De Moivre – Laplaceova věta - De Moivre–Laplace theorem - Wikipedia

V systému, jehož koše jsou naplněny podle binomická distribuce (jako Galton "fazolový stroj ", zobrazeno zde), vzhledem k dostatečnému počtu pokusů (zde řádky kolíků, z nichž každý způsobí spadnutí" fazole "směrem doleva nebo doprava), tvar představující rozdělení pravděpodobnosti k úspěchy v n pokusy (viz dolní část obrázku 7) odpovídají přibližně Gaussovu distribuci s průměrem np a rozptyl np(1−str), za předpokladu, že zkoušky jsou nezávislé a úspěchy se dostaví s pravděpodobností str.

Zvažte hodit sadu n coiny velmi často a počítají počet pokaždé „hlav“. Možný počet hlav na každém losování, k, běží od 0 do n podél vodorovné osy, zatímco svislá osa představuje relativní frekvenci výskytu výsledku k hlavy. Výška každé tečky je tedy pravděpodobnost pozorování k hlavy při házení n mince (a binomická distribuce na základě n pokusy). Podle věty de Moivre – Laplace, as n zvětšuje se, tvar diskrétního rozdělení konverguje ke spojité Gaussově křivce normální distribuce.

v teorie pravděpodobnosti, de Moivre – Laplaceova věta, což je zvláštní případ teorém centrálního limitu, uvádí, že normální distribuce lze použít jako aproximaci k binomická distribuce za určitých podmínek. Věta zejména ukazuje, že funkce pravděpodobnostní hmotnosti z náhodného počtu "úspěchů" pozorovaných v sérii ${ displaystyle n}$ nezávislý Bernoulliho zkoušky, z nichž každý má pravděpodobnost ${ displaystyle p}$ úspěchu (binomická distribuce s ${ displaystyle n}$ zkoušky), konverguje do funkce hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení s průměrem ${ displaystyle np}$ a směrodatná odchylka ${ displaystyle { sqrt {np (1-p)}}}$ , tak jako ${ displaystyle n}$ roste, za předpokladu ${ displaystyle p}$ není ${ displaystyle 0}$ nebo ${ displaystyle 1}$ .

Věta se objevila ve druhém vydání Nauka o šancích podle Abraham de Moivre, publikováno v roce 1738. Ačkoli de Moivre nepoužíval termín „Bernoulliho procesy“, psal o rozdělení pravděpodobnosti kolikrát se „hlavy“ objeví, když je mince hodena 3600 krát.^[1]

Toto je jedna odvozenina konkrétního Gaussova funkce použitý v normálním rozdělení.

Teorém

Tak jako n roste velký, protože k v sousedství z np můžeme se přiblížit^[2]^[3]

{ displaystyle {n vyberte k} , p ^ {k} q ^ {nk} simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} , e ^ {- { frac { (k-np) ^ {2}} {2npq}}}, qquad p + q = 1, p, q> 0}

v tom smyslu, že poměr levé strany k pravé straně konverguje k 1 jako n → ∞.

Důkaz

Věta může být přísněji vyjádřena následovně: ${ displaystyle left (X ! , - ! , np right) ! / ! { sqrt {npq}}}$ , s ${ displaystyle textstyle X}$ binomicky distribuovaná náhodná proměnná, se blíží standardní normální jako ${ displaystyle n ! to ! infty}$ , s poměrem hmotnosti pravděpodobnosti ${ displaystyle X}$ k limitní normální hustotě je 1. To lze zobrazit pro libovolný nenulový a konečný bod ${ displaystyle c}$ . Na křivce bez měřítka pro ${ displaystyle X}$ , to by byl bod ${ displaystyle k}$ dána

{ displaystyle k = np + c { sqrt {npq}}}

Například s ${ displaystyle c}$ ve 3, ${ displaystyle k}$ zůstane 3 standardní odchylky od průměru v křivce bez měřítka.

Normální rozdělení se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$ a směrodatná odchylka ${ displaystyle sigma}$ je definována diferenciální rovnicí (DE)

{ displaystyle f '! (x) ! = ! - ! , { frac {x- mu} { sigma ^ {2}}} f (x)}

s počáteční podmínkou stanovenou axiomem pravděpodobnosti

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ! f (x) , dx ! = ! 1}

.

