Schrödinger funkční - Schrödinger functional

v matematická fyzika, některé přístupy k kvantová teorie pole jsou populárnější než ostatní. Z historických důvodů Schrödingerova reprezentace je méně oblíbený než Fockový prostor metody. V počátcích roku kvantová teorie pole, zachování symetrií, jako je Lorentzova invariance, jejich zjevné zobrazení a prokázání renormalizace byly nesmírně důležité. Schrödingerovo zastoupení není zjevně Lorentzovo invariantní a jeho renormalizovatelnost byla prokázána teprve v 80. letech Kurt Symanzik (1981).

V rámci Schrödingerovy reprezentace vyniká Schrödingerova vlnová funkce jako možná nejužitečnější a nejvšestrannější funkční nástroj, přestože je v současné době zájem o něj.

The Schrödinger funkční je ve své nejzákladnější podobě překlad času generátor stavových vlnových funkcí. Laicky řečeno, definuje, jak systém kvantová částice se vyvíjejí v čase a jak vypadají následné systémy.

Pozadí

Kvantová mechanika je definována přes prostorové souřadnice ${ displaystyle mathbf {x}}$ na kterém Galileova skupina jedná a odpovídající operátoři jednají podle jeho stavu jako ${ displaystyle { hat { mathbf {x}}} psi ( mathbf {x}) = mathbf {x} psi ( mathbf {x})}$. Stav je charakterizován vlnovou funkcí ${ displaystyle psi ( mathbf {x}) = langle mathbf {x} | psi rangle}$ získáno jeho promítnutím na vlastní souřadnice souřadnic definované v ${ displaystyle { hat { mathbf {x}}} vlevo | mathbf {x} vpravo rangle = mathbf {x} vlevo | mathbf {x} vpravo rangle}$. Tyto vlastní stavy nejsou stacionární. Vývoj času je generován Hamiltonianem, čímž se získá Schrödingerova rovnice ${ displaystyle i částečné _ {0} vlevo | psi (t) vpravo rangle = { hat {H}} vlevo | psi (t) vpravo rangle}$.

Nicméně v kvantová teorie pole, souřadnice je operátor pole ${ displaystyle { hat { phi}} _ { mathbf {x}} = { hat { phi}} ( mathbf {x})}$, který působí na vlnu státu funkční jako

${ displaystyle { hat { phi}} ( mathbf {x}) Psi left [ phi ( cdot) right] = operatorname { phi} left ( mathbf {x} right) Psi left [ phi ( cdot) right]}$,

kde "⋅„označuje nevázaný prostorový argument. Tato vlna je funkční

${ displaystyle Psi left [ phi ( cdot) right] = left langle phi ( cdot) | Psi right rangle}$

se získává pomocí polních vlastních stavů

${ displaystyle { hat { phi}} ( mathbf {x}) left | Phi ( cdot) right rangle = Phi ( mathbf {x}) left | Phi ( cdot) right rangle}$,

které jsou indexovány podle nepoužitých konfigurací „klasického pole“ ${ displaystyle Phi ( cdot)}$. Tyto vlastní státy, jako vlastní polohy výše, nejsou stacionární. Vývoj času je generován Hamiltonianem, čímž se získá Schrödingerova rovnice,

${ displaystyle i částečný _ {0} levý | Psi (t) pravý rangle = { klobouk {H}} levý | Psi (t) pravý rangle}$.

Stav v teorii kvantového pole je tedy koncepčně funkční superpozicí konfigurací pole.

