Funkce rozložení bodů - Point spread function - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Funkce šíření bodu"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Tvorba obrazu v a konfokální mikroskop: střední podélný řez (XZ). 3D získaná distribuce vychází z konvoluce skutečných světelných zdrojů s PSF.

A bodový zdroj jak je zobrazeno systémem s minusem (nahoře), nulou (střed) a kladem (dole) sférická aberace. Obrázky vlevo jsou rozostřený směrem dovnitř, obrázky vpravo směrem ven.

The funkce rozložení bodů (PSF) popisuje reakci zobrazovacího systému na a bodový zdroj nebo bodový objekt. Obecnějším pojmem pro PSF je systém impulsní odezva, PSF je impulzní odezva zaostřeného optického systému. PSF v mnoha kontextech lze považovat za rozšířený objekt BLOB v obraze, který představuje jeden bodový objekt. Z funkčního hlediska je to prostorová doména verze funkce optického přenosu zobrazovacího systému. Je to užitečný koncept v Fourierova optika, astronomické zobrazování, lékařské zobrazování, elektronová mikroskopie a další zobrazovací techniky, jako je 3D mikroskopie (jako v konfokální laserová skenovací mikroskopie ) a fluorescenční mikroskopie.

Míra šíření (rozmazání) bodového objektu je měřítkem kvality zobrazovacího systému. v nesouvislý zobrazovací systémy, jako např fluorescenční mikroskopy, dalekohledy nebo optické mikroskopy, proces tvorby obrazu je lineární v intenzitě obrazu a je popsán v lineární systém teorie. To znamená, že když jsou dva objekty A a B zobrazeny současně, výsledný obraz se rovná součtu nezávisle zobrazených objektů. Jinými slovy: zobrazování A není ovlivněno zobrazováním B a naopak, vzhledem k neinteragující vlastnosti fotonů. V systému invariantním k prostoru, tj. PSF je všude ve zobrazovacím prostoru stejný, je pak obraz komplexního objektu konvoluce skutečného objektu a PSF.

Úvod

Na základě vlastnosti linearity optických nekoherentních zobrazovacích systémů, tj.

obraz(Objekt₁ + Objekt₂) = obraz(Objekt₁) + obraz(Objekt₂)

obraz objektu v mikroskopu nebo dalekohledu lze vypočítat vyjádřením pole roviny objektu jako váženého součtu přes 2D impulsní funkce a následným vyjádřením pole roviny obrazu jako váženého součtu přes snímky těchto impulsních funkcí. Toto je známé jako princip superpozice, platný pro lineární systémy. Obrazy jednotlivých impulsních funkcí v rovině objektu se nazývají funkce šíření bodů, což odráží skutečnost, že matematický směřovat světla v rovině objektu je rozpětí k vytvoření konečné oblasti v obrazové rovině (v některých oborech matematiky a fyziky je lze označovat jako Greenovy funkce nebo impulsní odezva funkce).

Aplikace PSF: Dekonvoluce matematicky modelovaného PSF a obrazu s nízkým rozlišením zvyšuje rozlišení.^[1]

Když je objekt rozdělen na diskrétní bodové objekty různé intenzity, je obraz vypočítán jako součet PSF každého bodu. Vzhledem k tomu, že PSF je obvykle zcela určen zobrazovacím systémem (tj. Mikroskopem nebo dalekohledem), lze celý obraz popsat pomocí znalosti optických vlastností systému. Tento zobrazovací proces je obvykle formulován a konvoluce rovnice. v mikroskopické zpracování obrazu a astronomie, znalost PSF měřicího zařízení je velmi důležitá pro obnovení (původního) objektu pomocí dekonvoluce. V případě laserových paprsků lze PSF matematicky modelovat pomocí konceptů Gaussovy paprsky.^[2] Například dekonvoluce matematicky modelovaného PSF a obrazu zlepšuje viditelnost funkcí a odstraňuje obrazový šum.^[1]

Teorie

Funkce šíření bodů může být nezávislá na poloze v rovině objektu, v takovém případě je volána posun invariant. Kromě toho, pokud v systému nedochází k žádnému zkreslení, jsou souřadnice obrazové roviny lineárně spojeny se souřadnicemi roviny objektu pomocí zvětšení M tak jako:

${ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}) = (Mx_ {o}, můj_ {o})}$.

Pokud zobrazovací systém vytváří obrácený obraz, můžeme jednoduše považovat osy souřadnic obrazové roviny za obrácené od os roviny objektu. S těmito dvěma předpoklady, tj. Že PSF je invariantní vůči posunu a že nedochází k žádnému zkreslení, výpočet integrálu konvoluce obrazové roviny je přímý proces.

