Formulace Shvab – Zeldovich - Shvab–Zeldovich formulation

The Formulace Shvab – Zeldovich je přístup k odstranění podmínek chemického zdroje z konzervační rovnice pro energetické a chemické druhy lineárními kombinacemi nezávislých proměnných, když jsou konzervační rovnice vyjádřeny v běžné formě. Vyjádření konzervačních rovnic v běžné formě často omezuje rozsah použitelnosti formulace. Metodu poprvé představil V. A. Švab v roce 1948^[1] a tím Jakov Zeldovič v roce 1949^[2].

Metoda

Pro zjednodušení předpokládejme, že spalování probíhá v jediné globální nevratné reakci

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} nu _ {i} ' Re _ {i} rightarrow sum _ {i = 1} ^ {N} nu _ {i}' ' Re _ {i}}$

kde ${ displaystyle Re _ {i}}$ je i-tý chemický druh z celkového počtu ${ displaystyle N}$ druhy a ${ displaystyle nu _ {i} '}$ a ${ displaystyle nu _ {i} '}}$ jsou stechiometrické koeficienty reaktantů a produktů. Poté to lze zobrazit z zákon hromadné akce že rychlost krtků vyprodukovaných na jednotku objemu jakéhokoli druhu ${ displaystyle omega}$ je konstantní a dané

${ displaystyle omega = { frac {w_ {i}} {W_ {i} ( nu _ {i} '' - nu _ {i} ')}}}$

kde ${ displaystyle w_ {i}}$ je množství druhů, které jsem vyprodukoval nebo spotřeboval na jednotku objemu a ${ displaystyle W_ {i}}$ je molekulová hmotnost druhů i.

Hlavní aproximací zahrnutou do Shvab-Zeldovichovy formulace je, že všechny binární difúzní koeficienty ${ displaystyle D}$ všechny páry druhů jsou stejné a stejné jako tepelná difuzivita. Jinými slovy, Lewisovo číslo všech druhů jsou konstantní a rovné jednomu. To omezuje rozsah použitelnosti formulace, protože ve skutečnosti, s výjimkou methanu, ethylenu, kyslíku a některých dalších reaktantů, se Lewisova čísla významně liší od jednoty. Stabilní, nízká Machovo číslo konzervační rovnice pro druhy a energii ve smyslu změněných nezávislých proměnných^[3]

${ displaystyle alpha _ {i} = Y_ {i} / [W_ {i} ( nu _ {i} '' - nu _ {i} ')] quad { text {a}} quad alpha _ {T} = { frac { int _ {T_ {ref}} ^ {T} c_ {p} , mathrm {d} T} { sum _ {i = 1} ^ {N} h_ {i} ^ {0} W_ {i} ( nu _ {i} '- nu _ {i}')}}}$

kde ${ displaystyle Y_ {i}}$ je hmotnostní zlomek druhů i, ${ displaystyle c_ {p} = součet _ {i = 1} ^ {N} Y_ {i} c_ {p, i}}$ je měrné teplo při stálém tlaku směsi, ${ displaystyle T}$ je teplota a ${ displaystyle h_ {i} ^ {0}}$ je entalpie formace druhů i, snížit na

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} alpha _ {i} - rho D nabla alpha _ {i}] = omega, nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} alpha _ {T} - rho D nabla alpha _ {T}] = omega end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle rho}$ je plyn hustota a ${ displaystyle { boldsymbol {v}}}$ je rychlost proudění. Výše uvedená sada ${ displaystyle N + 1}$ nelineární rovnice vyjádřené v běžné formě lze nahradit ${ displaystyle N}$ lineární rovnice a jedna nelineární rovnice. Předpokládejme, že nelineární rovnice odpovídá ${ displaystyle alpha _ {1}}$ aby

