Pseudocomplement - Pseudocomplement

v matematika, zejména v teorie objednávek, a pseudokomplement je jedno zobecnění pojmu doplněk. V mříž L s spodní prvek 0, prvek X ∈ L říká se, že má pseudokomplement pokud existuje největší prvek X* ∈ L, disjunktní od Xs majetkem, který X ∧ X* = 0. Více formálně, X* = max { y ∈ L | X ∧ y = 0}. Mříž L samo o sobě se nazývá a pseudokomplementovaná mříž pokud každý prvek L je pseudokomplementovaný. Každá pseudokomplementovaná mřížka je nutně ohraničený, tj. má také 1. Vzhledem k tomu, že pseudokomplement je podle definice jedinečný (pokud existuje), může být pseudokomplementovaná mřížka vybavena unární operací * mapující každý prvek na jeho pseudokomplement; tato struktura se někdy nazývá a str-algebra.[1][2] Tento druhý termín však může mít v jiných oblastech matematiky jiné významy.

Vlastnosti

V str-algebra L, pro všechny X, y ∈ L:[1][2]

  • Mapa X ↦ X* je antitone. Zejména 0 * = 1 a 1 * = 0.
  • Mapa X ↦ X** je uzavření.
  • X* = X***.
  • (X∨y)* = X* ∧ y*.
  • (X∧y)** = X** ∧ y**.

Sada S(L) ≝ { X** | X ∈ L } se nazývá kostra z L. S(L) je ∧-subsemilattice z L a společně s X ∪ y = (X∨y)** = (X* ∧ y*) * tvoří a Booleova algebra (doplněk v této algebře je *).[1][2] Obecně, S(L) není sublattice z L.[2] Distribuční str-algebra, S(L) je sada doplněno prvky L.[1]

Každý prvek X s majetkem X* = 0 (nebo ekvivalentně, X** = 1) je volána hustý. Každý prvek formuláře X ∨ X* je hustý. D(L), sada všech hustých prvků v L je filtr z L.[1][2] Distribuční str-algebra je booleovská právě tehdy D(L) = {1}.[1]

Pseudokomplementované mřížky tvoří a odrůda.[2]

Příklady

  • Každý konečný distribuční mříž je pseudokomplementovaný.[1]
  • Každý Kamenná algebra je pseudokomplementovaný. Kamennou algebru lze ve skutečnosti definovat jako pseudokomplementovanou distribuční mřížku L ve kterém platí kterékoli z následujících ekvivalentních tvrzení pro všechny X, y ∈ L:[1]
    • S(L) je sublattice z L;
    • (X∧y)* = X* ∨ y*;
    • (X∨y)** = X** ∨ y**;
    • X* ∨ X** = 1.
  • Každý Heyting algebra je pseudokomplementovaný.[1]
  • Li X je sada, otevřená množinová topologie na X je pseudokomplementovaná (a distribuční) mřížka, přičemž setkávání a spojování je obvyklým spojením a průnikem otevřených množin. Pseudokomplement otevřené sady A je interiér z sada doplňků z A. Kromě toho jsou husté prvky této mřížky přesně ty husté otevřené podmnožiny v topologickém smyslu.[2]

Relativní pseudokomplement

A relativní pseudokomplement z A s ohledem na b je maximální prvek C takhle A∧C≤b. Tento binární operace je označen A→b. Mřížka s pseudokomplementem pro každý dva prvky se nazývá implicitní mřížnebo Brouwerova mříž. Obecně platí, že implikativní mříž nemusí mít minimální prvek, pokud takový prvek existuje, pak pseudokomplement A* lze definovat pomocí relativního pseudokomplementu jako A → 0.[3]

Reference

  1. ^ A b C d E F G h i T.S. Blyth (2006). Mřížky a uspořádané algebraické struktury. Springer Science & Business Media. Kapitola 7. Pseudokomplementace; Kámen a hejtování algeber. 103–119. ISBN  978-1-84628-127-3.
  2. ^ A b C d E F G Clifford Bergman (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. str. 63–70. ISBN  978-1-4398-5129-6.
  3. ^ Birkhoff, Garrett (1973). Teorie mřížky (3. vyd.). AMS. str. 44.