Riemann – Rochova věta pro plynulé potrubí - Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
v matematika, a Riemann – Rochova věta pro plynulé potrubí je verze výsledků, jako je Věta Hirzebruch – Riemann – Roch nebo Grothendieck – Riemann – Rochova věta (GRR) bez hypotézy vytvářející hladké potrubí zúčastněné nést a složitá struktura. Výsledky tohoto druhu byly získány Michael Atiyah a Friedrich Hirzebruch v roce 1959, snížení požadavků na něco jako a spinová struktura.
Formulace
Nechat X a Y být orientován hladce uzavřené rozdělovače,a F: X → Y souvislá mapa. Pojďme protiF=F*(TY) − TX v K-skupina K (X). Pokud dim (X) ≡ dim (Y) mod 2, pak
kde ch je Chern charakter, d (vF) prvek integrálu kohomologická skupina H2(Y, Z) uspokojujícíd(protiF) ≡ F* w2(T.Y)-w2(T.X) mod 2, fK * the Gysin homomorfismus pro K-teorii a fH * gysinský homomorfismus pro kohomologii.[1]Tuto větu poprvé prokázali Atiyah a Hirzebruch.[2]
Věta je prokázána zvážením několika zvláštních případů.[3] Li Y je Thomův prostor vektorového svazku PROTI přes X, pak jsou Gysinovy mapy jen Thomův izomorfismus. Poté pomocí princip rozdělení, stačí zkontrolovat větu pomocí explicitního výpočtu pro řádkové svazky.
Li F: X → Y je vložení, pak Thomův prostor normálního svazku X v Y lze považovat za tubulární sousedství Xv Ya výřez dává mapu
a
- .
Gysinová mapa pro K-teorii / cohomologii je definována jako složení Thomova izomorfismu s těmito mapami. Protože věta platí pro mapu z X do Thomova prostoru N, a protože postava Chern dojíždí s u a proti, věta platí také pro vložení.F: X → Y.
Nakonec můžeme faktorovat obecnou mapu F: X → Ydo vložení
a projekce
Věta platí pro vložení. Gysinova mapa pro projekci je Bottův-periodický izomorfismus, který dojíždí s Chernovým znakem, takže věta platí i v tomto obecném případě.
Dodatky
Atiyah a Hirzebruch se poté na případ specializovali a vylepšili X = bod, ve kterém se podmínkou stane existence spinové struktury Y. Doplňky jsou zapnuty Třídy Pontryagin a J-homomorfismus.