${ displaystyle nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} alpha _ {1} - rho D nabla alpha _ {1}] = omega}$

pak definováním lineárních kombinací ${ displaystyle beta _ {T} = alfa _ {T} - alfa _ {1}}$ a ${ displaystyle beta _ {i} = alpha _ {i} - alpha _ {1}}$ s ${ Displaystyle i neq 1}$ , zbývající ${ displaystyle N}$ požadované řídící rovnice se stanou

${ displaystyle { begin {aligned} nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} beta _ {i} - rho D nabla beta _ {i}] = 0, nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} beta _ {T} - rho D nabla beta _ {T}] = 0. end {zarovnáno}}}$

Lineární kombinace automaticky odstraní nelineární reakční člen z výše uvedeného ${ displaystyle N}$ rovnice.

Formulace Shvab – Zeldovich – Liñán

Formulaci Shvab – Zeldovich – Liñán představil Amable Liñán v roce 1991^[4]^[5] pro problémy s difuzním plamenem, kde je chemická časová stupnice nekonečně malá (Burke – Schumannův limit ), takže plamen vypadá jako tenká reakční vrstva. Reaktanty mohou mít Lewisovo číslo, které se nemusí nutně rovnat jednomu.

Předpokládejme nedimenzionální skalární rovnice pro hmotnostní zlomek paliva ${ displaystyle Y_ {F}}$ (definováno tak, že v proudu paliva přebírá jednotkovou hodnotu), hmotnostní zlomek oxidačního činidla ${ displaystyle Y_ {O}}$ (definováno tak, že v proudu oxidačního činidla má jednotkovou hodnotu) a bezrozměrná teplota ${ displaystyle T}$ (měřeno v jednotkách teploty proudu okysličovadla) jsou dány vztahem^[6]

{ displaystyle { begin {aligned} rho { frac { částečné Y_ {F}} { částečné t}} + rho mathbf {v} cdot nabla Y_ {F} & = { frac { 1} {Le_ {F}}} nabla cdot ( rho D_ {T} nabla Y_ {F}) - omega, rho { frac { částečné Y_ {O}} { částečné }} + rho mathbf {v} cdot nabla Y_ {O} & = { frac {1} {Le_ {O}}} nabla cdot ( rho D_ {T} nabla Y_ {O} ) -S omega, rho { frac { částečné T} { částečné t}} + rho mathbf {v} cdot nabla T & = nabla cdot ( rho D_ {T} nabla T) + q omega end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle omega = Da , Y_ {F} Y_ {O} e ^ {- E / RT}}$ je reakční rychlost, ${ displaystyle Da}$ je vhodné Damköhlerovo číslo, ${ displaystyle S}$ je hmotnost proudu okysličovadla potřebná ke spalování jednotkové hmotnosti proudu paliva, ${ displaystyle q}$ je bezrozměrné množství tepla uvolněného na jednotku hmotnosti spáleného proudu paliva a ${ displaystyle e ^ {- E / RT}}$ je Arrhenův exponent. Tady, ${ displaystyle Le_ {F}}$ a ${ displaystyle Le_ {O}}$ jsou Lewisovo číslo paliva a kyslíku a ${ displaystyle D_ {T}}$ je tepelná difuzivita. V Burke – Schumannův limit, ${ displaystyle Da rightarrow infty}$ vedoucí k rovnovážnému stavu

{ displaystyle Y_ {F} Y_ {O} = 0}

.

V tomto případě se stanou reakční termíny na pravé straně Dirac delta funkce. Aby tento problém vyřešil, představil Liñán následující funkce

{ displaystyle { begin {aligned} Z = { frac {SY_ {F} -Y_ {O} +1} {S + 1}}, & qquad { tilde {Z}} = { frac {{ tilde {S}} Y_ {F} -Y_ {O} +1} {{ tilde {S}} + 1}}, H = { frac {T-T_ {0}} {T_ {s } -T_ {0}}} + Y_ {F} + Y_ {O} -1, & qquad { tilde {H}} = { frac {T-T_ {0}} {T_ {s} -T_ {0}}} + { frac {Y_ {O}} {Le_ {O}}} + { frac {Y_ {F} -1} {Le_ {F}}} end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle { tilde {S}} = SLe_ {O} / Le_ {F}}$ , ${ displaystyle T_ {0}}$ je teplota proudu paliva a ${ displaystyle T_ {s}}$ je adiabatická teplota plamene, obě měřeny v jednotkách teploty proudu oxidačního činidla. Zavedení těchto funkcí redukuje řídící rovnice na

