}$

ve kterém 1/2 je měřítko Riemannova vzorce a ${ displaystyle J_ {0} ( cdot)}$ funkce Riemann, zatímco funkce Heaviside step ${ displaystyle h ( cdot)}$ snižuje, pro ${ displaystyle tau> 0}$, oblast integrace do základního trojúhelníku MPQ, čímž se Greenovo funkční řešení rovna tomu, které poskytuje technika STTD.

Odkazy a poznámky

• V.V. Borisov, N.M. Reutova, A.B. Utkin, Elektromagnetické vlny produkované pulzem cestujícího proudu s vysokofrekvenční výplní. Journal of Physics A: Mathematical and General, 38(10), 2225–2240 (2005), doi: 10.1088 / 0305-4470 / 38/10/012
• V.V. Borisov, Nestabilní elektromagnetické vlny. Leningrad: Leningrad State University Press: Leningrad (1987, v ruštině)