Seiberg – Wittenovy invarianty - Seiberg–Witten invariants - Wikipedia

V matematice, a zejména teorie měřidel, Seiberg – Wittenovy invarianty jsou invarianty kompaktní hladké orientace 4 rozdělovače představil Edward Witten (1994 ), za použití Teorie Seiberg – Witten studoval Nathan Seiberg a Witten (1994a, 1994b ) během vyšetřování Teorie měřidla Seiberg – Witten.

Seiberg – Wittenovy invarianty jsou podobné Donaldsonovy invarianty a lze je použít k prokázání podobných (ale někdy o něco silnějších) výsledků u hladkých 4 potrubí. Je s nimi technicky mnohem snazší pracovat než s Donaldsonovými invarianty; například, modulové prostory řešení z Seiberg – Wittenovy rovnice má tendenci být kompaktní, takže se člověk vyhne těžkým problémům spojeným se zhutňováním prostorů modulů v Donaldsonově teorii.

Podrobný popis invariantů Seiberg – Witten viz (Donaldson 1996 ), (Moore 2001 ), (Morgan 1996 ), (Nicolaescu 2000 ), (Scorpan 2005, Kapitola 10). Pro vztah k symplektickým varietám a Gromov – Wittenovy invarianty viz (Taubes 2000 ). Pro ranou historii viz (Jackson 1995 ).

Roztočit^C-struktury

Spin^C skupina (v dimenzi 4) je

{ displaystyle (U (1) times mathrm {Spin} (4)) / ( mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}).}

Kde ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ působí jako znamení obou faktorů. Tato skupina má přirozený homomorfismus SO (4) = Spin (4) / ± 1.

Vzhledem ke kompaktní orientované rozdělovači 4 zvolte hladký Riemannova metrika ${ displaystyle g}$ s Připojení Levi Civita ${ displaystyle nabla ^ {g}}$ . To snižuje skupinu struktur z připojené komponenty GL (4)₊ na SO (4) a je neškodný z homotopického hlediska. Spin^C-struktura nebo složitá struktura rotace na M je redukce skupiny struktur na Spin^C, tj. výtah struktury SO (4) na tangenciálním svazku do skupiny Spin^C. Věta o Hirzebruch a Hopf, každý hladce orientovaný kompaktní 4-rozdělovač ${ displaystyle M}$ připouští Spin^C struktura.^[1] Existence Spinu^C struktura odpovídá existence výtahu druhé Třída Stiefel-Whitney ${ displaystyle w_ {2} (M) v H ^ {2} (M, mathbb {Z} / 2 mathbb {Z})}$ do třídy ${ displaystyle K v H ^ {2} (X, mathbb {Z}).}$ Naopak takový zdvih určuje Spin^C struktura do 2 torzí v ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z}).}$ A spinová struktura správné vyžaduje přísnější ${ displaystyle w_ {2} (M) = 0.}$

Spin^C struktura určuje (a je určována) a spinorský svazek ${ displaystyle W = W ^ {+} oplus W ^ {-}}$ vycházející ze 2 komplexních dimenzionálních pozitivních a negativních spinor reprezentace Spinu (4), na který U (1) působí násobením. My máme ${ displaystyle K = c_ {1} (W ^ {+}) = c_ {1} (W ^ {-})}$ . Spinorův svazek ${ displaystyle W}$ přichází s odstupňovanou reprezentací svazku Cliffordovy algebry, tj. mapou ${ displaystyle gamma: mathrm {Cliff} (M, g) do { mathcal {E}} { mathit {nd}} (W)}$ tak, že pro každý 1 formulář ${ displaystyle a}$ my máme ${ displaystyle gamma (a): W ^ { pm} do W ^ { mp}}$ a ${ displaystyle gamma (a) ^ {2} = - g (a, a)}$ . Existuje jedinečná poustevnická metrika ${ displaystyle h}$ na ${ displaystyle W}$ Svatý. ${ displaystyle gamma (a)}$ je šikmý Hermitian pro skutečné 1 formy ${ displaystyle a}$ . Poskytuje indukované působení forem ${ displaystyle wedge ^ {*} M}$ anti-symetrizací. Zejména to dává izomorfismus ${ displaystyle wedge ^ {+} M cong { mathcal {E}} { mathit {nd}} _ {0} ^ {sh} (W ^ {+})}$ dvojitých forem s nevystopovatelným zkosením hermitovských endomorfismů ${ displaystyle W ^ {+}}$ které jsou poté identifikovány.