Matematicky můžeme reprezentovat pole roviny objektu jako:

${ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o}) = int ! ! int O (u, v) ~ delta (x_ {o} -u, y_ {o} -v) ~ du , dv}$

tj. jako součet nad váženými impulsními funkcemi, i když to je také opravdu jen uvedení vlastnosti posunu 2D delta funkcí (popsáno dále níže). Přepis funkce propustnosti objektu ve výše uvedené formě nám umožňuje vypočítat pole roviny obrazu jako superpozici obrazů každé z jednotlivých impulsních funkcí, tj. Jako superpozici nad funkcemi šíření váženého bodu v rovině obrazu pomocí stejný funkce vážení jako v rovině objektu, tj. ${ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o})}$. Matematicky je obraz vyjádřen jako:

${ displaystyle I (x_ {i}, y_ {i}) = int ! ! int O (u, v) ~ mathrm {PSF} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv ) , du , dv}$

ve kterém ${ textstyle { mbox {PSF}} (x_ {i} / M-u, y_ {i} / M-v)}$ je obraz impulsní funkce δ (X_Ó  −  u, y_Ó  −  proti).

2D impulsní funkci lze považovat za limit (jako boční rozměr w má tendenci k nule) funkce „čtvercový sloupek“, která je znázorněna na obrázku níže.

Funkce Square Post

Představujeme si rovinu objektu jako rozloženou na čtvercové oblasti, jako je tato, přičemž každá má svou vlastní přidruženou funkci čtvercového příspěvku. Pokud je výška, h, sloupku je udržována na 1 / w², pak jako boční rozměr w má sklon k nule, výška, h, má sklon k nekonečnu takovým způsobem, že objem (integrál) zůstává konstantní na 1. To dává 2D impulsu vlastnost prosévání (což je implikováno ve výše uvedené rovnici), která říká, že když je 2D impulsní funkce, δ (X − u,y − proti), je integrován proti jakékoli jiné nepřetržité funkci, F(u,proti), „vytřídí“ hodnotu F v místě impulsu, i.E., na místě (X,y).

Koncept dokonalého bodového zdrojového objektu je ústředním bodem myšlenky PSF. V přírodě však neexistuje nic jako dokonalý matematický zářič bodového zdroje; koncept je zcela nefyzický a je spíše matematickým konstruktem používaným k modelování a porozumění optickým zobrazovacím systémům. Užitečnost koncepce bodového zdroje vychází ze skutečnosti, že bodový zdroj v rovině 2D objektu může vyzařovat pouze dokonalou sférickou vlnu s jednotnou amplitudou - vlnu s dokonale sférickými fázovými frontami směřujícími ven s jednotnou intenzitou všude na sférách ( vidět Princip Huygens – Fresnel ). Takový zdroj jednotných sférických vln je znázorněn na obrázku níže. Rovněž si povšimneme, že dokonalý zářič bodového zdroje bude nejen vyzařovat jednotné spektrum šířících se rovinných vln, ale rovnoměrné spektrum exponenciálně se rozpadajícíhoevanescentní ) vlny také a právě tyto jsou zodpovědné za rozlišení jemnější než jedna vlnová délka (viz Fourierova optika ). To vyplývá z následujícího Fourierova transformace výraz pro 2D impulsní funkci,

${ displaystyle delta (x, y) propto int ! ! int e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} dk_ {x} , dk_ {y} }$

Zkrácení sférické vlny objektivem

Kvadratický objektiv zachycuje a část této sférické vlny a znovu ji zaostří na rozmazaný bod v obrazové rovině. Pro jednoho objektiv, zdroj bodu v ose v rovině objektu vytvoří Vzdušný disk PSF v obrazové rovině. Může být zobrazen (viz Fourierova optika, Princip Huygens – Fresnel, Fraunhoferova difrakce ), že pole vyzařované rovinným objektem (nebo pomocí reciprocity pole konvergující k rovinnému obrazu) souvisí s odpovídajícím rozložením zdroje (nebo obrazu) v rovině prostřednictvím Fourierova transformace (FT) vztah. Kromě toho odpovídá jednotná funkce na kruhové ploše (v jedné doméně FT) Vzdušná funkce, J₁(X)/X v jiné doméně FT, kde J₁(X) je prvního řádu Besselova funkce prvního druhu. To znamená, že rovnoměrně osvětlená kruhová clona, ​​která prochází konvergující jednotnou sférickou vlnou, poskytuje v ohniskové rovině obraz funkce Airy. Na vedlejším obrázku je uveden graf ukázkové funkce 2D Airy.

