Pozitivní harmonická funkce - Positive harmonic function

v matematika, a pozitivní harmonická funkce na jednotka disku v komplexní čísla je charakterizován jako Poissonův integrál konečný pozitivní míra na kruhu. Tento výsledek Herglotz-Rieszova věta o reprezentaci, bylo nezávisle prokázáno Gustav Herglotz a Frigyes Riesz v roce 1911. Lze jej použít k zadání souvisejícího vzorce a charakterizace pro jakýkoli holomorfní funkce na disku jednotky s kladnou skutečnou částí. Tyto funkce již byly charakterizovány v roce 1907 Constantin Carathéodory z hlediska pozitivní definitivnost Jejich Taylorovy koeficienty.

Herglotz-Rieszova věta o reprezentaci harmonických funkcí

Pozitivní funkce F na disku jednotky s F(0) = 1 je harmonická právě tehdy, když existuje a míra pravděpodobnosti μ na jednotkové kružnici tak, že

${ displaystyle f (re ^ {i theta}) = int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ {2} přes 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , d mu ( varphi).}$

Vzorec jasně definuje pozitivní harmonickou funkci s F(0) = 1.

Naopak pokud F je pozitivní a harmonický a r_n zvyšuje na 1, definujte

${ displaystyle f_ {n} (z) = f (r_ {n} z). ,}$

Pak

${ displaystyle f_ {n} (re ^ {i theta}) = {1 přes 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ {2} přes 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , f_ {n} ( varphi) , d phi = int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ { 2} přes 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} d mu _ {n} ( varphi)}$

kde

${ displaystyle d mu _ {n} ( varphi) = {1 nad 2 pi} f (r_ {n} e ^ {i varphi}) , d varphi}$

je míra pravděpodobnosti.

Argumentem kompaktnosti (nebo ekvivalentně v tomto případěVěta o Hellyině výběru pro Stieltjesovy integrály ), posloupnost těchto pravděpodobnostních opatření má slabou hranici, což je také pravděpodobnostní míra μ.

Od té doby r_n se zvyšuje na 1, takže F_n(z) má sklony k F(z), následuje Herglotzův vzorec.

Herglotz-Rieszova věta o reprezentaci holomorfních funkcí

Holomorfní funkce F na disku jednotky s F(0) = 1 má kladnou skutečnou část právě tehdy, když je na jednotkové kružnici pravděpodobnostní míra μ taková

${ displaystyle f (z) = int _ {0} ^ {2 pi} {1 + e ^ {- i theta} z nad 1-e ^ {- i theta} z} , d mu ( theta).}$

To vyplývá z předchozí věty, protože:

• Poissonovo jádro je skutečná část integrand výše
• skutečná část holomorfní funkce je harmonická a určuje holomorfní funkci až po přidání skalární
• výše uvedený vzorec definuje holomorfní funkci, jejíž skutečná část je dána předchozí větou

Kritérium pozitivity Carathéodoryho pro holomorfní funkce

Nechat

${ displaystyle f (z) = 1 + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + cdots}$

být holomorfní funkcí na disku jednotky. Pak F(z) má pozitivní skutečnou část na disku a pouze pokud

${ displaystyle sum _ {m} sum _ {n} a_ {m-n} lambda _ {m} { overline { lambda _ {n}}} geq 0}$

pro libovolná komplexní čísla λ₀, λ₁, ..., λ_N, kde

${ displaystyle a_ {0} = 2, , , , a _ {- m} = { overline {a_ {m}}}}$

pro m > 0.

Ve skutečnosti z Herglotzova zastoupení pro n > 0

${ displaystyle a_ {n} = 2 int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {- v theta} , d mu ( theta).}$

Proto

${ displaystyle sum _ {m} sum _ {n} a_ {mn} lambda _ {m} { overline { lambda _ {n}}} = int _ {0} ^ {2 pi} left | sum _ {n} lambda _ {n} e ^ {- in theta} right | ^ {2} , d mu ( theta) geq 0.}$

Naopak nastavení λ_n = zⁿ,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {mn} lambda _ {m} { overline { lambda _ {n}} } = 2 (1- | z | ^ {2}) , Re , f (z).}$

Viz také

• Bochnerova věta

Reference

• Carathéodory, C. (1907), „Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen“ (PDF), Matematika. Ann., 64: 95–115, doi:10.1007 / bf01449883
• Duren, P. L. (1983), Univalentní funkceGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), „Über Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis“, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Lipsko, 63: 501–511
• Pommerenke, C. (1975), Univalentní funkce s kapitolou o kvadratických diferenciálech od Gerda Jensena, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht
• Riesz, F. (1911), „Sur certains systèmes singuliers d'équations intégrale“, Ann. Sci. Éc. Norma. Supér., 28: 33–62, doi:10,24033 / asens.633