Kvazi-empirizmus v matematice - Quasi-empiricism in mathematics

Kvazi-empirizmus v matematice je pokus v filozofie matematiky zaměřit pozornost filozofů na matematická praxe, zejména vztahy s fyzika, společenské vědy, a výpočetní matematika, nikoli pouze k problémům v základy matematiky. Tato diskuse se týká několika témat: vztah empirismus (vidět Penelope Maddy ) s matematika, problémy související s realismus, důležitost kultura nutnost aplikace, atd.

Primární argumenty

Primární argument s ohledem na kvazi-empirismus je to, že zatímco matematika a fyzika jsou často považovány za úzce propojené studijní obory, může to odrážet člověka kognitivní zkreslení. Tvrdí se, že i přes důsledné uplatňování vhodných empirické metody nebo matematická praxe v obou oblastech by to však nebylo dostatečné k vyvrácení alternativních přístupů.

Eugene Wigner (1960)[1] poznamenal že tato kultura nemusí být omezena na matematiku, fyziku nebo dokonce na lidi. Dále uvedl, že „Zázrak vhodnosti jazyka matematiky pro formulaci fyzikálních zákonů je úžasným darem, kterému nerozumíme ani si jej nezasloužíme. Měli bychom za něj být vděční a doufat, že v budoucím výzkumu zůstane platný a že se rozšíří, k lepšímu nebo k horšímu, k našemu potěšení, i když možná také k našemu zmatku, k širokým odvětvím učení. “ Wigner použil několik příkladů k prokázání toho, proč je „zmatek“ vhodným popisem, jako například ukázka toho, jak matematika přispívá k situačním znalostem způsoby, které buď nejsou možné jinak, nebo jsou tak mimo normální myšlenku, že si toho nevšimnou. Dalším příkladem je prediktivní schopnost ve smyslu popisu potenciálních jevů před jejich pozorováním, kterou lze podpořit matematickým systémem.

V návaznosti na Vůdce, Richard Hamming (1980)[2] napsal o aplikace matematiky jako ústřední téma k tomuto tématu a navrhl, že úspěšné použití může někdy trumfnout důkaz, a to v následujícím smyslu: pokud má věta evidentní věrohodnost prostřednictvím použitelnosti, pozdější důkazy, které dokazují, že důkaz věty je problematický, by vyústily spíše ve snahu zpevnit teorém, spíše než se snažit předělat aplikace nebo popřít dosavadní výsledky. Hamming měl čtyři vysvětlení pro „účinnost“, kterou vidíme u matematiky, a rozhodně viděl toto téma jako hodné diskuse a studia.

  1. „Vidíme, co hledáme.“ Proč je „kvazi“ v souvislosti s touto diskusí vhodný.
  2. „Vybíráme druh matematiky, který použijeme.“ Naše použití a modifikace matematiky je v zásadě situační a cílené.
  3. „Věda ve skutečnosti odpovídá na poměrně málo problémů.“ Stále je třeba se dívat na větší sadu.
  4. „Model poskytl vývoj člověka.“ Lidský prvek může mít určité limity.

Pro Willard Van Orman Quine (1960),[3] existence je pouze existence ve struktuře. Tato pozice je relevantní pro kvazi-empirismus, protože Quine věří, že stejné důkazy podporující teoretizování o struktuře světa jsou stejné jako důkazy podporující teoretizování o matematických strukturách.[4]

Hilary Putnam (1975)[5] uvedl, že matematika přijala neformální důkazy a důkazy autoritami a během své historie dělala a opravovala chyby. Také to uvedl Euklid systém dokazování geometrie věty byly pro klasičtí Řekové a nevyvíjel se podobně v jiných matematických kulturách v Čína, Indie, a Arábie. Tento a další důkaz vedl mnoho matematiků k odmítnutí označení Platonisté, spolu s Platónova ontologie - který spolu s metodami a epistemologií Aristoteles, sloužil jako ontologie základů pro západní svět od jeho počátků. Skutečně mezinárodní kultura matematiky by Putnam a další (1983)[6] argumentoval, musí být nutně přinejmenším „kvazi“ empirický (zahrnuje „vědeckou metodu“ konsensu, pokud ne experiment).