Vzdušná funkce

Proto konvergující (částečný) sférická vlna zobrazená na obrázku výše vytváří Vzdušný disk v obrazové rovině. Argument funkce Airy je důležitý, protože to určuje škálování vzdušného disku (jinými slovy, jak velký je disk v obrazové rovině). Pokud Θ_max je maximální úhel, který sbíhající se vlny vytvářejí s osou čočky, r je radiální vzdálenost v obrazové rovině a vlnové číslo k = 2π / λ kde λ = vlnová délka, pak argument funkce Airy je: kr tan (Θ_max). Pokud Θ_max je malá (k vytvoření obrazu je k dispozici pouze malá část konvergující sférické vlny), pak musí být radiální vzdálenost r velmi velká, než se celkový argument funkce Airy vzdálí od centrálního bodu. Jinými slovy, pokud Θ_max je malý, disk Airy je velký (což je jen další Heisenbergův výrok princip nejistoty pro páry Fourierovy transformace, konkrétně ten malý rozsah v jedné doméně odpovídá širokému rozsahu v druhé doméně, a oba jsou spojeny prostřednictvím produkt šířky pásma prostoru). Z tohoto důvodu vysoké zvětšení systémy, které mají obvykle malé hodnoty Θ_max (podle Abbe sine podmínka ), může mít více rozmazání obrazu díky širšímu PSF. Velikost PSF je úměrná velikosti zvětšení, takže rozmazání není o nic horší v relativním smyslu, ale rozhodně je horší v absolutním smyslu.

Obrázek výše ilustruje zkrácení dopadající sférické vlny čočkou. Aby bylo možné měřit funkci rozptylu bodů - nebo funkci impulzní odezvy - čočky, není potřeba dokonalý zdroj bodu, který vyzařuje dokonalou sférickou vlnu ve všech směrech prostoru. Důvodem je, že čočka má pouze konečnou (úhlovou) šířku pásma nebo konečný úhel zachycení. Proto jakákoli úhlová šířka pásma obsažená ve zdroji, která přesahuje okrajový úhel čočky (tj. Leží mimo šířku pásma systému), je v podstatě zbytečnou šířkou pásma zdroje, protože čočka ji nemůže zachytit, aby ji mohla zpracovat. Výsledkem je, že k měření funkce rozptylu dokonalého bodu není vyžadován zdroj dokonalého bodu. Vše, co potřebujeme, je světelný zdroj, který má přinejmenším stejnou úhlovou šířku pásma jako testovaná čočka (a samozřejmě je v tomto úhlovém sektoru jednotný). Jinými slovy, požadujeme pouze bodový zdroj, který je produkován konvergentní (uniformní) sférickou vlnou, jejíž poloviční úhel je větší než hranový úhel čočky.

Kvůli vnitřnímu omezenému rozlišení zobrazovacích systémů nejsou měřené PSF bez nejistoty.^[3] Při zobrazování je žádoucí potlačit postranní laloky zobrazovacího paprsku pomocí apodizace techniky. V případě přenosových zobrazovacích systémů s Gaussovým rozdělením paprsku je PSF modelován následující rovnicí^[4]:

${ displaystyle PSF (f, z) = I_ {r} (0, z, f) exp (-z alpha (f)) - { dfrac {2 rho ^ {2}} {0,36 { frac {cka} {{ text {NA}} f}} { sqrt {{1+ left ({ frac {2 ln 2} {c pi}} left ({ frac { text {NA }} {0,56k}} vpravo) ^ {2} fz vpravo)} ^ {2}}}}},}$

kde k-faktor závisí na poměru zkrácení a úrovni ozáření, NA je numerická clona, C je rychlost světla, F je frekvence fotonů zobrazovacího paprsku, Já_r je intenzita referenčního paprsku, A je nastavovací faktor a je radiální poloha od středu paprsku na odpovídajícím rovina z.

Historie a metody

Difrakční teorii funkcí šíření bodů nejprve studoval Vzdušný v devatenáctém století. Vyvinul výraz pro amplitudu a intenzitu funkce bodového šíření dokonalého nástroje bez aberací (tzv Vzdušný disk ). Teorie aberovaných funkcí šíření bodů blízko optimální ohniskové roviny byla studována autorem Zernike a Nijboer ve 30. – 40. letech. Ústřední roli v jejich analýze hraje Zernike kruhové polynomy které umožňují efektivní znázornění aberací jakéhokoli optického systému s rotační symetrií. Nedávné analytické výsledky umožnily rozšířit přístup Nijboera a Zernikeho k vyhodnocení funkce rozšíření bodu na velký objem kolem optimálního ohniska. Tato rozšířená teorie Nijboer-Zernike (ENZ) umožňuje studovat nedokonalé zobrazování trojrozměrných objektů v konfokální mikroskopie nebo astronomie za neideálních zobrazovacích podmínek. Teorie ENZ byla také použita pro charakterizaci optických přístrojů s ohledem na jejich aberaci měřením rozložení intenzity přes ohnisko a řešením vhodného inverzní problém.