Příklad: Skalární pole

V kvantová teorie pole (jako příklad) kvantum skalární pole ${ displaystyle { hat { phi}} (x)}$, v úplné analogii s jednou částicemi kvantový harmonický oscilátor, vlastní stav tohoto kvantového pole s „klasickým polem“ ${ displaystyle phi (x)}$ (c-číslo ) jako jeho vlastní číslo,

${ displaystyle { hat { phi}} (x) levý | phi pravý rangle = phi levý (x pravý) levý | phi pravý rangle}$

je (Schwartz, 2013)

${ displaystyle left | phi right rangle propto e ^ {- int dx { frac {1} {2}} ~ ( phi (x) - { hat { Phi}} _ {+ } (x)) ^ {2}} vlevo | 0 vpravo rangle}$

kde ${ displaystyle { hat { Phi}} _ {+} vlevo (x vpravo)}$ je součástí ${ displaystyle { hat { phi}} vlevo (x vpravo)}$že zahrnuje pouze operátory vytváření ${ displaystyle a_ {k} ^ { dagger}}$. U oscilátoru to odpovídá změně / zobrazení reprezentace na | x⟩ Stát ze států Fock.

Pro časově nezávislý hamiltonián H, funkce Schrödinger je definována jako

${ displaystyle { mathcal {S}} [ phi _ {2}, t_ {2}; phi _ {1}, t_ {1}] = langle , phi _ {2} , | e ^ {- iH (t_ {2} -t_ {1}) / hbar} | , phi _ {1} , rangle.}$

V Schrödingerova reprezentace, tato funkce generuje časové překlady funkcionálů státní vlny, skrz

${ displaystyle Psi [ phi _ {2}, t_ {2}] = int ! { mathcal {D}} phi _ {1} , , { mathcal {S}} [ phi _ {2}, t_ {2}; phi _ {1}, t_ {1}] Psi [ phi _ {1}, t_ {1}]}$.

Státy

Normalizovaný vakuový stav volného pole s vlnovými funkcemi je Gaussian

${ displaystyle Psi _ {0} [ phi] = operatorname {det} ^ { frac {1} {4}} left ({ frac {K} { pi}} right) ; e ^ {- { frac {1} {2}} int d { vec {x}} int d { vec {y}} , phi ({ vec {x}}) K ({ vec {x}}, { vec {y}}) phi ({ vec {y}})} = operatorname {det} ^ { frac {1} {4}} left ({ frac { K} { pi}} vpravo) ; e ^ {- { frac {1} {2}} phi cdot K cdot phi}}$,

kde kovariance K. je

${ displaystyle K ({ vec {x}}, { vec {y}}) = int { frac {d ^ {3} k} {(2 pi) ^ {3}}} omega _ { vec {k}} , e ^ {i { vec {k}} cdot ({ vec {x}} - { vec {y}})}}$.

To je analogické s (Fourierovou transformací) součinu základního stavu každého k-módu v limitu kontinua, zhruba (Hatfield 1992)

${ displaystyle Psi _ {0} [{ tilde { phi}}] = lim _ { Delta k až 0} ; prod _ { vec {k}} vlevo ({ frac { omega _ { vec {k}}} { pi}} doprava) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac {1} {2}} omega _ { vec {k}} { tilde { phi}} ({ vec {k}}) ^ {2} { frac { Delta k ^ {3}} {(2 pi) ^ {3}}}} to left ( prod _ { vec {k}} left ({ frac { omega _ { vec {k}}} { pi}} right) ^ { frac {1} {4 }} right) e ^ {- { frac {1} {2}} int { frac {d ^ {3} k} {(2 pi) ^ {3}}} omega _ { vec {k}} { tilde { phi}} (| { vec {k}} |) ^ {2}}}$.

Každý k-režim vstupuje jako nezávislý kvantový harmonický oscilátor. Stavy jedné částice se získají vzrušením jednoho režimu a mají formu,

${ displaystyle Psi [ phi] propto int d { vec {x}} int d { vec {y}} , phi ({ vec {x}}) K ({ vec { x}}, { vec {y}}) f ({ vec {y}}) Psi _ {0} [ phi] = phi cdot K cdot f , e ^ {- { frac {1} {2}} phi cdot K cdot phi}}$.

