Formát s plovoucí desetinnou čárkou s jednou přesností - Single-precision floating-point format

Formát s plovoucí desetinnou čárkou s jednou přesností (někdy nazývané FP32 nebo float32) je formát čísla počítače, obvykle okupující 32 bitů v paměť počítače; představuje široký dynamický rozsah číselných hodnot pomocí a plovoucí radiální bod.

Proměnná s plovoucí desetinnou čárkou může představovat širší rozsah čísel než a pevný bod proměnná stejné bitové šířky za cenu přesnosti. A podepsaný 32-bit celé číslo proměnná má maximální hodnotu 2³¹ - 1 = 2 147 483 647, zatímco an IEEE 754 32bitová proměnná base-2 s plovoucí desetinnou čárkou má maximální hodnotu (2 - 2⁻²³) × 2¹²⁷ ≈ 3.4028235 × 10³⁸. Všechna celá čísla se 7 nebo méně desetinnými číslicemi a libovolná 2ⁿ pro celé číslo −149 ≤ n ≤ 127, lze převést přesně na hodnotu plovoucí desetinné čárky s jednou přesností IEEE 754.

V IEEE 754-2008 Standard, 32bitový formát base-2 se oficiálně označuje jako binary32; to bylo voláno singl v IEEE 754-1985. IEEE 754 specifikuje další typy s plovoucí desetinnou čárkou, například 64-bit base-2 dvojnásobná přesnost a v poslední době reprezentace základny-10.

Jeden z prvních programovací jazyky poskytnout datové typy s plovoucí desetinnou čárkou s jednoduchou a dvojitou přesností bylo Fortran. Před rozšířeným přijetím IEEE 754-1985 záviselo na reprezentaci a vlastnostech datových typů s plovoucí desetinnou čárkou výrobce počítače a počítačový model a na základě rozhodnutí učiněných návrháři programovacího jazyka. Např., GW-BASIC Jedním přesným datovým typem byl 32bitový MBF formát s plovoucí desetinnou čárkou.

Jediná přesnost se nazývá NEMOVITÝ v Fortran,^[1] JEDNORÁZOVÝ v Společný Lisp,^[2] plovák v C, C ++, C#, Jáva,^[3] Plovák v Haskell,^[4] a Singl v Objekt Pascal (Delphi ), Visual Basic, a MATLAB. Nicméně, plovák v Krajta, Rubín, PHP, a OCaml a singl ve verzích Oktáva před 3.2 viz dvojnásobná přesnost čísla. Ve většině implementací PostScript, a nějaký vestavěné systémy, jediná podporovaná přesnost je jediná.

Binární formát s plovoucí desetinnou čárkou s jednou přesností IEEE 754: binary32

Standard IEEE 754 specifikuje a binary32 jako mající:

Podepsat bit: 1 bit
Exponent šířka: 8 bitů
Významné přesnost: 24 bitů (23 výslovně uloženo)

To dává od 6 do 9 významná desetinná místa přesnost. Pokud se desetinný řetězec s nejvýše 6 platnými číslicemi převede na reprezentaci s přesností na IEEE 754 a poté se převede zpět na desetinný řetězec se stejným počtem číslic, měl by konečný výsledek odpovídat původnímu řetězci. Pokud je číslo IEEE 754 s jednou přesností převedeno na desetinný řetězec s alespoň 9 platnými číslicemi a poté převedeno zpět na reprezentaci s jednou přesností, musí se konečný výsledek shodovat s původním číslem.^[5]

Znakový bit určuje znaménko čísla, které je také znaménkem znaménka. Exponent je 8bitové celé číslo bez znaménka od 0 do 255 palců zkreslená forma: hodnota exponentu 127 představuje skutečnou nulu. Exponenty se pohybují od -126 do +127, protože exponenty −127 (všechny 0 s) a +128 (všechny 1 s) jsou vyhrazeny pro speciální čísla.

