Busemann – Drobný problém - Busemann–Petty problem

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematické oblasti konvexní geometrie, Busemann – Drobný problém, představil Herbert Busemann a Clinton Myers Petty  (1956, problém 1), ptá se, zda je pravda, že symetrický konvexní tělo s většími středními částmi nadroviny má větší objem. Přesněji řečeno, pokud K., T jsou symetrická konvexní tělesa v Rⁿ takhle

${ displaystyle mathrm {Vol} _ {n-1} , (K cap A) leq mathrm {Vol} _ {n-1} , (T cap A)}$

pro každou nadrovinu A procházející původem, je pravda, že sv_n K. ≤ sv_n T?

Busemann a Petty ukázali, že odpověď je kladná, pokud K. je míč. Obecně platí, že odpověď je kladná v rozměrech nejvýše 4 a záporná v rozměrech nejméně 5.

Dějiny

Larman a Claude Ambrose Rogers  (1975 ) ukázal, že Busemann – Petty problém má negativní řešení v rozměrech nejméně 12 a tato vazba byla několika dalšími autory redukována na rozměry nejméně 5. Míč (1988) poukázal na obzvláště jednoduchý protiklad: všechny části jednotkové objemové krychle mají míru maximálně √2, zatímco v rozměrech alespoň 10 mají všechny střední části jednotkové objemové koule míru alespoň √2. Lutwak (1988) představen průsečíky, a ukázal, že Busemann – Pettyho problém má v dané dimenzi pozitivní řešení právě tehdy, když je každé symetrické konvexní těleso průsečíkem. Průnikovým tělesem je hvězdné těleso, jehož radiální funkce v daném směru u je objem sekce nadroviny u^⊥ ∩ K. pro nějaké pevné hvězdné tělo K.. Gardner (1994) použil Lutwakův výsledek k prokázání, že problém Busemann – Petty má pozitivní řešení, pokud je dimenze 3. Zhang (1994) nesprávně tvrdil, že krychle jednotky v R⁴ není průsečíkem, což by znamenalo, že problém Busemann – Petty má negativní řešení, pokud je dimenze alespoň 4. Nicméně Koldobsky (1998a) ukázal, že centrálně symetrické těleso ve tvaru hvězdy je průsečíkem právě tehdy, když je funkce 1 / ||X|| je pozitivní definitivní rozdělení, kde || x || je homogenní funkce stupně 1, která je 1 na hranici těla, a Koldobsky (1998b) používal toto ukázat, že jednotkové koule l^str
_n, 1 < str ≤ ∞ palce n-rozměrný prostor s l^str norma jsou průsečíky pro n = 4, ale nejsou průsečíky pro n ≥ 5, což ukazuje, že Zhangův výsledek byl nesprávný. Zhang (1999) poté ukázal, že Busemann – Pettyho problém má v dimenzi 4 pozitivní řešení. Richard J. Gardner, A. Koldobsky a T. Schlumprecht (1999 ) poskytlo jednotné řešení pro všechny rozměry.

Viz také

• Shephardův problém

Reference

• Ball, Keith (1988), „Některé poznámky ke geometrii konvexních množin“, Geometrické aspekty funkční analýzy (1986/87), Poznámky k přednášce v matematice., 1317, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 224–231, doi:10.1007 / BFb0081743, ISBN  978-3-540-19353-1, PAN  0950983
• Busemann, Herbert; Petty, Clinton Myers (1956), "Problémy s konvexními těly", Mathematica Scandinavica, 4: 88–94, doi:10,7146 / math.scand.a-10457, ISSN  0025-5521, PAN  0084791, archivovány z originál dne 25. 8. 2011
• Gardner, Richard J. (1994), „Pozitivní odpověď na problém Busemann-Petty ve třech rozměrech“, Annals of Mathematics, Druhá série, 140 (2): 435–447, doi:10.2307/2118606, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118606, PAN  1298719
• Gardner, Richard J .; Koldobsky, A .; Schlumprecht, T. (1999), „Analytické řešení Busemann-Pettyho problému na úsecích konvexních těles“, Annals of Mathematics, Druhá série, 149 (2): 691–703, arXiv:matematika / 9903200, doi:10.2307/120978, ISSN  0003-486X, JSTOR  120978, PAN  1689343
• Koldobsky, Alexander (1998a), „Křižovatková tělesa, pozitivní definitivní rozdělení a Busemann-Pettyho problém“, American Journal of Mathematics, 120 (4): 827–840, CiteSeerX  10.1.1.610.5349, doi:10.1353 / ajm.1998.0030, ISSN  0002-9327, PAN  1637955
• Koldobsky, Alexander (1998b), „Průniková tělesa v R⁴“, Pokroky v matematice, 136 (1): 1–14, doi:10.1006 / aima.1998.1718, ISSN  0001-8708, PAN  1623669
• Koldobsky, Alexander (2005), Fourierova analýza v konvexní geometrii Matematické průzkumy a monografie 116„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-3787-0, PAN  2132704
• Larman, D. G .; Rogers, C. A. (1975), „Existence centrálně symetrického konvexního tělesa s nečekaně malými středními částmi“, Mathematika. Žurnál čisté a aplikované matematiky, 22 (2): 164–175, doi:10.1112 / S0025579300006033, ISSN  0025-5793, PAN  0390914
• Lutwak, Erwin (1988), „Průniková tělesa a duální smíšené svazky“, Pokroky v matematice, 71 (2): 232–261, doi:10.1016/0001-8708(88)90077-1, ISSN  0001-8708, PAN  0963487
• Zhang, Gao Yong (1994), „Průniková tělesa a Busemann-Pettyho nerovnosti v R⁴“, Annals of Mathematics, Druhá série, 140 (2): 331–346, doi:10.2307/2118603, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118603, PAN  1298716 „Výsledek v tomto článku je nesprávný; viz autorova oprava z roku 1999.
• Zhang, Gaoyong (1999), „Pozitivní řešení problému Busemann-Petty v R⁴“, Annals of Mathematics, Druhá série, 149 (2): 535–543, doi:10.2307/120974, ISSN  0003-486X, JSTOR  120974, PAN  1689339