Rezonanční ultrazvuková spektroskopie - Resonant ultrasound spectroscopy

Rezonanční ultrazvuková spektroskopie (RUS) je laboratorní technika používaná v geologie a věda o materiálech měřit základní vlastnosti materiálu zahrnující pružnost. Tato technika se spoléhá na skutečnost, že pevné objekty mají vlastní frekvence při kterém vibrují při mechanickém buzení. Přirozená frekvence závisí na pružnosti, velikosti a tvaru objektu - RUS využívá tuto vlastnost těles k určení elastický tenzor materiálu. Velkou výhodou této techniky je, že celý elastický tenzor je získán z a monokrystal vzorek v jednom rychlém měření.^[1] Na nižších nebo obecnějších frekvencích je tato metoda známá jako akustická rezonanční spektroskopie.

Dějiny

Zájem o elastické vlastnosti se prosadil u filozofů 17. století, ale skutečná teorie pružnosti, která naznačuje, že elastické konstanty materiálu lze získat měřením rychlostí zvuku v tomto materiálu, byla shrnuta až o dvě stě let později. V roce 1964 použili D. B. Frasier a R. C. LeCraw řešení vypočítané v roce 1880 autorem G. Lamè a H. Lamb vyřešit problém vpřed a poté jej graficky převrátit, což může být první měření RUS. Přesto jsme museli počkat na účast geofyzikální komunity, která se zajímala o určení vnitřní struktura Země, vyřešit také inverzní problém: v roce 1970 tři geofyzici vylepšili předchozí metodu a zavedli tento termín technika rezonanční koule (RST). Nadšený povzbudivými výsledky dosaženými s měsíční vzorky, jeden z nich dal jednomu ze svých studentů za úkol rozšířit metodu pro použití se vzorky ve tvaru krychle. Tato metoda, nyní známá jako obdélníková rovnoběžnostěnná rezonance (RPR), byla dále rozšířena I. Ohnem v roce 1976. Nakonec na konci osmdesátých let A. Migliori a J. Maynard rozšířili limity této techniky, pokud jde o zatížení a nízkoúrovňová elektronická měření, a W Visscher přinesl počítačové algoritmy do jejich současného stavu a zavádí se konečný termín rezonanční ultrazvuková spektroskopie (RUS).^[2]

Teorie

Nejprve vyřešte problém výpočtu vlastní frekvence z hlediska rozměrů vzorku, hmotnosti a množiny hypotetických elastických konstant (problém vpřed). Poté použijte nelineární inverzní algoritmus k nalezení elastických konstant z měřených přirozených frekvencí ( inverzní problém ).

Lagrangeova minimalizace

Všechna měření RUS se provádějí na vzorcích, které jsou volnými vibrátory. Protože kompletní analytické řešení protože volné vibrace pevných látek neexistují, musí se spoléhat na aproximace. Konečný element metody vycházejí z vyvážení sil na diferenciálu objemový prvek a výpočet jeho odezvy. Minimalizace energie metody na druhé straně určují minimální energii, a tedy rovnovážnou konfiguraci pro objekt. Mezi technikami minimalizace energie byla Lagrangeova minimalizace je v analýzách RUS nejpoužívanější z důvodu jeho výhody v rychlosti (řádově menší než metody konečných prvků).

Postup začíná u objektu objemu V, ohraničeného jeho volný povrch S. Lagrangian je dána

${ displaystyle L = int _ {V} (KE-PE) dV (1)}$

kde KE je Kinetická energie hustota

${ displaystyle KE = { frac {1} {2}} součet _ {i} rho omega ^ {2} u_ {i} ^ {2} (2)}$

a PE je potenciální energie hustota

${ displaystyle PE = { frac {1} {2}} součet _ {i, j, k, l} c_ {i, j, k, l} { frac {du_ {i}} {dx_ {j }}} { frac {du_ {k}} {dx_ {l}}} (3)}$

Obr. 1: Počítačem generované ilustrace některých normálních režimů vibrací pro obdélníkový rovnoběžnostěnný vzorek.

Tady, ${ displaystyle u_ {i}}$ je i-ta složka vektor posunutí, ω je úhlová frekvence z harmonické časové závislosti, ${ displaystyle c_ {i, j, k, l}}$ je složka elastického tenzoru a ρ je hustota. Dolní indexy i, j atd., Viz Kartézská souřadnice Pokyny.