Skutečný význam zahrnuje 23 zlomkových bitů napravo od binárního bodu a znak implicitní úvodní bit (nalevo od binárního bodu) s hodnotou 1, pokud exponent není uložen se všemi nulami. Tedy pouze 23 zlomků bitů významně se zobrazí ve formátu paměti, ale celková přesnost je 24 bitů (ekvivalent logu₁₀(2²⁴) ≈ 7,225 desetinných míst). Bity jsou rozloženy následovně:

Skutečná hodnota předpokládaná daným 32bitem binary32 data s daným podepsat, předpjatý exponent E (8bitové celé číslo bez znaménka) a a 23bitový zlomek je

{displaystyle (-1) ^ {b_ {31}} imes 2 ^ {(b_ {30} b_ {29} tečky b_ {23}) _ {2} -127} imes (1.b_ {22} b_ {21 } tečky b_ {0}) _ {2}}

,

který přináší

{displaystyle {ext {value}} = (- 1) ^ {ext {sign}} imes 2 ^ {(e-127)} imes left (1 + sum _ {i = 1} ^ {23} b_ {23- i} 2 ^ {- i} ight).}

V tomto příkladu:

${displaystyle {ext {sign}} = b_ {31} = 0}$ ,
${displaystyle (-1) ^ {ext {sign}} = (- 1) ^ {0} = + 1v {-1, + 1}}$ ,
${displaystyle e = b_ {30} b_ {29} tečky b_ {23} = součet _ {i = 0} ^ {7} b_ {23 + i} 2 ^ {+ i} = 124in {1, ldots, (2 ^ {8} -1) -1} = {1, ldots, 254}}$ ,
${displaystyle 2 ^ {(e-127)} = 2 ^ {124-127} = 2 ^ {- 3} v {2 ^ {- 126}, ldots, 2 ^ {127}}}$ ,
${displaystyle 1.b_ {22} b_ {21} ... b_ {0} = 1 + součet _ {i = 1} ^ {23} b_ {23-i} 2 ^ {- i} = 1 + 1cdot 2 ^ {- 2} = 1,25v {1,1 + 2 ^ {- 23}, ldots, 2-2 ^ {- 23}} podmnožina [1; 2-2 ^ {- 23}] podmnožina [1; 2) }$ .

tím pádem:

${displaystyle {ext {value}} = (+ 1) imes 2 ^ {- 3} imes 1,25 = + 0,15625}$ .

Poznámka:

${displaystyle 1 + 2 ^ {- 23} přibližně 1 000 000 119}$ ,
${displaystyle 2-2 ^ {- 23} přibližně 1 999 999 981}$ ,
${displaystyle 2 ^ {- 126} přibližně 1,175,494,35 obrázků 10 ^ {- 38}}$ ,
${displaystyle 2 ^ {+ 127} přibližně 1 701 411,83 obrázků 10 ^ {+ 38}}$ .

Kódování komponent

Binární exponent s plovoucí desetinnou čárkou s přesnou přesností je kódován pomocí offset-binární reprezentace, přičemž nulový offset je 127; také známý jako zkreslení exponentů ve standardu IEEE 754.

E_min = 01_H-7F_H = −126
E_max = FE_H-7F_H = 127
Vychýlení exponentů = 7F_H = 127

Abychom tedy získali skutečný exponent, jak je definován offsetově-binární reprezentací, musí se offset 127 odečíst od uloženého exponenta.

Uložené exponenty 00_H a FF_H jsou interpretovány speciálně.

Exponent	zlomek = 0	zlomek ≠ 0	Rovnice
00_H	nula	podnormální číslo	${displaystyle (-1) ^ {sign} imes 2 ^ {- 126} imes 0.fraction}$
01_H, ..., FE_H	normální hodnota		${displaystyle (-1) ^ {sign} imes 2 ^ {exponent-127} imes 1.frakce}$
FF_H	±nekonečno	NaN (tichý, signalizační)

Minimální kladná normální hodnota je ${displaystyle 2 ^ {- 126} přibližně 1,18 obrázků 10 ^ {- 38}}$ a minimální kladná (podnormální) hodnota je ${displaystyle 2 ^ {- 149} přibližně 1,4 obrazu 10 ^ {- 45}}$ .