Limit binomické distribuce se blíží normálu, pokud binomický splňuje tento DE. Jelikož je dvojčlen diskrétní, rovnice začíná jako a rozdílová rovnice jehož limit se mění na DE. Rozdílné rovnice používají diskrétní derivace, ${ displaystyle textový styl p (k ! + ! 1) ! - ! p (k)}$ , změna pro velikost kroku 1. As ${ displaystyle textstyle n ! to ! infty}$ , diskrétní derivace se stává spojitá derivace. Z toho důvodu musí důkaz prokázat pouze to, že pro neškálovanou binomickou distribuci

{ displaystyle { frac {f '! (x)} {f ! (x)}} ! cdot ! - ! , { frac { sigma ^ {2}} {x- mu}} ! to ! 1}

tak jako

{ displaystyle n ! to ! infty}

.

Požadovaný výsledek lze zobrazit přímo:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {f '! (x)} {f ! (x)}} { frac {npq} {np ! , - ! , k}} ! & = { frac {p left (n, k + 1 right) -p left (n, k right)} {p left (n, k right)}} { frac { sqrt {npq}} {- c}} & = { frac {np-kq} {kq + q}} { frac { sqrt {npq}} {- c}} & = { frac {-c { sqrt {npq}} - q} {npq + cq { sqrt {npq}} + q}} { frac { sqrt {npq}} {- c}} & to 1 konec {zarovnáno}}}

Poslední platí, protože termín ${ displaystyle -cnpq}$ dominuje jak jmenovatel, tak čitatel jako ${ displaystyle n ! to ! infty}$ .

Tak jako ${ displaystyle textstyle k}$ bere jen integrální hodnoty, konstantu ${ displaystyle textstyle c}$ podléhá chybě zaokrouhlování. Maximum této chyby však ${ displaystyle textstyle {0,5} / ! { sqrt {npq}}}$ , je mizející hodnota.^[4]

Alternativní důkaz

Důkaz spočívá v transformaci levé strany (ve větě věty) na pravou stranu třemi aproximacemi.

Nejprve podle Stirlingův vzorec, faktoriál velkého počtu n lze nahradit aproximací

{ displaystyle n! simeq n ^ {n} e ^ {- n} { sqrt {2 pi n}} qquad { text {as}} n do infty.}

Tím pádem

{ displaystyle { begin {zarovnáno} {n zvolit k} p ^ {k} q ^ {nk} & = { frac {n!} {k! (nk)!}} p ^ {k} q ^ {nk} & simeq { frac {n ^ {n} e ^ {- n} { sqrt {2 pi n}}} {k ^ {k} e ^ {- k} { sqrt { 2 pi k}} (nk) ^ {nk} e ^ {- (nk)} { sqrt {2 pi (nk)}}}} p ^ {k} q ^ {nk} & = { sqrt { frac {n} {2 pi k left (nk right)}}} { frac {n ^ {n}} {k ^ {k} left (nk right) ^ {nk} }} p ^ {k} q ^ {nk} & = { sqrt { frac {n} {2 pi k left (nk right)}}} left ({ frac {np} { k}} right) ^ {k} left ({ frac {nq} {nk}} right) ^ {nk} end {aligned}}}

Dále aproximace ${ displaystyle { tfrac {k} {n}} na p}$ se používá k přiřazení kořene výše k požadovanému kořenu na pravé straně.

{ displaystyle { begin {seřazeno} {n zvolit k} p ^ {k} q ^ {nk} & simeq { sqrt { frac {1} {2 pi n { frac {k} {n }} left (1 - { frac {k} {n}} right)}}} left ({ frac {np} {k}} right) ^ {k} left ({ frac { nq} {nk}} right) ^ {nk} & simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} left ({ frac {np} {k}} right ) ^ {k} left ({ frac {nq} {nk}} right) ^ {nk} qquad p + q = 1 end {zarovnáno}}}

Nakonec je výraz přepsán jako exponenciální a použije se aproximace Taylorovy řady pro ln (1 + x):

{ displaystyle ln left (1 + x right) simeq x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} - cdots }

