Bitopologický prostor - Bitopological space

v matematika, a bitopologický prostor je soubor obdařen dva topologie. Obvykle, pokud je sada ${displaystyle X}$ a topologie jsou ${displaystyle sigma}$ a ${displaystyle au}$ pak se bitopologický prostor označuje jako ${displaystyle (X, sigma, au)}$. Pojem představil J. C. Kelly ve studii kvazimetrika, tj. funkce vzdálenosti, u nichž se nevyžaduje symetrie.

Kontinuita

A mapa ${displaystyle scriptstyle f: X o X '}$ z bitopologického prostoru ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1}, au _ {2})}$ do jiného bitopologického prostoru ${displaystyle scriptstyle (X ', au _ {1}', au _ {2} ')}$ je nazýván kontinuální nebo někdy párové spojité -li ${displaystyle scriptstyle f}$ je kontinuální oba jako mapa z ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1})}$ na ${displaystyle scriptstyle (X ', au _ {1}')}$ a jako mapa z ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {2})}$ na ${displaystyle scriptstyle (X ', au _ {2}')}$.

Bitopologické varianty topologických vlastností

Odpovídající dobře známým vlastnostem topologických prostorů existují verze pro bitopologické prostory.

• Bitopologický prostor ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1}, au _ {2})}$ je párově kompaktní pokud každý obal ${displaystyle scriptstyle {U_ {i} mid iin I}}$ z ${displaystyle scriptstyle X}$ s ${displaystyle scriptstyle U_ {i} v au _ {1} cup au _ {2}}$, obsahuje konečnou subcover. V tomto případě, ${displaystyle scriptstyle {U_ {i} mid iin I}}$ musí obsahovat alespoň jednoho člena z ${displaystyle au _ {1}}$ a alespoň jeden člen z ${displaystyle au _ {2}}$
• Bitopologický prostor ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1}, au _ {2})}$ je párově Hausdorff pokud pro jakékoli dva odlišné body ${displaystyle scriptstyle x, yin X}$ existují disjunktní ${displaystyle scriptstyle U_ {1} v au _ {1}}$ a ${displaystyle scriptstyle U_ {2} v au _ {2}}$ s ${displaystyle scriptstyle xin U_ {1}}$ a ${displaystyle scriptstyle yin U_ {2}}$.
• Bitopologický prostor ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1}, au _ {2})}$ je párově nulový rozměr pokud se otevře ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1})}$ které jsou uzavřeny ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {2})}$ tvoří základ pro ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1})}$a otevře se ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {2})}$ které jsou uzavřeny ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {1})}$ tvoří základ pro ${displaystyle scriptstyle (X, au _ {2})}$.
• Bitopologický prostor ${displaystyle scriptstyle (X, sigma, au)}$ je nazýván binormální pokud pro každého ${displaystyle scriptstyle F_ {sigma}}$ ${displaystyle scriptstyle sigma}$-zavřeno a ${displaystyle scriptstyle F_ {au}}$ ${displaystyle scriptstyle au}$- uzavřené sady jsou ${displaystyle scriptstyle G_ {sigma}}$ ${displaystyle scriptstyle sigma}$-otevřít a ${displaystyle scriptstyle G_ {au}}$ ${displaystyle scriptstyle au}$-otevře takové nastavení ${displaystyle scriptstyle F_ {sigma} subseteq G_ {au}}$ ${displaystyle scriptstyle F_ {au} subseteq G_ {sigma}}$, a ${displaystyle scriptstyle G_ {sigma} čepice G_ {au} = prázdná sada.}$

Poznámky

Reference

• Kelly, J. C. (1963). Bitopologické prostory. Proc. London Math. Soc., 13(3) 71—89.
• Reilly, I.L. (1972). O vlastnostech bitopologické separace. Nanta matematika., (2) 14—25.
• Reilly, I.L. (1973). Nulové dimenzionální bitopologické prostory. Indag. Matematika., (35) 127–131.
• Salbany, S. (1974). Bitopologické prostory, zhutnění a dokončení. Katedra matematiky, University of Cape Town, Cape Town.
• Kopperman, R. (1995). Asymetrie a dualita v topologii. Topologie Appl., 66(1) 1--39.
• Fletchere. P, Hoyle H.B. III a Patty C.W. (1969). Srovnání topologií. Vévoda Math. J.,36(2) 325–331.
• Dochviri, I., Noiri T. (2015). O některých vlastnostech stabilních bitopologických prostorů. Topol. Proc., 45 111--119.