Převod z desítkové reprezentace na formát binary32

Obecně platí přísný převod (včetně chování zaokrouhlování) reálného čísla do jeho ekvivalentního formátu binary32 podle samotného standardu IEEE 754.

Zde můžeme ukázat, jak převést reálné číslo base-10 do formátu IEEE 754 binary32 pomocí následujícího obrysu:

Zvažte reálné číslo s celým číslem a zlomkovou částí, například 12,375
Převést a normalizovat celočíselná část do binární
Převeďte zlomkovou část pomocí následující techniky, jak je znázorněno zde
Přidejte dva výsledky a upravte je tak, aby vytvářely správnou konečnou konverzi

Převod zlomkové části:Zvažte 0,375, zlomkovou část 12,375. Chcete-li jej převést na binární zlomek, vynásobte zlomek 2, vezměte celočíselnou část a opakujte s novým zlomkem o 2, dokud nebude nalezen zlomek nuly nebo dokud nebude dosaženo limitu přesnosti, což je 23 číslic zlomku pro formát IEEE 754 binary32 .

{displaystyle 0,375 imes 2 = 0,750 = 0 + 0,750Rightarrow b _ {- 1} = 0}

, celočíselná část představuje číslici binárního zlomku. Chcete-li pokračovat, znovu vynásobte 0,750 čísly 2

{displaystyle 0,750 imes 2 = 1,500 = 1 + 0,500Rightarrow b _ {- 2} = 1}

{displaystyle 0,500 imes 2 = 1.000 = 1 + 0.000Rightarrow b _ {- 3} = 1}

, zlomek = 0,000, ukončit

Vidíme to ${displaystyle (0,375) _ {10}}$ může být přesně vyjádřen v binárním formátu jako ${displaystyle (0,011) _ {2}}$ . Ne všechny desetinné zlomky lze reprezentovat v binárním zlomku konečné číslice. Například desetinnou čárku 0,1 nelze v binárním vyjádřit přesně, pouze aproximovat. Proto:

{displaystyle (12,375) _ {10} = (12) _ {10} + (0,375) _ {10} = (1100) _ {2} + (0,011) _ {2} = (1100,011) _ {2}}

Protože formát IEEE 754 binary32 vyžaduje, aby byly reprezentovány skutečné hodnoty ${displaystyle (1.x_ {1} x_ {2} ... x_ {23}) _ {2} jsou 2 ^ {e}}$ formát (viz Normalizované číslo, Denormalizované číslo ), 1100.011 je posunut doprava o 3 číslice ${displaystyle (1.100011) _ {2} jsou 2 ^ {3}}$

Nakonec vidíme, že: ${displaystyle (12,375) _ {10} = (1,100011) _ {2} je 2 ^ {3}}$

Z čehož odvodíme:

Exponent je 3 (a ve zkreslené formě je to tedy ${displaystyle 130 = 1000 0010}$ )
Frakce je 100011 (při pohledu napravo od binárního bodu)

Z nich můžeme vytvořit výslednou 32bitovou reprezentaci formátu IEEE 754 binary32 ve formátu 12.375:

{displaystyle (12,375) _ {10} = (0 10000010 10001100000000000000000) _ {2} = (41460000) _ {16}}

Poznámka: zvažte převod 68.123 na formát IEEE 754 binary32: Pomocí výše uvedeného postupu, který očekáváte ${displaystyle ({ext {42883EF9}}) _ {16}}$ přičemž poslední 4 bity jsou 1001. Kvůli výchozímu chování zaokrouhlování formátu IEEE 754 však získáte ${displaystyle ({ext {42883EFA}}) _ {16}}$ , jehož poslední 4 bity jsou 1010.