Seiberg – Wittenovy rovnice

Nechat ${ displaystyle L = det (W ^ {+}) equiv det (W ^ {-})}$ být svazek determinantního řádku s ${ displaystyle c_ {1} (L) = K}$ . Pro každé připojení ${ displaystyle nabla _ {A} = nabla _ {0} + A}$ s ${ displaystyle A v iA _ { mathbb {R}} ^ {1} (M)}$ na ${ displaystyle L}$ , existuje jedinečné připojení spinoru ${ displaystyle nabla ^ {A}}$ na ${ displaystyle W}$ tj. takové spojení ${ displaystyle nabla _ {X} ^ {A} ( gamma (a)): = [ nabla _ {X} ^ {A}, gamma (a)] = gamma ( nabla _ {X} ^ {g} a)}$ pro každý 1 formulář ${ displaystyle a}$ a vektorové pole ${ displaystyle X}$ . Spojení Clifford pak definuje operátora Dirac ${ displaystyle D ^ {A} = gamma další 1 circ nabla ^ {A} = gamma (dx ^ { mu}) nabla _ { mu} ^ {A}}$ na ${ displaystyle W}$ . Skupina map ${ displaystyle { mathcal {G}} = {u: M až U (1) }}$ funguje jako skupina měřidel na množině všech připojení ${ displaystyle L}$ . Akce ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ může být „měřidlo pevné“ např. podmínkou ${ displaystyle d ^ {*} A = 0}$ , ponechávající efektivní parametrizaci prostoru všech takových spojení ${ displaystyle H ^ {1} (M, mathbb {R}) ^ { mathrm {harm}} / H ^ {1} (M, mathbb {Z}) oplus d ^ {*} A _ { mathbb {R}} ^ {+} (M)}$ se zbytkem ${ displaystyle U (1)}$ akce skupiny měřidel.

Psát si ${ displaystyle phi}$ pro spinorové pole pozitivní chirality, tj. část ${ displaystyle W ^ {+}}$ . Seiberg – Wittenovy rovnice pro ${ displaystyle ( phi, nabla ^ {A})}$ jsou teď

{ displaystyle D ^ {A} phi = 0}

{ displaystyle F_ {A} ^ {+} = sigma ( phi) + i omega}

Tady ${ displaystyle F ^ {A} v iA _ { mathbb {R}} ^ {2} (M)}$ je uzavřené zakřivení 2-formy ${ displaystyle nabla ^ {A}}$ , ${ displaystyle F_ {A} ^ {+}}$ je jeho sebe-duální část a σ je kvadratická mapa ${ displaystyle phi mapsto left ( phi h ( phi, -) - { tfrac {1} {2}} h ( phi, phi) 1_ {W ^ {+}} vpravo)}$ z ${ displaystyle W ^ {+}}$ k nevystopovatelnému hermitovskému endomorfismu z ${ displaystyle W ^ {+}}$ identifikován s imaginárním samo-duálním 2-tvarem a ${ displaystyle omega}$ je skutečná dvojitá forma, která se často považuje za nulovou nebo harmonickou. Skupina měřidel ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ působí na prostor řešení. Po přidání podmínky upevnění měřidla ${ displaystyle d ^ {*} A = 0}$ zbytkové U (1) působí volně, s výjimkou „redukovatelných roztoků“ s ${ displaystyle phi = 0}$ . Z technických důvodů jsou rovnice ve skutečnosti definovány jako vhodné Sobolevovy prostory dostatečně vysoké pravidelnosti.

Aplikace Weitzenböckova vzorce

{ displaystyle { nabla ^ {A}} ^ {*} nabla ^ {A} phi = (D ^ {A}) ^ {2} phi - ({ tfrac {1} {2}} gamma (F_ {A} ^ {+}) + s) phi}

a totožnost

{ displaystyle Delta _ {g} | phi | _ {h} ^ {2} = 2 h ({ nabla ^ {A}} ^ {*} nabla ^ {A} phi, phi) -2 | nabla ^ {A} phi | _ {g otimes h}}

řešení rovnic dává rovnost

{ displaystyle Delta | phi | ^ {2} + | nabla ^ {A} phi | ^ {2} + { tfrac {1} {4}} | phi | ^ {4} = (- s) | phi | ^ {2} - { tfrac {1} {2}} h ( phi, gamma ( omega) phi)}

.

Li ${ displaystyle | phi | ^ {2}}$ je maximální ${ displaystyle Delta | phi | ^ {2} geq 0}$ , takže to ukazuje, že pro každé řešení je sup norma ${ displaystyle | phi | _ { infty}}$ je a priori ohraničený ohraničením závisí pouze na skalárním zakřivení ${ displaystyle s}$ z ${ displaystyle (M, g)}$ a vlastní dvojí forma ${ displaystyle omega}$ . Po přidání podmínky upevnění měřidla eliptická pravidelnost Diracova rovnice ukazuje, že řešení jsou ve skutečnosti a priori ohraničené Sobolevovými normami libovolné pravidelnosti, které ukazují, že všechna řešení jsou plynulá a že prostor všech řešení až po měřicí ekvivalenci je kompaktní.

