Bass-Quillenova domněnka - Bass–Quillen conjecture - Wikipedia

V matematice je Bass-Quillenova domněnka se týká vektorové svazky přes pravidelný Noetherian ring A a přes polynomiální kruh ${ displaystyle A [t_ {1}, dots, t_ {n}]}$ . Domněnka je pojmenována pro Hyman Bass a Daniel Quillen, který formuloval domněnku.^[1]^[2]

Prohlášení o domněnce

Domněnka je výrok o definitivně generováno projektivní moduly. Takovým modulům se také říká vektorové svazky. Pro prsten A, soubor třídy izomorfismu vektorových svazků A hodnosti r je označen ${ displaystyle operatorname {Vect} _ {r} (A)}$ .

Domněnka tvrdí, že pro normální noetherianský prsten A zadání

{ displaystyle M mapsto M otimes _ {A} A [t_ {1}, dots, t_ {n}]}

přináší bijection

{ displaystyle operatorname {Vect} _ {r} (A) { stackrel { sim} { to}} operatorname {Vect} _ {r} (A [t_ {1}, dots, t_ {n }]).}

Známé případy

Li A = k je pole, domněnka Bass – Quillen tvrdí, že jakýkoli projektivní modul končí ${ displaystyle k [t_ {1}, dots, t_ {n}]}$ je zdarma. Tuto otázku položil Jean-Pierre Serre a později to dokázali Quillen a Suslin, viz Quillen – Suslinova věta Obecněji, domněnka byla prokázána Lindel (1981) v případě, že A je plynulá algebra nad polem k. Další známé případy jsou přezkoumány v Lam (2006).

Rozšíření

Sada tříd izomorfismu vektorových svazků hodnosti r přes A lze také identifikovat pomocí nonabelianská kohomologie skupina

{ displaystyle H_ {Nis} ^ {1} (Spec (A), GL_ {r}).}

Pozitivní výsledky ohledně homotopické invariance

{ displaystyle H_ {Nis} ^ {1} (U, G)}

z izotropní reduktivní skupiny G byly získány Asok, Hoyois & Wendt (2018) pomocí A¹ teorie homotopy.

Reference

^ Bass, H. (1973), Některé problémy v „klasické“ algebraické teorii K. Algebraická K-teorie II, Berlín-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, Oddíl 4.1
^ Quillen, D. (1976), „Projektivní moduly přes polynomiální prstence“, Vymyslet. Matematika., 36: 167–171, Bibcode:1976InMat..36..167Q, doi:10.1007 / bf01390008

Asok, Aravind; Hoyois, Marc; Wendt, Matthias (2018), „Výsledky afinní reprezentovatelnosti v teorii A ^ 1-homotopy II: hlavní svazky a homogenní prostory“, Geom. Topol., 22 (2): 1181–1225, arXiv:1507.08020, Zbl 1400.14061
Lindel, H. (1981), „O hypotéze Bass – Quillen týkající se projektivních modulů přes polynomiální prstence“, Vymyslet. Matematika., 65 (2): 319–323, Bibcode:1981InMat..65..319L, doi:10.1007 / bf01389017
Lam, T. Y. (2006), Serreův problém na projektivních modulech, Berlín: Springer, ISBN 3-540-23317-2, Zbl 1101.13001

[1] Bass, H. (1973), Některé problémy v „klasické“ algebraické teorii K. Algebraická K-teorie II, Berlín-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, Oddíl 4.1

[2] Quillen, D. (1976), „Projektivní moduly přes polynomiální prstence“, Vymyslet. Matematika., 36: 167–171, Bibcode:1976InMat..36..167Q, doi:10.1007 / bf01390008

[1]

[2]