Pseudoreflexe - Pseudoreflection - Wikipedia

v matematika, a pseudoreflexe je invertibilní lineární transformace konečně-dimenzionální vektorový prostor taková, že to není transformace identity, má konečný (multiplikativní) objednat a opravuje a nadrovina. Pojem pseudoreflexe zobecňuje pojmy odraz a komplexní reflexe, a jednoduše se nazývá odraz některými matematiky. Hraje důležitou roli v Invariantní teorie konečných grup, včetně Věta Chevalley-Shephard-Todd.^[1]

Formální definice

Předpokládejme to PROTI je vektorový prostor přes pole K., jehož dimenze je konečné číslo n. A pseudoreflexe je invertibilní lineární transformace ${ displaystyle g: V až V}$ takové, že pořadí G je konečný a pevný podprostor ${ displaystyle V ^ {g} = {v ve V: gv = v }}$ všech vektorů v PROTI stanoveno G má rozměr n-1.

Vlastní čísla

Pseudoreflexe G má vlastní hodnotu 1 multiplicity n-1 a další vlastní číslo r multiplicity 1. Protože G má konečné pořadí, vlastní hodnotu r musí být kořen jednoty v oboru K.. Je možné, že r = 1 (viz Transvections ).

Diagonalizovatelné pseudoreflexe

Nechat p být charakteristický pole K.. Pokud je v pořadí G je coprime na p pak G je úhlopříčně a představovaný a diagonální matice

diag (1, ..., 1, r ) = ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & 0 0 & 0 & 0 & cdots & r end {bmatrix }}}$

kde r je kořen jednoty, která se nerovná 1. To zahrnuje případ, kdy K. je pole charakteristické nuly, například pole reálných čísel a pole komplexních čísel.

Diagonalizovatelná pseudoreflexe se někdy nazývá a polojediný odraz.

Skutečné odrazy

Když K. je pole reálných čísel, pseudoreflexe má maticový tvar diag (1, ..., 1, -1). Pseudoreflexe s takovou maticovou formou se nazývá a skutečný odraz. Pokud prostor, na který tato transformace působí, připouští a symetrická bilineární forma aby ortogonalita vektorů lze definovat, pak je transformace pravdivá odraz.

Složité odrazy

Když K. je pole komplexních čísel, pseudoreflexe se nazývá a komplexní reflexe, které mohou být reprezentovány a diagonální matice diag (1, ..., 1, r), kde r je komplexní kořen jednoty nerovný 1.

Transvections

Pokud pseudoreflexe G není možné diagonalizovat r = 1 a G má Jordan normální forma

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & 1 0 & 0 & 0 & cdots & 1 konec {bmatrix}}}$

V takovém případě G se nazývá a transvekce. Pseudoreflexe G je transvekce tehdy a jen tehdy, je-li charakteristika p pole K. je pozitivní a pořadí G je p. Transvekce jsou užitečné při studiu konečných geometrií a klasifikaci jejich skupin pohybů.^[2]

Reference