Řešení ${ displaystyle ( phi, nabla ^ {A})}$ Seiberg – Wittenovy rovnice se nazývají monopoly, protože tyto rovnice jsou polní rovnice bezhmotný magnetické monopoly na potrubí ${ displaystyle M}$ .

Modul prostor řešení

Na prostor řešení působí skupina měřidel a kvocient této akce se nazývá moduli prostor monopolů.

Prostor modulů je obvykle potrubí. U obecných metrik po opravě měřidla rovnice vyříznou prostor řešení příčně a tak definují plynulé potrubí. Zbytková skupina U (1) „měřidla pevně stanovená“ měřicí skupina U (1) působí volně, s výjimkou redukovatelných monopolů, tj. Řešení s ${ displaystyle phi = 0}$ . Podle Atiyah-Singerova věta o indexu prostor modulů je konečný rozměrný a má „virtuální rozměr“

{ displaystyle (K ^ {2} -2 chi _ { mathrm {top}} (M) -3 operatorname {sign} (M)) / 4}

což je u obecných metrik skutečná dimenze od redukovatelnosti. To znamená, že prostor modulů je obecně záporný, pokud je virtuální dimenze záporná.

Pro vlastní dvojí formu 2 ${ displaystyle omega}$ , redukovatelná řešení mají ${ displaystyle phi = 0}$ , a tak jsou určeny spojením ${ displaystyle nabla _ {A} = nabla _ {0} + A}$ na ${ displaystyle L}$ takhle ${ displaystyle F_ {0} + dA = i ( alpha + omega)}$ pro některé anti-selfdual 2-form ${ displaystyle alpha}$ . Podle Hodgeův rozklad, od té doby ${ displaystyle F_ {0}}$ je uzavřena, jedinou překážkou řešení této rovnice pro ${ displaystyle A}$ daný ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle omega}$ , je harmonická část ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle omega}$ a harmonická část nebo ekvivalentně (de Rham) třída cohomologie tvaru zakřivení, tj. ${ displaystyle [F_ {0}] = F_ {0} ^ { mathrm {harm}} = i ( omega ^ { mathrm {harm}} + alpha ^ { mathrm {harm}}) v H ^ {2} (M, mathbb {R})}$ . Proto, protože ${ displaystyle [{ tfrac {1} {2 pi i}} F_ {0}] = K}$ nezbytná a dostatečná podmínka pro redukovatelné řešení je

{ displaystyle omega ^ { mathrm {harm}} ve 2 pi K + { mathcal {H}} ^ {-} v H ^ {2} (X, mathbb {R})}

kde ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {-}}$ je prostor harmonických anti-selfdual 2 forem. Dvě formy ${ displaystyle omega}$ je ${ displaystyle K}$ -přípustná, pokud je tato podmínka ne a řešení jsou nutně neredukovatelná. Zejména pro ${ displaystyle b ^ {+} geq 1}$ , prostor modulů je (případně prázdný) kompaktní potrubí pro obecné metriky a je přípustný ${ displaystyle omega}$ . Všimněte si, že pokud ${ displaystyle b _ {+} geq 2}$ prostor ${ displaystyle K}$ -přijatelné dvě formy je spojeno, zatímco pokud ${ displaystyle b _ {+} = 1}$ má dvě připojené komponenty (komory). Modulovému prostoru lze dát přirozenou orientaci z orientace na prostor pozitivních harmonických 2 forem a první kohomologie.

The a priori vázán na řešení, také dává a priori hranice na ${ displaystyle F ^ { mathrm {škod}}}$ . Existují tedy (pro pevné ${ displaystyle omega}$ ) jen konečně mnoho ${ displaystyle K v H ^ {2} (M, mathbb {Z})}$ , a tedy jen konečně mnoho Spinů^C struktury s neprázdným prostorem modulů.

Seiberg – Wittenovy invarianty

Seiberg – Witten invariant čtyřnásobného M s b₂⁺(M) ≥ 2 je mapa ze zatočení^C struktury na M na Z. Hodnota invariantu při otočení^C Struktura je nejjednodušší definovat, když je prostor modulů nulový (pro obecnou metriku). V tomto případě je hodnotou počet prvků modulového prostoru počítaný se znaménky.

Seiberg – Wittenův invariant lze také definovat, když b₂⁺(M) = 1, ale pak to záleží na výběru komory.

