Shephardsův problém - Shephards problem - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Shephardův problém, je následující geometrická otázka položená uživatelem Geoffrey Colin Shephard  (1964 ): pokud K. a L jsou centrálně symetrické konvexní těla v n-dimenzionální Euklidovský prostor tak, že kdykoli K. a L jsou předpokládané na a nadrovina, objem projekce K. je menší než objem projekce L, pak z toho vyplývá, že objem K. je menší než u L?

V tomto případě „centrálně symetrický“ znamená, že odraz z K. v původu, −K, je překlad z K.a podobně pro L. Li π_k : Rⁿ → Π_k je projekce z Rⁿ na některé k-dimenzionální nadrovina Π_k (nemusí to být nutně souřadnicová nadrovina) a PROTI_k označuje k-dimenzionální objem, Shephardovým problémem je určit pravdivost nebo nepravdivost implikace

${ displaystyle V_ {k} ( pi _ {k} (K)) leq V_ {k} ( pi _ {k} (L)) { mbox {pro všechny}} 1 leq k$

PROTI_k(π_k(K.)) je někdy známý jako jas z K. a funkce PROTI_k Ó π_k jako (k-dimenzionální) funkce jasu.

V rozměrech n = 1 a 2, odpověď na Shephardův problém je „ano“. V roce 1967 však Petty a Schneider ukázali, že odpověď je „ne“ pro každého n ≥ 3. Řešení Shephardova problému vyžaduje Minkowského první nerovnost pro konvexní těla a pojem projekční tělesa konvexních těl.

Viz také

• Busemann – Drobný problém

Reference

• Gardner, Richard J. (2002). „Brunn-Minkowského nerovnost“. Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 39 (3): 355–405 (elektronické). doi:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.
• Petty, C.M. (1967). "Projekční orgány". Proc. Kolokvium o konvexitě (Kodaň, 1965): 234–241.
• Schneider, Rolf (1967). „Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper“. Matematika. Z. (v němčině). 101: 71–82. doi:10.1007 / BF01135693.
• Shephard, G. C. (1964), „Shadow systems of convex sets“, Israel Journal of Mathematics, 2 (4): 229–236, doi:10.1007 / BF02759738, ISSN  0021-2172, PAN  0179686