{ displaystyle { begin {zarovnáno} rho { frac { částečné Z} { částečné t}} + rho mathbf {v} cdot nabla Z & = { frac {1} {Le_ {m} }} nabla cdot ( rho D_ {T} nabla { tilde {Z}}), rho { frac { částečné H} { částečné t}} + rho mathbf {v} cdot nabla H & = nabla cdot ( rho D_ {T} nabla { tilde {H}}), end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle Le_ {m} = Le_ {O} (S + 1) / ({ tilde {S}} + 1)}$ je střední (nebo efektivní) Lewisovo číslo. Vztah mezi ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle { tilde {Z}}}$ a mezi ${ displaystyle H}$ a ${ displaystyle { tilde {H}}}$ lze odvodit z rovnovážného stavu.

Na stechiometrickém povrchu (povrch plamene), oba ${ displaystyle Y_ {F}}$ a ${ displaystyle Y_ {O}}$ jsou rovny nule, což vede k ${ displaystyle Z = Z_ {s} = 1 / (S + 1)}$ , ${ displaystyle { tilde {Z}} = { tilde {Z}} _ {s} = 1 / ({ tilde {S}} + 1)}$ , ${ displaystyle H = H_ {s} = (T_ {f} -T_ {0}) / (T_ {s} -T_ {0}) - 1}$ a ${ displaystyle { tilde {H}} = { tilde {H}} _ {s} = (T_ {f} -T_ {0}) / (T_ {s} -T_ {0}) - 1 / Le_ {F}}$ , kde ${ displaystyle T_ {f}}$ je teplota plamene (měřená v jednotkách teploty proudu okysličovadla), která se obecně nerovná ${ displaystyle T_ {s}}$ ledaže ${ displaystyle Le_ {F} = Le_ {O} = 1}$ . Na proudu paliva, protože ${ displaystyle Y_ {F} -1 = Y_ {O} = T-T_ {0} = 0}$ , my máme ${ displaystyle Z-1 = { tilda {Z}} - 1 = H = { tilda {H}} = 0}$ . Podobně na proudu oxidačního činidla, protože ${ displaystyle Y_ {F} = Y_ {O} -1 = T-1 = 0}$ , my máme ${ displaystyle Z = { tilde {Z}} = H- (1-T_ {0}) / (T_ {s} -T_ {0}) = { tilde {H}} - (1-T_ {0 }) / (T_ {s} -T_ {0}) - 1 / Le_ {O} + 1 / Le_ {F} = 0}$ .

Definuje rovnovážný stav^[7]

{ displaystyle { begin {aligned} { tilde {Z}} <{ tilde {Z}} _ {s}: & qquad Y_ {F} = 0, , , , Y_ {O} = 1 - { frac { tilde {Z}} {{ tilde {Z}} _ {s}}} = 1 - { frac {Z} {Z_ {s}}}, { tilde {Z }}> { tilde {Z}} _ {s}: & qquad Y_ {O} = 0, , , , Y_ {F} = { frac {{ tilde {Z}} - { tilde {Z}} _ {s}} {1 - { tilde {Z}} _ {s}}} = { frac {Z-Z_ {s}} {1-Z_ {s}}}. end {zarovnaný}}}

Výše uvedené vztahy definují po částech funkci ${ displaystyle Z ({ tilde {Z}})}$