Pak

{ displaystyle { begin {zarovnáno} {n zvolit k} p ^ {k} q ^ {nk} & simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { ln left ( left ({ frac {np} {k}} right) ^ {k} right) + ln left ( left ({ frac {nq} {nk}} right) ) ^ {nk} right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k ln left ({ frac { k} {np}} right) + (kn) ln left ({ frac {nk} {nq}} right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k ln left ({ frac {np + x { sqrt {npq}}} {np}} right) + (kn) ln left ( { frac {n-np-x { sqrt {npq}}} {nq}} right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k ln left ({1 + x { sqrt { frac {q} {np}}}} right) + (kn) ln left ({1-x { sqrt { frac {p} {nq}}}} vpravo) vpravo } qquad p + q = 1 & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- k left ({x { sqrt { frac {q} {np}}}} - { frac {x ^ {2} q} {2np}} + cdots right) + (kn ) left ({- x { sqrt { frac {p} {nq}}} - { frac {x ^ {2} p} {2nq}}} - cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { left (-np-x { sqrt {npq}} right) left ({x { sqrt { frac {q} {np}}}} - { frac {x ^ {2} q} {2np}} + cdo ts right) + left (np + x { sqrt {npq}} - n right) left (-x { sqrt { frac {p} {nq}}} - { frac {x ^ { 2} p} {2nq}} - cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { left (-np -x { sqrt {npq}} doprava) doleva (x { sqrt { frac {q} {np}}} - { frac {x ^ {2} q} {2np}} + cdots right) - left (nq-x { sqrt {npq}} right) left (-x { sqrt { frac {p} {nq}}} - { frac {x ^ {2} p} {2nq}} - cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left { left (-x { sqrt { npq}} + { frac {1} {2}} x ^ {2} qx ^ {2} q + cdots right) + left (x { sqrt {npq}} + { frac {1} { 2}} x ^ {2} px ^ {2} p- cdots right) right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- { frac {1} {2}} x ^ {2} q - { frac {1} {2}} x ^ {2} p- cdots right } & = { frac { 1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- { frac {1} {2}} x ^ {2} (p + q) - cdots right } & simeq { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} exp left {- { frac {1} {2}} x ^ {2} right } & = { frac {1} { sqrt {2 pi npq}}} e ^ { frac {- (k-np) ^ {2}} {2npq}} end {zarovnáno}}}

Každý " ${ displaystyle simeq}$ "ve výše uvedeném argumentu je tvrzení, že dvě veličiny jsou asymptoticky ekvivalentní jako n se zvyšuje, ve stejném smyslu jako v původním výroku věty - tj. že poměr každé dvojice veličin se blíží 1 jako n → ∞.

Maličkosti

Zeď je příkladem televize herní show který používá De Moivre – Laplaceovu větu.^[5]

Viz také

Poissonovo rozdělení je alternativní aproximace binomického rozdělení pro velké hodnoty n.

Poznámky

^ Walker, Helen M (1985). „De Moivre o zákonu normální pravděpodobnosti“ (PDF). V Smith, David Eugene (ed.). Zdrojová kniha z matematiky. Doveru. p.78. ISBN 0-486-64690-4. Ale altho 'převzetí nekonečného počtu experimentů není proveditelné, přesto lze předchozí závěry velmi dobře aplikovat na konečná čísla, za předpokladu, že jsou skvělé, pokud například bude provedeno 3600 experimentů n = 3600, tedy ½n bude = 1800 a ½√n 30, pak se pravděpodobnost, že se událost neobjeví častěji než 1830krát, ani vzácněji než 1770, bude 0,682688.
^ Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Pravděpodobnost, náhodné proměnné a stochastické procesy (4. vydání). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-122661-3.
^ Feller, W. (1968). Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací. Svazek 1. Wiley. Oddíl VII.3. ISBN 0-471-25708-7.
^ Thamattoor, Ajoy (2018). Msgstr "Normální limit binomického čísla pomocí diskrétní derivace". The College Mathematics Journal. 49 (3): 216–217. doi:10.1080/07468342.2018.1440872. S2CID 125977913.
^ Roeder, Oliver (17. listopadu 2017). „Co kdyby Bůh byl obrovská hra Plinko?“. FiveThirtyEight. Citováno 24. listopadu 2017.

[1] Walker, Helen M (1985). „De Moivre o zákonu normální pravděpodobnosti“ (PDF). V Smith, David Eugene (ed.). Zdrojová kniha z matematiky. Doveru. p.78. ISBN 0-486-64690-4. Ale altho 'převzetí nekonečného počtu experimentů není proveditelné, přesto lze předchozí závěry velmi dobře aplikovat na konečná čísla, za předpokladu, že jsou skvělé, pokud například bude provedeno 3600 experimentů n = 3600, tedy ½n bude = 1800 a ½√n 30, pak se pravděpodobnost, že se událost neobjeví častěji než 1830krát, ani vzácněji než 1770, bude 0,682688.

[2] Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Pravděpodobnost, náhodné proměnné a stochastické procesy (4. vydání). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-122661-3.

[3] Feller, W. (1968). Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací. Svazek 1. Wiley. Oddíl VII.3. ISBN 0-471-25708-7.

[4] Thamattoor, Ajoy (2018). Msgstr "Normální limit binomického čísla pomocí diskrétní derivace". The College Mathematics Journal. 49 (3): 216–217. doi:10.1080/07468342.2018.1440872. S2CID 125977913.

[5] Roeder, Oliver (17. listopadu 2017). „Co kdyby Bůh byl obrovská hra Plinko?“. FiveThirtyEight. Citováno 24. listopadu 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]