Příklad 1:Zvažte desetinnou čárku 1. Vidíme, že: ${displaystyle (1) _ {10} = (1,0) _ {2} je 2 ^ {0}}$

Z čehož odvodíme:

Exponent je 0 (a ve zkreslené formě je to proto) ${displaystyle 127 = 0111 1111}$ )
Zlomek je 0 (při pohledu napravo od binárního bodu v 1.0 je vše ${displaystyle 0 = 000 ... 0}$ )

Z nich můžeme vytvořit výslednou 32bitovou reprezentaci formátu IEEE 754 binary32 reálného čísla 1:

{displaystyle (1) _ {10} = (0 01111111 00000000000000000000000) _ {2} = ({ext {3F800000}}) _ {16}}

Příklad 2:Zvažte hodnotu 0,25. Vidíme, že: ${displaystyle (0,25) _ {10} = (1,0) _ {2} je 2 ^ {- 2}}$

Z čehož odvodíme:

Exponent je −2 (a v předpjaté formě je ${displaystyle (127 + (- 2)) _ {10} = (125) _ {10} = (0111 1101) _ {2}}$ )
Frakce je 0 (při pohledu napravo od binárního bodu v 1.0 jsou všechny nuly)

Z nich můžeme vytvořit výslednou 32bitovou reprezentaci formátu IEEE 754 binary32 ve skutečném čísle 0,25:

{displaystyle (0,25) _ {10} = (0 01111101 00000000000000000000000) _ {2} = ({ext {3E800000}}) _ {16}}

Příklad 3:Zvažte hodnotu 0,375. Viděli jsme to ${displaystyle 0,375 = {(1,1) _ {2}} je 2 ^ {- 2}}$

Proto po stanovení zastoupení 0,375 as ${displaystyle {(1.1) _ {2}} jsou 2 ^ {- 2}}$ můžeme postupovat jak je uvedeno výše:

Exponent je −2 (a ve zkreslené formě je) ${displaystyle (127 + (- 2)) _ {10} = (125) _ {10} = (0111 1101) _ {2}}$ )
Frakce je 1 (při pohledu napravo od binárního bodu v 1.1 je singl ${displaystyle 1 = x_ {1}}$ )

Z nich můžeme vytvořit výslednou 32bitovou reprezentaci formátu IEEE 754 binary32 ve skutečném čísle 0,375:

{displaystyle (0,375) _ {10} = (0 01111101 10000000000000000000000) _ {2} = ({ext {3EC00000}}) _ {16}}

Příklady s jednou přesností

Tyto příklady jsou uvedeny v bitech zastoupení, v hexadecimální a binární, hodnoty s plovoucí desetinnou čárkou. To zahrnuje znaménko, (zkreslený) exponent a význam.

0 00000000 00000000000000000000001₂ = 0000 0001₁₆ = 2⁻¹²⁶ × 2⁻²³ = 2⁻¹⁴⁹ ≈ 1.4012984643 × 10⁻⁴⁵                                                   (nejmenší kladné podnormální číslo)

0 00000000 11111111111111111111111₂ = 007f ffff₁₆ = 2⁻¹²⁶ × (1 − 2⁻²³) ≈ 1.1754942107 ×10⁻³⁸                                                   (největší podnormální číslo)

0 00000001 00000000000000000000000₂ = 0080 0000₁₆ = 2⁻¹²⁶ ≈ 1.1754943508 × 10⁻³⁸                                                   (nejmenší kladné normální číslo)

0 11111110 11111111111111111111111₂ = 7f7f ffff₁₆ = 2¹²⁷ × (2 − 2⁻²³) ≈ 3.4028234664 × 10³⁸                                                   (největší normální číslo)

0 01111110 11111111111111111111111₂ = 3f7f ffff₁₆ = 1 − 2⁻²⁴ ≈ 0,999999940395355225 (největší počet menší než jeden)

0 01111111 00000000000000000000000₂ = 3f80 0000₁₆ = 1 (jeden)

0 01111111 00000000000000000000001₂ = 3f80 0001₁₆ = 1 + 2⁻²³ ≈ 1,00000011920928955 (nejmenší číslo větší než jedna)