Chcete-li najít minimum Lagrangeovy, vypočítejte rozdíl L jako funkce u, libovolná variace u ve V a na S. To dává:

${ displaystyle delta L = int _ {V} { Bigl {} sum _ {i} { Bigl [} rho omega ^ {2} u_ {i} - sum _ {j, k , l} c_ {i, j, k, l} { frac { delta ^ {2} u_ {k}} { delta x_ {j} delta x_ {l}}} { Bigr]} delta u_ {i} { Bigr }} dV- int _ {S} { Bigl {} sum _ {i} { Bigl [} sum _ {j, k, l} { vec {n }} c_ {i, j, k, l} { frac { delta u_ {k}} { delta x_ {l}}} { Bigr]} du_ {i} { Bigr }} dS (4 )}$

Protože ${ displaystyle u_ {i}}$ je libovolné ve V a na S, oba členy v hranatých závorkách musí být nulové.^[3] Nastavením prvního členu na nulu se získá elastická vlna rovnice. Druhý hranatý hranatý výraz je výrazem volný povrch okrajové podmínky; ${ displaystyle { vec {n}}}$ je jednotkový vektor normální k S. Pro a svobodné tělo (jak předpokládáme), druhý člen se rovná nule a lze jej ignorovat.

Tedy soubor ${ displaystyle u_ {i}}$ které splňují výše uvedené podmínky, jsou ty posuny, které odpovídají tomu, že ω je a normální mód frekvence systému. To naznačuje, že normální vibrace objektu (obr. 1) lze vypočítat použitím a variační metoda (v našem případě Rayleigh-Ritzova variační metoda, vysvětleno v dalším odstavci), abychom určili jak frekvence normálního režimu, tak popis fyzických oscilací.^[4] Cituji Visschera, získání obou rovnic ze základního Lagrangeova jazyka je „matematická náhoda, ke které mohlo dojít během prodlevy Murphyho bdělost".^[5]

Rayleigh-Ritzova variační metoda

Uplatnění tohoto přístupu vyžaduje rozšíření ${ displaystyle u_ {i}}$ v sadě základních funkcí vhodných pro geometrii těla, dosazením tohoto výrazu do rovnice. (1) a snížení problému na problém diagonalizace matice N × N (vlastní číslo problém). The stacionární body Lagrangeovy jsou nalezeny řešením problému vlastních čísel vyplývajícího z rovnice. (4), to znamená,

${ displaystyle omega ^ {2} Ea = gama a (5)}$

kde a jsou aproximace pohybu rozšířeného v úplné základní sadě, E pochází z Kinetická energie termín, a Γ pochází z elastická energie období. Pořadí matic je pro dobrou aproximaci ~ 10 ^ 3.

Rovnice (5) určuje rezonance frekvence od elastické moduly.^[3]

Inverzní problém

The inverzní problém odečtení elastických konstant z naměřené hodnoty spektrum z mechanické rezonance nemá žádný analytické řešení, takže je třeba jej vyřešit výpočetními metodami. U nepřímé metody je počáteční rezonanční frekvenční spektrum, ${ displaystyle f_ {n} ^ {cal}}$ (n = 1,2, ...) se vypočítá pomocí odhadovaných hodnot pro elastické konstanty a známých rozměrů a hustoty vzorku. Rozdíl mezi vypočítaným a měřeným rezonančním frekvenčním spektrem, ${ displaystyle f_ {n} ^ {mea}}$ (n = 1,2, ...) se kvantifikuje a hodnota zásluh funkce,

${ displaystyle F = sum _ {n} w_ {n} (f_ {n} ^ {cal} -f_ {n} ^ {mea}) ^ {2} (6)}$

kde ${ displaystyle w_ {n}}$ (n = 1,2, ...) jsou váhové koeficienty odrážející spolehlivost jednotlivých měření rezonance. Potom se hledá minimalizace funkce F pomocí regrese hodnot všech elastických konstant pomocí počítačový software vyvinutý pro tento proces.^[6]

Měření

Obr: Schéma nastavení rezonanční ultrazvukové spektroskopie dvou snímačů.

Nejběžnější způsob detekce mechanického rezonančního spektra je znázorněn na obr. 2, kde je malý rovnoběžnostěn vzorek ve tvaru je lehce držen mezi dvěma piezoelektrické měniče. Jeden snímač se používá ke generování elastická vlna konstantní amplituda a různé frekvence zatímco druhý slouží k detekci rezonance vzorku. Jak je zametán frekvenční rozsah, posloupnost rezonance zaznamenávají se vrcholy. Poloha těchto vrcholů se vyskytuje na vlastní frekvence ${ displaystyle f_ {n}}$ (ze kterých se určují elastické konstanty) a faktor kvality Q (míra, jak úzká je rezonance) poskytuje informace o rozptýlení z elastická energie. K minimalizaci zatížení vzorku je nutná přítomnost několika převodníků, aby bylo dosaženo nejlepší možné shody mezi rezonančními frekvencemi a přirozenými frekvencemi. Výsledkem je a přesnost měření řádově 10%, zatímco měření přesnost frekvence je vždy řádově několik dílů na milion.

