Projekční tělo - Projection body
v konvexní geometrie, projekční tělo a konvexní tělo v n-dimenzionální Euklidovský prostor je konvexní tělo takové, že pro jakýkoli vektor , podpůrná funkce z ve směru u je (n - 1) -dimenzionální objem projekce K. na nadrovina kolmo na u.
Minkowski ukázal, že projekční těleso konvexního tělesa je konvexní. Petty (1967) a Schneider (1967) použili projekční tělesa při svém řešení Shephardův problém.
Pro konvexní tělo, nechť označit polární tělo jeho projekčního těla. Existují dvě pozoruhodné afinní izoperimetrické nerovnosti pro toto tělo. Petty (1971) dokázal, že pro všechny konvexní těla ,
kde označuje n-dimenzionální jednotková koule a je n-dimenzionální objem a pro elipsoidy existuje rovnost. Zhang (1991) dokázal, že pro všechny konvexní těla ,
kde označuje jakékoli -dimenzionální simplex a právě u těchto jednoduchostí existuje rovnost.
The průsečíkové těleso IK z K. je definováno podobně jako těleso hvězdy tak, že pro jakýkoli vektor u radiální funkce IK od počátku ve směru u je (n - 1) -dimenzionální objem průniku K. s nadrovinou u⊥Rovněž radiální funkce těla křižovatky IK je Funk transformace radiální funkce K.Křižovatková tělesa zavedla Lutwak (1988).
Koldobsky (1998a) ukázal, že centrálně symetrické těleso ve tvaru hvězdy je průsečíkem právě tehdy, když je funkce 1 / ||X|| je pozitivní definitivní rozdělení, kde ||X|| je homogenní funkce stupně 1, která je 1 na hranici těla, a Koldobsky (1998b) používal toto ukázat, že jednotkové koule lp
n, 2 < p ≤ ∞ palce n-rozměrný prostor s lp norma jsou průsečíky pro n= 4, ale nejsou průsečíky pron ≥ 5.
Viz také
Reference
- Bourgain, Jean; Lindenstrauss, J. (1988), "Projekční tělesa", Geometrické aspekty funkční analýzy (1986/87), Poznámky k přednášce v matematice., 1317, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 250–270, doi:10.1007 / BFb0081746, ISBN 978-3-540-19353-1, PAN 0950986
- Koldobsky, Alexander (1998a), „Křižovatková tělesa, pozitivní definitivní distribuce a Busemann-Pettyho problém“, American Journal of Mathematics, 120 (4): 827–840, CiteSeerX 10.1.1.610.5349, doi:10.1353 / ajm.1998.0030, ISSN 0002-9327, PAN 1637955
- Koldobsky, Alexander (1998b), „Průniková tělesa v R⁴“, Pokroky v matematice, 136 (1): 1–14, doi:10.1006 / aima.1998.1718, ISSN 0001-8708, PAN 1623669
- Lutwak, Erwin (1988), „Průniková tělesa a duální smíšené svazky“ Pokroky v matematice, 71 (2): 232–261, doi:10.1016/0001-8708(88)90077-1, ISSN 0001-8708, PAN 0963487
- Petty, Clinton M. (1967), "Projekční orgány", Sborník kolokvia o konvexitě (Kodaň, 1965), Kobenhavns Univ. Rohož. Inst., Kodaň, s. 234–241, PAN 0216369
- Petty, Clinton M. (1971), "Isoperimetric problems", Sborník z konference o konvexitě a kombinatorické geometrii (Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1971). Katedra matematiky, Univ. Oklahoma, Norman, Oklahoma, s. 26–41, PAN 0362057
- Schneider, Rolf (1967). „Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper“. Matematika. Z. (v němčině). 101: 71–82. doi:10.1007 / BF01135693.
- Zhang, Gaoyong (1991), „Omezená projekce akordů a afinní nerovnosti“, Geometriae Dedicata, 39 (4): 213–222, doi:10.1007 / BF00182294, PAN 1119653