Domněnky o modularitě serres - Serres modularity conjecture - Wikipedia

v matematika, Serreova domněnka o modularitě, představil Jean-Pierre Serre  (1975, 1987 ), uvádí, že lichý, neredukovatelný, dvojrozměrný Galoisovo zastoupení přes konečné pole vyplývá z modulární formy. Silnější verze tohoto dohadu specifikuje váhu a úroveň modulárního tvaru. Domněnku v případě úrovně 1 prokázal Chandrashekhar Khare v roce 2005,^[1] a důkazy o úplném domněnce společně vyplnili Khare a Jean-Pierre Wintenberger v roce 2008.^[2]

Formulace

Domněnka se týká absolutní skupina Galois ${ displaystyle G _ { mathbb {Q}}}$ z pole racionálního čísla ${ displaystyle mathbb {Q}}$.

Nechat ${ displaystyle rho}$ být absolutně neredukovatelné, spojité, dvourozměrné znázornění ${ displaystyle G _ { mathbb {Q}}}$ přes konečné pole ${ displaystyle F = mathbb {F} _ { ell ^ {r}}}$.

${ displaystyle rho colon G _ { mathbb {Q}} rightarrow mathrm {GL} _ {2} (F).}$

Dále předpokládejme ${ displaystyle rho}$ je liché, což znamená, že obraz komplexní konjugace má determinant -1.

Každému normalizovanému modulární vlastní tvar

${ displaystyle f = q + a_ {2} q ^ {2} + a_ {3} q ^ {3} + cdots}$

z úroveň ${ displaystyle N = N ( rho)}$, hmotnost ${ displaystyle k = k ( rho)}$, a nějaký Nebentype charakter

${ displaystyle chi colon mathbb {Z} / N mathbb {Z} rightarrow F ^ {*}}$,

věta kvůli Shimura, Deligne a Serre-Deligne se připojí ${ displaystyle f}$ reprezentace

${ displaystyle rho _ {f} dvojtečka G _ { mathbb {Q}} rightarrow mathrm {GL} _ {2} ({ mathcal {O}}),}$

kde ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ je kruh celých čísel v konečném rozšíření ${ displaystyle mathbb {Q} _ { ell}}$. Toto vyjádření je charakterizováno podmínkou, že pro všechna prvočísla ${ displaystyle p}$, coprime na ${ displaystyle N ell}$ my máme

${ displaystyle operatorname {Trace} ( rho _ {f} ( operatorname {Frob} _ {p})) = a_ {p}}$

a

${ displaystyle det ( rho _ {f} ( operatorname {Frob} _ {p})) = p ^ {k-1} chi (p).}$

Snížení tohoto zastoupení modulo maximální ideál ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ dává mod ${ displaystyle ell}$ zastoupení ${ displaystyle { overline { rho _ {f}}}}$ z ${ displaystyle G _ { mathbb {Q}}}$.

Serreova domněnka to tvrdí pro jakoukoli reprezentaci ${ displaystyle rho}$ jak je uvedeno výše, existuje modulární vlastní tvar ${ displaystyle f}$ takhle

${ displaystyle { overline { rho _ {f}}} cong rho}$.

Úroveň a váha dohadné formy ${ displaystyle f}$ jsou výslovně domněnky v článku Serre. Kromě toho z této domněnky odvozuje řadu výsledků Fermatova poslední věta a nyní osvědčený dohad Taniyama – Weil (nebo Taniyama – Shimura), nyní známý jako věta o modularitě (i když z toho vyplývá Fermatova poslední věta, Serre to dokazuje přímo ze své domněnky).

Optimální úroveň a hmotnost

Silná forma Serreho domněnky popisuje úroveň a váhu modulární formy.

Optimální úroveň je Artin dirigent reprezentace, s mocí ${ displaystyle l}$ odstraněn.

Důkaz

Důkaz domněnky úrovně 1 a malých hmotností domněnky získal v roce 2004 autor Chandrashekhar Khare a Jean-Pierre Wintenberger,^[3] a tím Luis Dieulefait,^[4] nezávisle.

V roce 2005 získal Chandrashekhar Khare důkaz o případu Serreho domněnky úrovně 1,^[5] a v roce 2008 důkaz úplného domněnky ve spolupráci s Jean-Pierre Wintenbergerem.^[6]

Poznámky

Reference

• Serre, Jean-Pierre (1975), „Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo l“, Journées Arithmétiques de Bordeaux (Konf., Univ. Bordeaux, 1974), Astérisque, 24–25: 109–117, ISSN  0303-1179, PAN  0382173
• Serre, Jean-Pierre (1987), „Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal (Q/ Q) ", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230, doi:10.1215 / S0012-7094-87-05413-5, ISSN  0012-7094, PAN  0885783
• Stein, William A .; Ribet, Kenneth A. (2001), „Přednášky o Serreho domněnkách“, Conrad, Brian; Rubin, Karl (eds.), Aritmetická algebraická geometrie (Park City, UT, 1999), IAS / Park City Math. Ser., 9„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 143–232, ISBN  978-0-8218-2173-2, PAN  1860042

externí odkazy

• Serreova modularita 50minutová přednáška Ken Ribet uveden dne 25. října 2007 ( diapozitivy PDF, jiná verze snímků PDF)
• Přednášky o Serreho domněnkách