Například vložením buzení ${ displaystyle { vec {k}} _ {1}}$ výnosy (Hatfield 1992)

${ displaystyle Psi _ {1} [{ tilde { phi}}] = left ({ frac {2 omega _ {k_ {1}}} {(2 pi) ^ {3}}} right) ^ { frac {1} {2}} { tilde { phi}} ({ vec {k}} _ {1}) Psi _ {0} [{ tilde { phi}} ]}$

${ displaystyle Psi _ {1} [ phi] = vlevo ({ frac {2 omega _ {k_ {1}}} {(2 pi) ^ {3}}} vpravo) ^ { frac {1} {2}} int d ^ {3} y , e ^ {- i { vec {k}} _ {1} cdot { vec {y}}} phi ({ vec {y}}) Psi _ {0} [ phi]}$.

(Faktor ${ displaystyle (2 pi) ^ {- 3/2}}$ pochází z prostředí Hatfieldu ${ displaystyle Delta k = 1}$.)

Příklad: Fermionovo pole

Pro jasnost považujeme nehmotné pole Weyl-Majorana ${ displaystyle { hat { psi}} (x)}$ ve 2D prostoru v SO⁺(1, 1), ale toto řešení se zobecňuje na jakoukoli masu Dirac bispinor v SO⁺(1, 3). Konfigurační prostor se skládá z funkcionálů ${ displaystyle Psi [u]}$ dojíždění Grassmann v hodnotě pole u (x). Účinek ${ displaystyle { hat { psi}} (x)}$ je

${ displaystyle { hat { psi}} (x) | Psi rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} left (u (x) + { frac { delta} { delta u (x)}} vpravo) | Psi rangle}$.

Reference

• Brian Hatfield, Teorie kvantového pole bodových částic a řetězců. Addison Wesley Longman, 1992. Viz kapitola 10 „Volná pole v Schrodingerově zastoupení“.
• I.V. Kanatchikov, „Precanonical Quantization and the Schroedinger Wave Functional.“ Phys. Lett. A 283 (2001) 25–36. Eprint arXiv: hep-th / 0012084, 16 stránek.
• R. Jackiw, „Schrodingerův obraz pro teorie kvantového pole Bosona a Fermiona.“ v Matematická kvantová teorie pole a související témata: Sborník montréální konference z roku 1987 konané 1. – 5. Září 1987 (ed. J.S. Feldman a L.M. Rosen, American Mathematical Society 1988).
• H. Reinhardt, C. Feuchter, „Na vlně Yang-Mills funkční v Coulombově rozchodu.“ Phys. Rev. D 71 (2005) 105002. Eprint arXiv: hep-th / 0408237, 9 stran.
• D.V. Long, G.M. Shore, „Schrodingerovy vlnové funkční a vakuové stavy v zakřiveném časoprostoru.“ Nucl.Phys. B 530 (1998) 247–278. Eprint arXiv: hep-th / 9605004, 41 stran.
• Kurt Symanzik, „Schrödingerova reprezentace a Casimirův efekt v obnovitelné kvantové teorii pole“. Nucl. Phys.B 190 (1981) 1–44, doi: 10.1016 / 0550-3213 (81) 90482-X.
• K. Symanzik, „Schrödingerova reprezentace v obnovitelné teorii kvantového pole“. Kapitola v Strukturní prvky ve fyzice částic a statistické mechanice, Série pokročilých studijních institutů NATO 82 (1983), str. 287–299, doi: 10.1007 / 978-1-4613-3509-2_20.
• Martin Lüscher, Rajamani Narayanan, Peter Weisz, Ulli Wolff, „Schrödingerův funkcionál - renormalizovatelná sonda pro neabelovské teorie měřidel“. Nucl.Phys.B 384 (1992) 168-228, doi: 10.1016 / 0550-3213 (92) 90466-O. Eprint arXiv: hep-lat / 9207009.
• Matthew Schwartz (2013). Teorie kvantového pole a standardní model, Cambridge University Press, kapitola 14.