Aplikace

Mikroskopie

Příklad experimentálně odvozené funkce šíření bodů z konfokálního mikroskopu s použitím olejového objektivu 63x 1,4NA. Byl vygenerován pomocí dekonvolučního softwaru Huygens Professional. Zobrazeny jsou pohledy v xz, xy, yz a 3D reprezentace.

V mikroskopii vyžaduje experimentální stanovení PSF vyzařující zdroje s dílčím rozlišením (bodové). Kvantové tečky a fluorescenční korálky jsou obvykle považovány za tímto účelem.^[5][6] Výše popsané teoretické modely naopak umožňují podrobný výpočet PSF pro různé zobrazovací podmínky. Nejkompaktnější difrakce omezena obvykle se dává přednost tvaru PSF. Použitím vhodných optických prvků (např modulátor prostorového světla ) tvar PSF lze navrhnout pro různé aplikace.

Astronomie

Funkce šíření bodů z Hubbleův vesmírný dalekohled je WFPC před provedením oprav na jeho optický systém.

v pozorovací astronomie, experimentální stanovení PSF je často velmi jednoduché kvůli velké nabídce bodových zdrojů (hvězdy nebo kvasary ). Forma a zdroj PSF se mohou velmi lišit v závislosti na nástroji a kontextu, ve kterém se používá.

Pro radioteleskopy a difrakčně omezeno prostor dalekohledy, dominantní výrazy v PSF lze odvodit z konfigurace otvoru v Fourierova doména. V praxi může existovat více pojmů, které přispívají různé komponenty v komplexním optickém systému. Úplný popis PSF bude také zahrnovat difúzi světla (nebo fotoelektronů) v detektoru a také sledování chyby v kosmické lodi nebo dalekohledu.

U pozemních optických dalekohledů atmosférická turbulence (známá jako astronomické vidění ) dominuje příspěvku do PSF. U pozemního zobrazování s vysokým rozlišením se často zjistí, že PSF se mění s pozicí v obraze (efekt nazývaný anisoplanatismus). V pozemním provozu adaptivní optika systémy, je PSF kombinací clony systému se zbytkovými nekorigovanými atmosférickými podmínkami.^[7]

Litografie

Překrývající se vrcholy PSF. Když jsou vrcholy tak blízko jako ~ 1 vlnové délky / NA, jsou efektivně sloučeny. FWHM je v tomto bodě ~ 0,6 vlnové délky / NA.

PSF je také základním limitem konvenčního zaostřeného zobrazování díry,^[8] s minimální velikostí tisku v rozmezí 0,6-0,7 vlnové délky / NA, přičemž NA je numerická clona zobrazovacího systému.^[9][10] Například v případě EUV systém s vlnovou délkou 13,5 nm a NA = 0,33, je minimální zobrazitelná velikost jednotlivé díry v rozmezí 25-29 nm. A maska ​​fázového posuvu má fázové hrany 180 stupňů, které umožňují jemnější rozlišení.^[8]

Oftalmologie

Funkce šíření bodů se v poslední době staly užitečným diagnostickým nástrojem v klinické praxi oftalmologie. Pacienti jsou měřeni pomocí a Shack-Hartmann snímač vlnoplochy a speciální software vypočítá PSF pro oko tohoto pacienta. Tato metoda umožňuje lékaři simulovat potenciální léčbu pacienta a odhadnout, jak by tato léčba změnila PSF pacienta. Kromě toho lze jednou změřené hodnoty PSF minimalizovat pomocí systému adaptivní optiky. To ve spojení s a CCD fotoaparát a systém adaptivní optiky lze použít k vizualizaci anatomických struktur, které nejsou jinak viditelné in vivo, jako jsou kuželové fotoreceptory.^[11]

Viz také

• Kruh zmatku, pro úzce související téma v obecné fotografii.
• Vzdušný disk
• Obklíčená energie
• Laboratoř PSF
• Dekonvoluce
• Mikroskop
• Mikrosféra

Reference

• Hagai Kirshner, François Aguet, Daniel Sage, Michael Unser (2013). „3-D PSF Fitting for Fluorescence Microscopy: Implementation and Localization Application“ (PDF). Journal of Microscopy. 249 (Leden 2013): 13–25. doi:10.1111 / j.1365-2818.2012.03675.x. PMID  23126323. S2CID  5318333.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)

• Rachel Noek, Caleb Knoernschild, Justin Migacz, Taehyun Kim, Peter Maunz, True Merrill, Harley Hayden, C.S. Pai a Jungsang Kim (2010). „Víceúrovňová optika pro vylepšený sběr světla z bodového zdroje“ (PDF). Optická písmena. 35 (Červen 2010): 2460–2. arXiv:1006.2188. Bibcode:2010OptL ... 35.2460N. doi:10,1364 / OL.35.002460. hdl:10161/4222. PMID  20634863. S2CID  6838852.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)