Potrubí M se říká, že je z jednoduchý typ pokud Seiberg-Wittenův invariant zmizí, kdykoli je očekávaný rozměr prostoru modulů nenulový. The domněnka jednoduchého typu uvádí, že pokud M je jednoduše připojen a b₂⁺(M) ≥ 2, potom je rozdělovač jednoduchého typu. To platí pro symplektická potrubí.

Pokud je potrubí M má metriku pozitivního skalárního zakřivení a b₂⁺(M) ≥ 2 pak všechny Seiberg – Wittenovy invarianty z M zmizet.

Pokud je potrubí M je spojený součet dvou potrubí, z nichž oba mají b₂⁺ ≥ 1 pak všechny Seiberg – Wittenovy invarianty M zmizet.

Pokud je potrubí M je jednoduše propojený a symplektický a b₂⁺(M) ≥ 2, pak se točí^C struktura s na kterém je Seiberg – Wittenův invariant 1. Zejména jej nelze rozdělit jako spojený součet potrubí s b₂⁺ ≥ 1.

Reference

^ Hirzebruch, F .; Hopf, H. (1958). „Felder von Flächenelementen ve 4-dimenzionálním Mannigfaltigkeiten“. Matematika. Ann. 136: 156–172. doi:10.1007 / BF01362296. hdl:21.11116 / 0000-0004-3A18-1.

Donaldson, Simon K. (1996), „Seiberg-Wittenovy rovnice a čtyřnásobná topologie.“, Bulletin of the American Mathematical Society, (N.S.), 33 (1): 45–70, doi:10.1090 / S0273-0979-96-00625-8, PAN 1339810
Jackson, Allyn (1995), Revoluce v matematice, archivovány z originál 26. dubna 2010
Morgan, John W. (1996), Seiberg – Wittenovy rovnice a aplikace na topologii hladkých čtyř variet Matematické poznámky, 44, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. viii + 128, ISBN 978-0-691-02597-1, PAN 1367507
Moore, John Douglas (2001), Přednášky o Seiberg-Wittenových invariantechPřednášky z matematiky, 1629 (2. vyd.), Berlin: Springer-Verlag, str. VII + 121, CiteSeerX 10.1.1.252.2658, doi:10.1007 / BFb0092948, ISBN 978-3-540-41221-2, PAN 1830497
Nash, Ch. (2001) [1994], "Seiberg-Wittenovy rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Nicolaescu, Liviu I. (2000), Poznámky k teorii Seiberg-Witten (PDF), Postgraduální studium matematiky, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, str. Xviii + 484, doi:10,1090 / g / m2 / 028, ISBN 978-0-8218-2145-9, PAN 1787219
Scorpan, Alexandru (2005), Divoký svět čtyř potrubí, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3749-8, PAN 2136212.
Seiberg, Nathane; Witten, Edward (1994a), „Elektromagnetická dualita, kondenzace monopolu a vězení v supersymetrické teorii N = 2 Yang-Mills“, Jaderná fyzika B, 426 (1): 19–52, arXiv:hep-th / 9407087, Bibcode:1994NuPhB.426 ... 19S, doi:10.1016/0550-3213(94)90124-4, PAN 1293681; "Tisková chyba", Jaderná fyzika B, 430 (2): 485–486, 1994, Bibcode:1994NuPhB.430..485., doi:10.1016/0550-3213(94)00449-8, PAN 1303306
Seiberg, N.; Witten, E. (1994b), „Monopoly, dualita a chirální symetrie narušení v N = 2 supersymetrické QCD“, Jaderná fyzika B, 431 (3): 484–550, arXiv:hep-th / 9408099, Bibcode:1994NuPhB.431..484S, doi:10.1016/0550-3213(94)90214-3, PAN 1306869
Taubes, Clifford Henry (2000), Wentworth, Richard (ed.), Seiberg Witten a Gromov invarianty pro symplektická 4-potrubíPrvní mezinárodní tisková přednášková série, 2, Somerville, MA: International Press, s. Vi + 401, ISBN 978-1-57146-061-5, PAN 1798809
Witten, Edward (1994), „Monopoly a čtyři potrubí.“, Dopisy o matematickém výzkumu, 1 (6): 769–796, arXiv:hep-th / 9411102, Bibcode:1994MRLet ... 1..769W, doi:10.4310 / MRL.1994.v1.n6.a13, PAN 1306021, archivovány z originál dne 29. 06. 2013

[1] Hirzebruch, F .; Hopf, H. (1958). „Felder von Flächenelementen ve 4-dimenzionálním Mannigfaltigkeiten“. Matematika. Ann. 136: 156–172. doi:10.1007 / BF01362296. hdl:21.11116 / 0000-0004-3A18-1.

[1]