Imre Lakatos (1976),[7] který pro toto téma zpracoval svoji původní práci jeho disertační práce (1961, Cambridge ), argumentoval provýzkumné programy `` jako prostředek k podpoře základ pro matematiku a uvažoval myšlenkové experimenty podle potřeby k matematickému objevu. Lakatos mohl být první, kdo v rámci tohoto tématu použil „kvazi-empirismus“.

Provozní aspekty

Několik nedávných prací se týká tohoto tématu. Gregory Chaitin a Stephen Wolfram Práce, ačkoli jejich pozice mohou být považovány za kontroverzní, platí. Chaitin (1997/2003)[8] naznačuje základní náhodnost matematiky a Wolframa (Nový druh vědy, 2002)[9] tvrdí, že nerozhodnutelnost může mít praktický význam, to znamená být více než abstrakcí.

Dalším relevantním doplňkem by byly diskuse týkající se interaktivní výpočet, zejména těch, které souvisejí se smyslem a použitím Turing model (Church-Turingova teze, Turingovy stroje, atd.).

Tyto práce jsou silně výpočetní a vyvolávají další problém. Cituji Chaitina (1997/2003):

Nyní se všechno zvrtlo. Je to zmatek, ne kvůli nějakému filozofickému argumentu, ne kvůli Gödel výsledky nebo Turing Výsledky nebo výsledky mé vlastní neúplnosti. Je to zuřivost z velmi jednoduchého důvodu - počítač![8]:96

Sbírka „Nerozhodnutelných“ ve Wolframu (Nový druh vědy, 2002)[9] je dalším příkladem.

Wegnerova Příspěvek z roku 2006 „Zásady řešení problémů“[10] to naznačuje interaktivní výpočet může pomoci matematice vytvořit vhodnější rámec (empirický ), než které lze založit racionalismus sama. S tímto argumentem souvisí, že funkce (i rekurzivně související ad infinitum) je příliš jednoduchý konstrukt na zvládnutí reality entit, které řeší (pomocí výpočtu nebo nějakého typu analogu) n-dimenzionální (obecný význam slova) systémy.

Viz také

Reference

  1. ^ Eugene Wigner, 1960, "Nerozumná účinnost matematiky v přírodních vědách," Sdělení o čisté a aplikované matematice 13:
  2. ^ R. W. Hamming, 1980, Nerozumná účinnost matematiky, The Americký matematický měsíčník Svazek 87, číslo 2. února 1980
  3. ^ Willard Van Orman Quine (1960), Slovo a objekt, MIT Stiskněte, str. 22.
  4. ^ Paul Ernest (ed.), Matematická výchova a filozofie: Mezinárodní perspektiva, Routledge, 2003, s. 45.
  5. ^ Putnam, Hilary, 1975, Mysl, jazyk a realita. Philosophical Papers, svazek 2. Cambridge University Press, Cambridge, Velká Británie. ISBN  88-459-0257-9
  6. ^ Benacerraf, Paul, a Putnam, Hilary (eds.), 1983, Filozofie matematiky, vybraná čtení, 1. vydání, Prentice – Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. 2. vydání, Cambridge University Press, Cambridge, Velká Británie, 1983
  7. ^ Lakatos, Imre (1976), Důkazy a vyvrácení. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-29038-4
  8. ^ A b Chaitin, Gregory J., 1997/2003, Meze matematiky Archivováno 1. ledna 2006, na Wayback Machine, Springer-Verlag, New York, NY. ISBN  1-85233-668-4
  9. ^ A b Wolfram, Stephen, 2002, Nový druh vědy (Nerozhodnutelné ), Wolfram Media, Chicago, IL. ISBN  1-57955-008-8
  10. ^ Peter Wegner „Dina Goldin, 2006,“Zásady řešení problémů ". Komunikace ACM 49 (2006), s. 27–29