{ displaystyle Z = { begin {cases} { tilde {Z}} / Le_ {m}, quad { text {if}} , , { tilde {Z}} <{ tilde {Z }} _ {s} Z_ {s} + Le ({ tilde {Z}} - { tilde {Z}} _ {s}) / Le_ {m}, quad { text {if}} , , { tilde {Z}}> { tilde {Z}} _ {s} end {cases}}}

kde ${ displaystyle Le_ {m} = { tilde {Z}} _ {s} / Z_ {s} = (S + 1) / (S / Le_ {F} +1)}$ je průměrné Lewisovo číslo. To vede k nelineární rovnici pro ${ displaystyle { tilde {Z}}}$ . Od té doby ${ displaystyle H - { tilde {H}}}$ je pouze funkcí ${ displaystyle Y_ {F}}$ a ${ displaystyle Y_ {O}}$ , výše uvedené výrazy lze použít k definování funkce ${ displaystyle H ({ tilde {Z}}, { tilde {H}})}$

{ displaystyle H = { tilde {H}} + { begin {cases} (1 / Le_ {F} -1) - (1 / Le_ {O} -1) (1 - { tilde {Z}} / { tilde {Z}} _ {s}), quad { text {if}} , , { tilde {Z}} <{ tilde {Z}} _ {s} (1 / Le_ {F} -1) (1 - { tilde {Z}}) / (1 - { tilde {Z}} _ {s}), quad { text {if}} , , { tilde {Z}}> { tilde {Z}} _ {s} end {cases}}}

S příslušnými okrajovými podmínkami pro ${ displaystyle { tilde {H}}}$ , problém lze vyřešit.

To lze ukázat ${ displaystyle { tilde {Z}}}$ a ${ displaystyle { tilde {H}}}$ jsou konzervované skaláry, to znamená, že jejich deriváty jsou spojité při křížení reakčního listu, zatímco ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle H}$ mít přechodové skoky přes plamennou desku

Reference

^ Shvab, V. A. (1948). Vztah mezi teplotními a rychlostními poli plamene plynového hořáku. Bože. Energ. Izd., Moskva-Leningrad.
^ Y. B. Zel'dovich, Zhur. Tekhn. Fiz. 19 1199 (1949), anglický překlad, NACA Tech. Memo. Č. 1296 (1950)
^ Williams, F. A. (2018). Teorie spalování. CRC Press.
^ A. Liñán, The structure of diffusion flames, in Fluid Dynamical Aspects of Combustion Theory, M. Onofri and A. Tesei, eds., Harlow, UK. Longman Scientific and Technical, 1991, s. 11–29
^ Liñán, A., & Williams, F. A. (1993). Základní aspekty spalování.
^ Linán, A. (2001). Difúzní řízené spalování. In Mechanics for a New Mellennium (pp. 487-502). Springer, Dordrecht.
^ Linán, A., Orlandi, P., Verzicco, R., & Higuera, F. J. (1994). Účinky nejednotnosti Lewisových čísel v difúzních plamenech.

[1] Shvab, V. A. (1948). Vztah mezi teplotními a rychlostními poli plamene plynového hořáku. Bože. Energ. Izd., Moskva-Leningrad.

[2] Y. B. Zel'dovich, Zhur. Tekhn. Fiz. 19 1199 (1949), anglický překlad, NACA Tech. Memo. Č. 1296 (1950)

[3] Williams, F. A. (2018). Teorie spalování. CRC Press.

[4] A. Liñán, The structure of diffusion flames, in Fluid Dynamical Aspects of Combustion Theory, M. Onofri and A. Tesei, eds., Harlow, UK. Longman Scientific and Technical, 1991, s. 11–29

[5] Liñán, A., & Williams, F. A. (1993). Základní aspekty spalování.

[6] Linán, A. (2001). Difúzní řízené spalování. In Mechanics for a New Mellennium (pp. 487-502). Springer, Dordrecht.

[7] Linán, A., Orlandi, P., Verzicco, R., & Higuera, F. J. (1994). Účinky nejednotnosti Lewisových čísel v difúzních plamenech.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]