Sedlový bod - Saddle point - Wikipedia

Sedlový bod (červeně) na grafu z = x²−y² (hyperbolický paraboloid )

Bod sedla mezi dvěma kopci (průsečík osmičky

{ displaystyle z}

-obrys)

v matematika, a sedlový bod nebo bod minimax^[1] je směřovat na povrch z graf funkce Kde svahy (deriváty) v ortogonálních směrech jsou všechny nulové (a kritický bod ), ale který není místní extremum funkce.^[2] Příkladem sedlového bodu je situace, kdy existuje kritický bod s příbuzným minimální podél jednoho axiálního směru (mezi vrcholy) a v a relativní maximum podél osy křížení. Sedlový bod však nemusí být v této podobě. Například funkce ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$ má kritický bod v ${ displaystyle (0,0)}$ to je sedlový bod, protože to není ani relativní maximum, ani relativní minimum, ale nemá relativní maximum ani relativní minimum v ${ displaystyle y}$ -směr.

Název je odvozen od skutečnosti, že prototyp ve dvou rozměrech je a povrch že křivky nahoru v jednom směru a křivky dolů jiným směrem, připomínajícím jízdu sedlo nebo a horský průsmyk mezi dvěma vrcholy tvořícími a sedlo landform. Ve smyslu vrstevnice, bod sedla ve dvou rozměrech vede ke vrstevnicovému grafu nebo stopě, ve které se obrys odpovídající hodnotě bodu sedla protíná.

Matematická diskuse

Jednoduché kritérium pro kontrolu, zda daný stacionární bod funkce se skutečnou hodnotou F(X,y) dvou reálných proměnných je sedlovým bodem pro výpočet funkce Hesenská matice v tom okamžiku: pokud je pytlovina neurčitý, pak je tento bod sedlovým bodem. Například hesenská matice funkce ${ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$ ve stacionárním bodě ${ displaystyle (x, y, z) = (0,0,0)}$ je matice

{ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & 0 0 & -2 konec {bmatrix}}}

což je neurčité. Proto je tento bod sedlovým bodem. Toto kritérium poskytuje pouze dostatečnou podmínku. Například bod ${ displaystyle (0,0,0)}$ je sedlový bod pro tuto funkci ${ displaystyle z = x ^ {4} -y ^ {4},}$ ale hesenská matice této funkce na počátku je nulová matice, která není neurčitá.

Obecně řečeno, a sedlový bod pro plynulá funkce (jehož graf je křivka, povrch nebo nadpovrch ) je stacionární bod tak, že křivka / povrch / atd. v sousedství tohoto bodu není úplně na žádné straně tečný prostor v tom bodě.

Spiknutí y = X³ s bodem sedla na 0

V doméně jedné dimenze je sedlový bod a směřovat což je obojí stacionární bod a a inflexní bod. Jelikož se jedná o inflexní bod, není to a místní extremum.

Sedlový povrch

Hyperbolický paraboloid

Model eliptický hyperboloid jednoho listu

A opičí sedlo

A sedlový povrch je hladký povrch obsahující jeden nebo více sedlových bodů.

Klasické příklady dvojrozměrných sedlových ploch v Euklidovský prostor jsou povrchy druhého řádu, hyperbolický paraboloid ${ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$ (což se často označuje jako „the sedlová plocha "nebo" standardní sedlová plocha ") a hyperboloid jednoho listu. The Pringles bramborový lupínek nebo křehký je každodenním příkladem hyperbolického paraboloidního tvaru.

Sedlové povrchy mají záporné hodnoty Gaussovo zakřivení které je odlišují od konvexních / eliptických ploch, které mají pozitivní Gaussovo zakřivení. Klasický sedlový povrch třetího řádu je opičí sedlo.^[3]

Příklady

Ve dvou hráčích nulový součet hra definovaná na spojitém prostoru, rovnováha point je sedlový bod.

Pro lineární autonomní systém druhého řádu, a kritický bod je sedlový bod, pokud charakteristická rovnice má jednu kladnou a jednu zápornou skutečnou vlastní hodnotu.^[4]

V optimalizaci s výhradou omezení rovnosti popisují podmínky prvního řádu sedlový bod Lagrangian.

Jiná použití

v dynamické systémy, pokud je dynamika dána a diferencovatelná mapa F pak je bod hyperbolický právě tehdy, když je rozdíl ƒ ⁿ (kde n je období bodu) nemá vlastní číslo na (komplexu) jednotkový kruh při výpočtu v bodě. Pak sedlový bod je hyperbolický periodický bod jehož stabilní a nestabilní potrubí mít dimenze to není nula.

Sedlovým bodem matice je prvek, který je jak největším prvkem v jeho sloupci, tak nejmenším prvkem v jeho řádku.

Viz také

Metoda sedlového bodu je příponou Laplaceova metoda pro aproximaci integrálů
Extrémní
Derivační test
Hyperbolický rovnovážný bod
Věta o minimaxu
Max – min nerovnost
Opičí sedlo
Věta o horském průsmyku

Reference

Citace

^ Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis (2002): Kalkul, verze s více proměnnými, str. 844.
^ Chiang, Alpha C. (1984). Základní metody matematické ekonomie (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. p.312. ISBN 0-07-010813-7.
^ Buck, R. Creighton (2003). Pokročilý počet (3. vyd.). Long Grove, IL: Waveland Press. p. 160. ISBN 1-57766-302-0.
^ von Petersdorff 2006

Zdroje

Gray, Lawrence F .; Flanigan, Francis J .; Kazdan, Jerry L .; Frank, David H .; Fristedt, Bert (1990), Počet dva: lineární a nelineární funkce, Berlín: Springer-Verlag, s.375, ISBN 0-387-97388-5
Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York, NY: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
von Petersdorff, Tobias (2006), „Kritické body autonomních systémů“, Diferenciální rovnice pro vědce a inženýry (poznámky k lekci z matematiky 246)
Widder, D. V. (1989), Pokročilý počet, New York, NY: Dover Publications, str. 128, ISBN 0-486-66103-2
Agarwal, A., Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes)

Další čtení

Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometrie a představivost (2. vyd.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.

externí odkazy

Média související s Sedlový bod na Wikimedia Commons

[1] Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis (2002): Kalkul, verze s více proměnnými, str. 844.

[2] Chiang, Alpha C. (1984). Základní metody matematické ekonomie (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. p.312. ISBN 0-07-010813-7.

[3] Buck, R. Creighton (2003). Pokročilý počet (3. vyd.). Long Grove, IL: Waveland Press. p. 160. ISBN 1-57766-302-0.

[4] von Petersdorff 2006

[1]

[2]

[3]

[4]