Snížení objednávky - Reduction of order

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Snížení objednávky je technika v matematika pro řešení lineárního řádu druhého řádu obyčejný diferenciální rovnice. Používá se, když je jedno řešení ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ je známý a druhý lineárně nezávislé řešení ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ je žádoucí. Metoda platí také pro rovnice n-tého řádu. V tomto případě ansatz získá rovnici (n-1) -tého řádu pro ${ displaystyle v}$.

Lineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu

Příklad

Uvažujme obecnou homogenní obyčejnou diferenciální rovnici lineárního konstantního koeficientu druhého řádu. (ÓDA)

${ displaystyle ay '' (x) + by '(x) + cy (x) = 0, ;}$

kde ${ displaystyle a, b, c}$ jsou skutečné nenulové koeficienty. Pomocí tohoto řešení lze přímo najít dvě lineárně nezávislá řešení pro tento ODE charakteristické rovnice kromě případu, kdy diskriminující, ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$, zmizí. V tomto případě,

${ displaystyle ay '' (x) + od '(x) + { frac {b ^ {2}} {4a}} y (x) = 0, ;}$

z nichž pouze jedno řešení,

${ displaystyle y_ {1} (x) = e ^ {- { frac {b} {2a}} x},}$

lze nalézt pomocí jeho charakteristické rovnice.

Metoda redukce řádu se používá k získání druhého lineárně nezávislého řešení této diferenciální rovnice pomocí našeho jednoho známého řešení. Abychom našli druhé řešení, bereme to jako odhad

${ displaystyle y_ {2} (x) = v (x) y_ {1} (x) ;}$

kde ${ displaystyle v (x)}$ je neznámá funkce, kterou je třeba určit. Od té doby ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ musí uspokojit původní ODR, nahradíme ji zpět, abychom získali

${ displaystyle a left (v''y_ {1} + 2v'y_ {1} '+ vy_ {1}' right) + b left (v'y_ {1} + vy_ {1} ' vpravo) + { frac {b ^ {2}} {4a}} vy_ {1} = 0.}$

Přeskupení této rovnice, pokud jde o deriváty ${ displaystyle v (x)}$ dostaneme

${ displaystyle left (ay_ {1} right) v '' + left (2ay_ {1} '+ by_ {1} right) v' + left (ay_ {1} '' + by_ {1} '+ { frac {b ^ {2}} {4a}} y_ {1} vpravo) v = 0.}$

Protože to víme ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ je řešením původního problému, je koeficient posledního členu roven nule. Dále střídání ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ do výnosu koeficientu druhého členu (pro tento koeficient)

${ displaystyle 2a left (- {{frac {b} {2a}} e ^ {- { frac {b} {2a}} x} right) + být ^ {- { frac {b} {2a }} x} = left (-b + b right) e ^ {- { frac {b} {2a}} x} = 0.}$

Proto nám zbývá

${ displaystyle ay_ {1} v '' = 0. ;}$

Od té doby ${ displaystyle a}$ se předpokládá nenulová a ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ je exponenciální funkce (a tedy vždy nenulové), máme

${ displaystyle v '' = 0. ;}$

To může být integrováno dvakrát, čímž se získá

${ displaystyle v (x) = c_ {1} x + c_ {2} ;}$

kde ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ jsou konstanty integrace. Naše druhé řešení nyní můžeme napsat jako

${ displaystyle y_ {2} (x) = (c_ {1} x + c_ {2}) y_ {1} (x) = c_ {1} xy_ {1} (x) + c_ {2} y_ {1 }(X).;}$

Od druhého funkčního období v ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ je skalární násobek prvního řešení (a tedy lineárně závislý), který můžeme tento termín vypustit, čímž získáme konečné řešení

${ displaystyle y_ {2} (x) = xy_ {1} (x) = xe ^ {- { frac {b} {2a}} x}.}$

Nakonec můžeme dokázat, že druhé řešení ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ nalezený touto metodou je lineárně nezávislý na prvním řešení výpočtem Wronskian

${ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = { begin {vmatrix} y_ {1} & xy_ {1} y_ {1} '& y_ {1} + xy_ {1}' end {vmatrix}} = y_ {1} (y_ {1} + xy_ {1} ') - xy_ {1} y_ {1}' = y_ {1} ^ {2} + xy_ {1} y_ {1 } '- xy_ {1} y_ {1}' = y_ {1} ^ {2} = e ^ {- { frac {b} {a}} x} neq 0.}$

Tím pádem ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ je druhé lineárně nezávislé řešení, které jsme hledali.