1 10000000 00000000000000000000000₂ = c000 0000₁₆ = −20 00000000 00000000000000000000000₂ = 0000 0000₁₆ = 01 00000000 00000000000000000000000₂ = 8000 0000₁₆ = −0                                   0 11111111 00000000000000000000000₂ = 7f80 0000₁₆ = nekonečno1 11111111 00000000000000000000000₂ = ff80 0000₁₆ = −infinity 0 10000000 10010010000111111011011₂ = 4049 0fdb₁₆ ≈ 3,14159274101257324 ≈ π (pi) 0 01111101 0101010101010101010101011₂ = 3eaa aaab₁₆ ≈ 0,333333343267440796 ≈ 1/3 x 11111111 10000000000000000000001₂ = ffc0 0001₁₆ = qNaN (na procesorech x86 a ARM) x 11111111 00000000000000000000001₂ = 80 000 ff₁₆ = sNaN (na procesorech x86 a ARM)

Ve výchozím nastavení se 1/3 zaokrouhluje nahoru, nikoli dolů dvojnásobná přesnost, kvůli sudému počtu bitů v myslivci. Bity 1/3 za zaoblením jsou 1010... což je více než 1/2 a jednotka na posledním místě.

Kódování qNaN a sNaN nejsou specifikována v IEEE 754 a implementovány odlišně na různých procesorech. The x86 rodina a PAŽE rodinné procesory používají k označení tichého NaN nejvýznamnější bit pole významového pole. The PA-RISC procesory používají bit k indikaci NaN signalizace.

Převod z binární s jednou přesností na desítkovou

Začneme hexadecimálním vyjádřením hodnoty, 41C80000, v tomto příkladu a převést jej na binární:

{displaystyle {ext {41C8 0000}} _ {16} = 0100 0001 1100 1000 0000 0000 0000 0000_ {2}}

pak jej rozdělíme na tři části: bit znaménka, exponent a význam.

Sign bit: ${displaystyle 0_ {2}}$
Exponent: ${displaystyle 1000 0011_ {2} = 83_ {16} = 131_ {10}}$
Význam: ${displaystyle 100 1000 0000 0000 0000 0000_ {2} = 480000_ {16}}$

Potom přidáme implicitní 24. bit do mantinelu:

Význam: ${displaystyle mathbf {1} 100 1000 0000 0000 0000 0000_ {2} = {ext {C80000}} _ {16}}$

a dekódovat hodnotu exponentu odečtením 127:

Surový exponent: ${displaystyle 83_ {16} = 131_ {10}}$
Dekódovaný exponent: ${displaystyle 131-127 = 4}$

Každý z 24 bitů mantinelu (včetně implicitního 24. bitu), bit 23 až bit 0, představuje hodnotu, počínaje 1 a polovinou pro každý bit, následovně:

bit 23 = 1 bit 22 = 0,5 bit 21 = 0,25 bit 20 = 0,125 bit 19 = 0,0625 bit 18 = 0,03125..bit 0 = 0,00000011920928955078125

Význam v tomto příkladu má tři bity nastavené: bit 23, bit 22 a bit 19. Nyní můžeme významový znak dekódovat přidáním hodnot představovaných těmito bity.

Dekódovaný význam: ${displaystyle 1 + 0,5 + 0,0625 = 1,5625 = {ext {C80000}} / 2 ^ {23}}$

Pak musíme znásobit základnu, 2, na moc exponenta, abychom získali konečný výsledek:

{displaystyle 1,5625 obrázků 2 ^ {4} = 25}

Tím pádem

{displaystyle {ext {41C8 0000}} = 25}

To odpovídá:

{displaystyle n = (- 1) ^ {s} imes (1 + m * 2 ^ {- 23}) imes 2 ^ {x-127}}

kde $s$ je znakový bit, $X$ je exponent a $m$ je význam.

Přesná omezení desetinných hodnot v [1, 16777216]

Desetinná čísla mezi 1 a 2: pevný interval 2⁻²³ (1+2⁻²³ je další největší float po 1)
Desetinná čísla mezi 2 a 4: pevný interval 2⁻²²
Desetinná čísla mezi 4 a 8: pevný interval 2⁻²¹
...
Desetinná čísla mezi 2ⁿ a 2^{n + 1}: pevný interval 2^n-23
...
Desetinná čísla mezi 2²²= 4194304 a 2²³= 8388608: pevný interval 2⁻¹=0.5
Desetinná čísla mezi 2²³= 8388608 a 2²⁴= 16777216: pevný interval 2⁰=1

