Ricci soliton - Ricci soliton - Wikipedia

v diferenciální geometrie, kompletní Riemannovo potrubí ${ displaystyle (M, g)}$ se nazývá a Ricci soliton pouze tehdy, pokud existuje hladké vektorové pole ${ displaystyle V}$ takhle

${ displaystyle operatorname {Ric} (g) = lambda , g - { frac {1} {2}} { mathcal {L}} _ {V} g,}$

pro nějakou konstantu ${ displaystyle lambda v mathbb {R}}$. Tady ${ displaystyle operatorname {Ric}}$ je Ricciho zakřivení tenzor a ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ představuje Derivát lži. Pokud existuje funkce ${ displaystyle f: M rightarrow mathbb {R}}$ takhle ${ displaystyle V = nabla f}$ voláme ${ displaystyle (M, g)}$ A gradient Ricci soliton a solitonová rovnice se stává

${ displaystyle operatorname {Ric} (g) + nabla ^ {2} f = lambda , g.}$

Všimněte si, že když ${ displaystyle V = 0}$ nebo ${ displaystyle f = 0}$ výše uvedené rovnice se redukují na Einsteinovu rovnici. Z tohoto důvodu jsou Ricciho solitony zobecněním Einsteinova potrubí.

Vlastní řešení Ricciho toku

Ricciho soliton ${ displaystyle (M, g_ {0})}$ poskytuje podobné řešení jako Ricciho tok rovnice

${ displaystyle částečné _ {t} g_ {t} = - 2 operatorname {Ric} (g_ {t}).}$

Zejména nechat

${ displaystyle sigma (t): = 1-2 lambda t}$

a integraci časově závislého vektorového pole ${ displaystyle X (t): = { frac {1} { sigma (t)}} V}$ dát rodinu difeormorfismů ${ displaystyle Psi _ {t}}$, s ${ displaystyle Psi _ {0}}$ identita, poskytuje řešení toku Ricci ${ displaystyle (M, g_ {t})}$ tím, že

${ displaystyle g_ {t} = sigma (t) Psi _ {t} ^ { ast} (g_ {0}).}$

V tomto výrazu ${ displaystyle Psi _ {t} ^ { ast} (g_ {0})}$ Odkazuje na zarazit metriky ${ displaystyle g_ {0}}$ podle difeomorfismu ${ displaystyle Psi _ {t}}$. Proto až do difeomorfismu a v závislosti na znamení ${ displaystyle lambda}$, Ricciho soliton se homoteticky zmenšuje, zůstává stabilní nebo expanduje pod Ricciho tokem.

Příklady Ricciho solitonů

Zmenšování (${ displaystyle lambda> 0}$)

• Gaussův zmenšující se soliton ${ displaystyle ( mathbb {R} ^ {n}, g_ {eucl}, f (x) = { frac { lambda} {2}} | x | ^ {2})}$
• Zmenšující se kulatá koule ${ displaystyle S ^ {n}, n geq 2}$
• Smršťovací kulatý válec ${ displaystyle S ^ {n-1} times mathbb {R}, n geq 3}$
• Čtyřrozměrný smršťovač FIK ^[1]
• Kompaktní přechodové smršťovače Kahler-Ricci ^[2][3][4]
• Einsteinova potrubí pozitivního skalárního zakřivení

Stabilní (${ displaystyle lambda = 0}$)

• 2. doutník soliton (aka Wittenova černá díra) ${ displaystyle left ( mathbb {R} ^ {2}, g = { frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} , V = -2 (x { frac { částečné} { částečné x}} + y { frac { částečné} { částečné y}}) pravé)}$
• 3D rotačně symetrický Bryantův soliton a jeho zobecnění do vyšších dimenzí ^[5]
• Ploché potrubí Ricci

Rozšiřující se (${ displaystyle lambda <0}$)

• Rozšiřování Kahler-Ricciho solitonů na komplexních liniových svazcích ${ displaystyle O (-k), k> n}$ přes ${ displaystyle mathbb {C} P ^ {n}, n geq 1}$.^[6]
• Einsteinova potrubí se záporným skalárním zakřivením

Singularity modely v Ricci toku

Zmenšující se a stabilní Ricciho solitony jsou základními objekty při studiu Ricciho tok jak se jeví jako limity pro nafouknutí singularity. Zejména je známo, že všechny singularity typu I jsou modelovány na nesbalených gradientech zmenšujících Ricciho solitonech.^[7] Očekává se, že singularity typu II budou modelovány na stabilních Ricciho solitonech obecně, avšak dosud to nebylo prokázáno, i když všechny známé příklady jsou.

Poznámky

Reference

• Cao, Huai-Dong (2010). "Nedávný pokrok u Ricciho solitonů". arXiv:0908.2006.
• Topping, Peter (2006), Přednášky o toku Ricci, Cambridge University Press, ISBN  978-0521689472