Obecná metoda

Vzhledem k obecné nehomogenní lineární diferenciální rovnici

${ Displaystyle y '' + p (t) y '+ q (t) y = r (t) ,}$

a jediné řešení ${ displaystyle y_ {1} (t)}$ homogenní rovnice [${ displaystyle r (t) = 0}$], zkusme řešení úplné nehomogenní rovnice ve tvaru:

${ displaystyle y_ {2} = v (t) y_ {1} (t) ,}$

kde ${ displaystyle v (t)}$ je libovolná funkce. Tím pádem

${ displaystyle y_ {2} '= v' (t) y_ {1} (t) + v (t) y_ {1} '(t) ,}$

a

${ displaystyle y_ {2} '' = v '' (t) y_ {1} (t) + 2v '(t) y_ {1}' (t) + v (t) y_ {1} '' (t ). ,}$

Pokud jsou nahrazeny ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle '$, a ${ displaystyle y ''}$ v diferenciální rovnici tedy

${ displaystyle y_ {1} (t) , v '' + (2y_ {1} '(t) + p (t) y_ {1} (t)) , v' + (y_ {1} '') (t) + p (t) y_ {1} '(t) + q (t) y_ {1} (t)) , v = r (t).}$

Od té doby ${ displaystyle y_ {1} (t)}$ je řešení původní homogenní diferenciální rovnice, ${ displaystyle y_ {1} '(t) + p (t) y_ {1}' (t) + q (t) y_ {1} (t) = 0}$, takže můžeme snížit na

${ displaystyle y_ {1} (t) , v '' + (2y_ {1} '(t) + p (t) y_ {1} (t)) , v' = r (t)}$

což je diferenciální rovnice prvního řádu pro ${ displaystyle v '(t)}$ (snížení objednávky). Rozdělte ${ displaystyle y_ {1} (t)}$, získávání

${ displaystyle v '' + left ({ frac {2y_ {1} '(t)} {y_ {1} (t)}} + p (t) right) , v' = { frac { r (t)} {y_ {1} (t)}}}$.

The integrační faktor je ${ displaystyle mu (t) = e ^ { int ({ frac {2y_ {1} '(t)} {y_ {1} (t)}} + p (t)) dt} = y_ {1 } ^ {2} (t) e ^ { int p (t) dt}}$.

Vynásobení diferenciální rovnice integračním faktorem ${ displaystyle mu (t)}$, rovnice pro ${ displaystyle v (t)}$ lze snížit na

${ displaystyle { frac {d} {dt}} (v '(t) y_ {1} ^ {2} (t) e ^ { int p (t) dt}) = y_ {1} (t) r (t) e ^ { int p (t) dt}}$.

Po integraci poslední rovnice ${ displaystyle v '(t)}$ je nalezen, obsahující jednu konstantu integrace. Pak se integrujte ${ displaystyle v '(t)}$ najít úplné řešení původní nehomogenní rovnice druhého řádu, vykazující dvě konstanty integrace, jak by měla:

${ displaystyle y_ {2} (t) = v (t) y_ {1} (t) ,}$.

Viz také

• Variace parametrů

Reference

• W. E. Boyce a R. C. DiPrima, Elementární diferenciální rovnice a problémy s hraničními hodnotami (8. vydání), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN  0-471-43338-1.
• Teschl, Gerald (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Eric W. Weisstein, Obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu Druhé řešení „Z MathWorld - webový zdroj Wolfram.