Jednotka na posledním místě - Unit in the last place

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Jednotka na posledním místě“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v počítačová věda a numerická analýza, jednotka na posledním místě nebo jednotka s nejmenší přesností (ULP) je mezera mezi dvěma po sobě jdoucími plovoucí bod čísla, tj. hodnota nejméně významná číslice (číslice zcela vpravo) představuje, pokud je 1. Používá se jako míra přesnost v numerických výpočtech.^[1]

Definice

Jedna definice je: In základ b s přesností str, pokud b^E ≤ |X| < b^E+1, pak ULP (X) = b^{max (E,E_min)−str+1}.^[2]

Další definice, kterou navrhl John Harrison, se mírně liší: ULP (X) je vzdálenost mezi dvěma nejbližšími obkročmo čísla s plovoucí desetinnou čárkou A a b (tj. ti s A ≤ X ≤ b a A ≠ b), za předpokladu, že rozsah exponentů není horní hranice.^[3][4] Tyto definice se liší pouze při podepsaných silách radixu.^[2]

The IEEE 754 specifikace - následovaná veškerým moderním hardwarem s plovoucí desetinnou čárkou - vyžaduje, aby výsledek základní aritmetika operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnina od roku 1985 a FMA od roku 2008) správně zaoblené, což znamená, že při zaokrouhlování na nejbližší je výsledek zaokrouhleno do 0,5 ULP od matematicky přesného výsledku podle definice Johna Harrisona; naopak tato vlastnost naznačuje, že vzdálenost mezi zaokrouhleným výsledkem a matematicky přesným výsledkem je minimalizována (ale u případů na půli cesty je uspokojena dvěma po sobě jdoucími čísly s plovoucí desetinnou čárkou). Seriózní číselný knihovny spočítat základní transcendentální funkce mezi 0,5 a přibližně 1 ULP. Pouze několik knihoven je počítá do 0,5 ULP, tento problém je složitý kvůli Dilema stolního stolu.^[5]

Příklady

Příklad 1

Nechat X být kladné číslo s plovoucí desetinnou čárkou a předpokládat, že aktivní atribut zaokrouhlování je zaokrouhlit na nejbližší, vazby na sudé, označeno RN. Pokud ULP (X) je tedy menší nebo roven 1 RN (X + 1) > X. V opačném případě, RN (X + 1) = X nebo RN (X + 1) = X + ULP (X), v závislosti na hodnotě nejméně významné číslice a exponentu X. To je demonstrováno v následujícím Haskell kód zadaný na interaktivní výzvu:^{[Citace je zapotřebí ]}

> dokud (\X -> X == X+1) (+1) 0 :: Plovák1.6777216e7> to-11.6777215e7> to+11.6777216e7

Tady začínáme od 0 palců jediná přesnost a opakovaně přidávejte 1, dokud operace nezmění hodnotu. Protože významně pro jedno přesné číslo obsahuje 24 bitů, první celé číslo, které není přesně reprezentovatelné, je 2²⁴+1 a tato hodnota se zaokrouhlí na 2²⁴ v kole k nejbližšímu, vazby na sudé. Výsledek se tedy rovná 2²⁴.

Příklad 2

Následující příklad v Jáva přibližný π jako hodnotu s plovoucí desetinnou čárkou vyhledáním bracketingu dvou dvojitých hodnot π:

str₀ <π < str₁

// π s 20 desetinnými místyBigDecimal π = Nový BigDecimal("3.14159265358979323846");// zkrácení na dvojitou plovoucí desetinnou čárkoudvojnásobek p0 = π.doubleValue();// -> 3.141592653589793 (hex: 0x1.921fb54442d18p1)// p0 je menší než π, takže najděte další číslo reprezentovatelné jako dvojitédvojnásobek p1 = Matematika.další(p0);// -> 3.1415926535897936 (hex: 0x1.921fb54442d19p1)

Pak ULP (π) je určen jako

ULP (π) = str₁ - str₀

// ulp (π) je rozdíl mezi p1 a p0BigDecimal ulp = Nový BigDecimal(p1).odčítat(Nový BigDecimal(p0));// -> 4.44089209850062616169452667236328125E-16// (to je přesně 2 ** (- 51))// stejný výsledek při použití standardní funkce knihovnydvojnásobek ulpMath = Matematika.ulp(p0);// -> 4.440892098500626E-16 (hex: 0x1.0p-51)

Příklad 3

Další příklad v Krajta, také napsané na interaktivní výzvu, je:^{[Citace je zapotřebí ]}

>>> X = 1.0>>> str = 0>>> zatímco X != X + 1:...   X = X * 2...   str = str + 1... >>> X9007199254740992.0>>> str53>>> X + 2 + 19007199254740996.0

V tomto případě začneme s X = 1 a opakovaně to zdvojnásobujte, dokud X = X + 1. Podobně jako v příkladu 1 je výsledek 2⁵³ protože dvojnásobná přesnost formát s plovoucí desetinnou čárkou používá 53-bitový význam.

Jazyková podpora

The Zvyšte knihovny C ++ poskytuje funkce boost :: math :: float_next, podpora :: matematika :: float_prior, boost :: math :: nextafter a boost :: math :: float_advance získat blízké (a vzdálené) hodnoty s plovoucí desetinnou čárkou,^[6] a podpora :: matematika :: float_distance (a, b) k výpočtu vzdálenosti s plovoucí desetinnou čárkou mezi dvěma zdvojnásobení.^[7]

The Jazyk C. knihovna poskytuje funkce pro výpočet dalšího čísla s plovoucí desetinnou čárkou v daném směru: nextafterf a další pro plovák, další a další pro dvojnásobek, nextafterl a další pro dlouhý dvojitý, deklarováno v <math.h>. Poskytuje také makra FLT_EPSILON, DBL_EPSILON, LDBL_EPSILON, které představují kladný rozdíl mezi 1,0 a dalším vyšším reprezentovatelným číslem v odpovídajícím typu (tj. ULP jednoho).^[8]

The Jáva funkce poskytuje standardní knihovna Math.ulp (double) a Math.ulp (float). Byly představeny s Java 1.5.

The Rychlý standardní knihovna poskytuje přístup k dalšímu číslu s plovoucí desetinnou čárkou v určitém směru prostřednictvím vlastností instance nextDown a další. Poskytuje také vlastnost instance ulp a vlastnost typu ulpOfOne (což odpovídá C makrům jako FLT_EPSILON^[9]) pro typy Swift s plovoucí desetinnou čárkou.^[10]

Viz také

• IEEE 754
• ISO / IEC 10967, část 1 vyžaduje funkci ulp
• Nejméně významný bit (LSB)
• Stroj epsilon

Reference

Bibliografie

• Goldberg, David (1991-03). „Chyba zaokrouhlování“ v „Co by měl každý počítačový vědec vědět o aritmetice s plovoucí desetinnou čárkou“. Computing Surveys, ACM, březen 1991. Citováno z http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html#689.
• Muller, Jean-Michel (2010). Příručka aritmetiky s plovoucí desetinnou čárkou. Boston: Birkhäuser. s. 32–37. ISBN  978-0-8176-4704-9.