Abbe sine podmínka - Abbe sine condition

Vstupní a výstupní úhel každého paprsku, který prochází zobrazovacím systémem (šedé pole), souvisí. Když se zobrazovací systém podřídí Abbově sine podmínce, poměr sinusů těchto úhlů se rovná (laterálnímu absolutnímu) zvětšení systému.

The Abbe sine podmínka je podmínka, kterou musí splnit a objektiv nebo jiný optický systém aby mohl produkovat ostré obrazy mimoosých i osových objektů. Byl formulován Ernst Abbe v kontextu mikroskopy.^[1]

Podmínka Abbeho sine to říká

the sinus úhlu prostorového prostoru ${ textstyle alpha _ {o}}$ by měl být úměrný sinu úhlu obrazového prostoru ${ textstyle alpha _ {i}}$

Poměr se dále rovná zvětšení systému. Z matematického hlediska je to:

{ displaystyle { frac { sin alpha _ {o}} { sin alpha _ {i}}} = { frac { sin beta _ {o}} { sin beta _ {i} }} = | M |}

kde proměnné ${ textstyle ( alpha _ {o}, beta _ {o})}$ jsou úhly (vzhledem k optické ose) jakýchkoli dvou paprsků, když opouštějí objekt, a ${ textstyle ( alpha _ {i}, beta _ {i})}$ jsou úhly stejných paprsků, kde dosahují obrazové roviny (řekněme filmovou rovinu kamery). Například, ( ${ textstyle alpha _ {o}, alpha _ {i})}$ může představovat a paraxiální paprsek (tj. paprsek téměř rovnoběžný s optickou osou) a ${ textstyle ( beta _ {o}, beta _ {i})}$ může představovat a okrajový paprsek (tj. paprsek s největším úhlem připouštěným otvorem systému). O optickém zobrazovacím systému, pro který to platí pro všechny paprsky, se říká, že dodržuje podmínku Abbeho sinu.

Zvětšení a Abbeův sinusový stav

Optický zobrazovací systém (šedý rámeček), který se řídí sinusovým stavem, má pevný poměr mezi sinusy úhlů paprsků na vstupu a výstupu ze systému

{ textstyle { frac { sin alpha _ {o}} { sin alpha _ {i}}} = M}

. Tento poměr se rovná zvětšení (M).

Pomocí rámce Fourierova optika, můžeme snadno vysvětlit význam stavu Abbeho sine. Řekněme, že objekt v rovině objektu optického systému má propustnou funkci tvaru, T(X_Ó,y_Ó). Tuto funkci propustnosti můžeme vyjádřit z hlediska její Fourierova transformace tak jako

{ displaystyle T (x_ {o}, y_ {o}) = iint T (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {j (k_ {x} x_ {o} + k_ {y} y_ {o})} ~ dk_ {x} , dk_ {y}.}

Nyní pro jednoduchost předpokládejme, že systém nemá žádné zkreslení obrazu, takže souřadnice obrazové roviny jsou prostřednictvím vztahu lineárně spojeny se souřadnicemi roviny objektu

{ displaystyle x_ {i} = Mx_ {o} ,}

{ displaystyle y_ {i} = Můj_ {o} ,}

kde M je systém zvětšení. Vyšší propustnost roviny objektu lze nyní přepsat v mírně upravené podobě:

{ displaystyle T (x_ {o}, y_ {o}) = iint T (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {j ((k_ {x} / M) (Mx_ {o}) + (k_ {y} / M) (My_ {o}))} ~ dk_ {x} , dk_ {y}}

kde různé termíny byly jednoduše vynásobeny a rozděleny v exponentu M, zvětšení systému. Nyní mohou být rovnice výše nahrazeny souřadnicemi obrazové roviny, pokud jde o souřadnice roviny objektu, abychom získali,

{ displaystyle T (x_ {i}, y_ {i}) = iint T (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {j ((k_ {x} / M) x_ {i} + ( k_ {y} / M) y_ {i})} ~ dk_ {x} , dk_ {y}}

V tomto okamžiku lze navrhnout další transformaci souřadnic (i.E, podmínka Abbeho sine) vztahující se k rovině objektu vlnové číslo spektrum na vlnové číslo obrazové roviny spektrum jako

{ displaystyle k_ {x} ^ {i} = { frac {k_ {x}} {M}}}

{ displaystyle k_ {y} ^ {i} = { frac {k_ {y}} {M}}}

získat konečnou rovnici pro pole obrazové roviny, pokud jde o souřadnice obrazové roviny a vlnová čísla obrazové roviny, jako:

{ displaystyle T (x_ {i}, y_ {i}) = M ^ {2} iint T (Mk_ {x} ^ {i}, Mk_ {y} ^ {i}) ~ e ^ {j (k_ {x} ^ {i} x_ {i} + k_ {y} ^ {i} y_ {i})} dk_ {x} ^ {i} , dk_ {y} ^ {i}}

Z Fourierova optika, je známo, že vlnová čísla lze vyjádřit pomocí sférický souřadný systém tak jako

{ displaystyle k_ {x} = k sin theta cos varphi ,}

{ displaystyle k_ {y} = k sin theta sin varphi ,}

Pokud se uvažuje o spektrální složce ${ displaystyle varphi = 0}$ , pak má podobu transformace souřadnic mezi vlnovými čísly objektu a roviny obrazu

{ displaystyle k ^ {i} sin theta ^ {i} = k { frac { sin theta} {M}}.}

Toto je další způsob psaní podmínky Abbeho sine, který jednoduše odráží klasiku princip nejistoty pro páry Fourierovy transformace, konkrétně ta, jak se prostorový rozsah jakékoli funkce rozšiřuje (o faktor zvětšení, M), spektrální rozsah se snižuje stejným faktorem, M, takže produkt šířky pásma prostoru zůstává neměnný.

Viz také

Reference

^ Abbe, Ernst (červen 1881). "O odhadu clony v mikroskopu". Journal of the Royal Microscopical Society. 1 (3): 388–423. doi:10.1111 / j.1365-2818.1881.tb05909.x.

[1] Abbe, Ernst (červen 1881). "O odhadu clony v mikroskopu". Journal of the Royal Microscopical Society. 1 (3): 388–423. doi:10.1111 / j.1365-2818.1881.tb05909.x.

[1]