Přesná omezení celočíselných hodnot

Celá čísla mezi 0 a 16777216 lze přesně vyjádřit (platí také pro záporná celá čísla mezi −16777216 a 0)
Celá čísla mezi 2²⁴= 16777216 a 2²⁵= 33554432 zaokrouhleno na násobek 2 (sudé číslo)
Celá čísla mezi 2²⁵ a 2²⁶ zaokrouhlete na násobek 4
...
Celá čísla mezi 2ⁿ a 2^{n + 1} zaokrouhlete na násobek 2^n-23
...
Celá čísla mezi 2¹²⁷ a 2¹²⁸ zaokrouhlete na násobek 2¹⁰⁴
Celá čísla větší nebo rovna 2¹²⁸ jsou zaokrouhleny na „nekonečno“.

Optimalizace

Návrh formátu s plovoucí desetinnou čárkou umožňuje různé optimalizace vyplývající ze snadného generování a logaritmus základny-2 aproximace z celočíselného pohledu na surový bitový vzor. Celočíselná aritmetika a posunutí bitů mohou poskytnout přibližnou hodnotu k vzájemná odmocnina (rychlá druhá odmocnina ), běžně vyžadováno v počítačová grafika.

Viz také

Standard IEEE pro pohyblivou řádovou čárkou (IEEE 754)
ISO / IEC 10967, jazykově nezávislá aritmetika
Primitivní datový typ
Numerická stabilita

Reference

^ „SKUTEČNÉ prohlášení“. scc.ustc.edu.cn.
^ "CLHS: Typ KRÁTKÝ-PLÁVAJÍCÍ, JEDNORÁZOVÝ, DVOJNÁSOBNÍ PLATÍ ..."
^ „Primitivní datové typy“. Dokumentace Java.
^ „6 předdefinovaných typů a tříd“. haskell.org. 20. července 2010.
^ William Kahan (1. října 1997). „Přednáškové poznámky o stavu normy IEEE 754 pro binární aritmetiku s plovoucí desetinnou čárkou“ (PDF). p. 4.

externí odkazy

[1] „SKUTEČNÉ prohlášení“. scc.ustc.edu.cn.

[2] "CLHS: Typ KRÁTKÝ-PLÁVAJÍCÍ, JEDNORÁZOVÝ, DVOJNÁSOBNÍ PLATÍ ..."

[3] „Primitivní datové typy“. Dokumentace Java.

[4] „6 předdefinovaných typů a tříd“. haskell.org. 20. července 2010.

[whyieee-5] William Kahan (1. října 1997). „Přednáškové poznámky o stavu normy IEEE 754 pro binární aritmetiku s plovoucí desetinnou čárkou“ (PDF). p. 4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Typy dat
Neinterpretováno	Bit Byte Trit Tryte Slovo Bitové pole
Číselné	Libovolná přesnost nebo bignum Komplex Desetinný Pevný bod Plovoucí bod Dvojitá přesnost Rozšířená přesnost Dlouhé dvojité Octuple přesnost Čtyřnásobná přesnost Jedna přesnost Snížená přesnost Minifloat Poloviční přesnost bfloat16 Celé číslo podepsanost Interval Racionální
Ukazatel	Adresa fyzický virtuální Odkaz
Text	Charakter Tětiva zakončeno nulou
Složený	Algebraický datový typ zobecněný Pole Asociativní pole Třída Závislé Rovnost Induktivní Průsečík Seznam Objekt metaobjekt Typ možnosti Produkt Záznam nebo struktura Upřesnění Soubor svaz označeno
jiný	Booleovský Spodní typ Sbírka Typ s výčtem Výjimka Typ funkce Neprůhledný datový typ Rekurzivní datový typ Semafor Proud Nejlepší typ Typová třída Typ jednotky Neplatné
Příbuzný témat	Abstraktní datový typ Datová struktura Obecný Druh metaclass Typ objektu Parametrický polymorfismus Primitivní datový typ Protokol rozhraní Podtypování Konstruktor typu Převod typu Typový systém Teorie typů Variabilní