Na rozdíl od konvenčního ultrazvukového měření je u metody, která rezonuje ve vzorku, silná vazba mezi převodník a vzorek není vyžadován, protože se vzorek chová jako přirozený zesilovač.^[2] Ponecháte-li minimálně pár mezi nimi, získáte dobrou aproximaci volný povrch okrajové podmínky a mají tendenci zachovávat i Q. U měření s proměnnou teplotou je vzorek držen mezi konci dvou pufrových tyčí, které spojují vzorek s měniči (obr. 3), protože měniče musí být udržovány na pokojová teplota. Ve smyslu tlak, naopak, existuje limit pouze několika barů, protože aplikace vyšších tlaků vede k tlumení rezonancí vzorku.^[1]

Vzorky

RUS lze aplikovat na širokou škálu velikostí vzorků, s minimem v objednávce nebo několika stovkami mikrometry, ale pro měření elasticity minerálů se používá na vzorcích o velikosti obvykle mezi 1 mm a 1 cm.

Vzorek, buď zcela hustý polykrystalický agregát nebo a monokrystal, je opracován do pravidelného tvaru.^[1] Teoreticky lze použít jakýkoli tvar vzorku, ale podstatnou úsporu ve výpočetním čase získáte pomocí obdélníkových rovnoběžnostěnných rezonátorů (RPR), sférických nebo válcových (menší úspora času u válců).

Obr: Sestava vzorku pro měření RUS s proměnnou teplotou.

Protože přesnost měření přísně závisí na přesnosti při přípravě vzorku, je přijato několik opatření: RPR jsou připraveny s hranami rovnoběžnými s krystalografickými směry; u válců lze ke vzorku přiřadit pouze osu symetrie. RUS se zřídka používá pro vzorky nižší symetrie a pro izotropní vzorky, zarovnání je irelevantní. U vyšších symetrií je vhodné mít hrany různých délek, aby se zabránilo redundantní rezonanci.

Měření na jednotlivých krystalech vyžadují orientaci krystalografických os vzorku s hranami RPR, aby se zanedbal výpočet orientace a zabýval se pouze elastické moduly.^[4]

Polykrystalické vzorky by měly být v ideálním případě zcela husté, bez trhlin a bez preferenční orientace zrn. Vzorky monokrystalu musí být bez vnitřního obsahu vady jako dvojité stěny. Povrchy všech vzorků musí být vyleštěny rovně a protilehlé plochy by měly být rovnoběžné. Jakmile je připraven, hustota musí být měřeno přesně, protože mění měřítko celé sady modulů pružnosti.^[1]

Převodníky

Na rozdíl od všech ostatních ultrazvukových technik, RUS ultrazvukové měniče jsou navrženy tak, aby umožňovaly kontakt suchého bodu se vzorkem. To je způsobeno požadavkem na volný povrch okrajové podmínky pro výpočet elastické moduly z frekvencí. U RPR to vyžaduje velmi lehký dotek mezi rohy vzorku a měniči. Rohy se používají, protože poskytují elasticky slabé spojení, snižují zatížení a protože nikdy nejsou body vibračních uzlů. Dostatečně slabý kontakt zajišťuje, že není nutná žádná transdukovaná korekce.^[4]

Aplikace

Jako univerzální nástroj pro charakterizaci elastických vlastností pevný materiálů našel RUS uplatnění v různých oborech geovědy jedna z nejdůležitějších aplikací souvisí s určením seismické rychlosti v Zemský interiér. V nedávné práci^[7] například elastické konstanty vodní forsterit byly měřeny až 14,1 GPa při teplotě okolí. Tato studie ukázala, že agregát hromadně a smykové moduly vodného forsteritu se zvyšuje s tlakem vyšší rychlostí než odpovídající bezvodý fáze. To znamená, že za okolních podmínek jsou VP a VS vodného forsteritu pomalejší než u bezvodého; naopak, se zvyšujícím se tlakem a následně hloubkou, V_P a V_S vodného forsteritu převyšuje obsah bezvodého. Kromě toho hydratace snižuje V_P/PROTI_S poměr forsteritu, maximum kompresní vlna azimutální anizotropie a maximum smyková vlna rozdělení. Tyto údaje nám pomáhají omezovat se Zemský plášť složení a rozlišovat regiony vodík obohacování z oblastí s vysokou teplotou nebo částečným roztavením.

Reference