Věta Petr – Douglas – Neumann - Petr–Douglas–Neumann theorem - Wikipedia

v geometrie, Věta Petr – Douglas – Neumann (nebo Věta PDN) je výsledek týkající se svévolnosti rovinný mnohoúhelníky. Věta tvrdí, že jistá postup při aplikaci na libovolný polygon vždy získá a pravidelný mnohoúhelník mající stejný počet stran jako počáteční mnohoúhelník. Věta byla poprvé publikována Karel Petr (1868–1950) ze dne Praha v roce 1908.^[1][2] Věta byla nezávisle znovu objevena Jesse Douglas (1897–1965) v roce 1940^[3] a také B H Neumann (1909–2002) v roce 1941.^[2][4] Pojmenování věty jako Věta Petr – Douglas – Neumann, nebo jako Věta PDN zkrátka je to způsobeno Stephenem B Grayem.^[2] Tato věta byla také nazývána Douglasova věta, Douglas – Neumannova věta, Napoleonova – Douglasova – Neumannova věta a Petrova věta.^[2]

Věta PDN je a zobecnění z Napoleonova věta který je znepokojen svévolně trojúhelníky a van Aubelova věta což souvisí s libovolným čtyřúhelníky.

Výrok věty

Věta Petr – Douglas – Neumann tvrdí následující.^[3][5]

Pokud jsou po stranách libovolného n-gonu A vztyčeny rovnoramenné trojúhelníky s vrcholovými úhly 2kπ / n₀, a pokud se tento proces opakuje s n-gonem tvořeným volnými vrcholy trojúhelníků, ale s jinou hodnotou k atd., dokud nebudou použity všechny hodnoty 1 ≤ k ≤ n - 2 (v libovolném pořadí) , pak běžný n-gon A_{n − 2} je tvořen, jehož těžiště se shoduje s těžištěm A₀.

Specializace na trojúhelníky

Schéma ilustrující skutečnost, že Napoleonova věta je zvláštním případem věty Petr – Douglas – Neumann.

V případě trojúhelníků hodnota n je 3 a to n - 2 je 1. Proto existuje pouze jedna možná hodnota pro k, jmenovitě 1. Specializace věty na trojúhelníky tvrdí, že trojúhelník A₁ je pravidelný 3-gon, tj. Rovnostranný trojúhelník.

A₁ je tvořen vrcholy rovnoramenných trojúhelníků s vrcholovým úhlem 2π / 3 vztyčených po stranách trojúhelníku A₀. Vrcholy A₁ jsou středy rovnostranných trojúhelníků postavených po stranách trojúhelníku A₀. Specializaci věty PDN na trojúhelník lze tedy formulovat následovně:

Pokud jsou rovnostranné trojúhelníky postaveny po stranách libovolného trojúhelníku, pak je trojúhelník tvořený středy tří rovnostranných trojúhelníků rovnostranný.

Posledním tvrzením je tvrzení Napoleonova věta.

Specializace na čtyřúhelníky

V případě čtyřúhelníky, hodnota n je 4 a to n - 2 je 2. Existují dvě možné hodnoty pro k, jmenovitě 1 a 2, a tedy dva možné vrcholové úhly, jmenovitě:

(2 × 1 × π) / 4 = π / 2 = 90 ° (odpovídá k = 1 )

(2 × 2 × π) / 4 = π = 180 ° (odpovídá k = 2 ).

Podle věty PDN čtyřúhelník A₂ je pravidelný 4-gon, tj náměstí. Dvoustupňový proces poskytující čtverec A₂ lze provést dvěma různými způsoby. (Vrchol Z z rovnoramenný trojúhelník s vrcholovým úhlem π vztyčeným nad úsečkou XY je střed segmentu čáry XY.)

Construct A₁ pomocí vrcholového úhlu π / 2 a poté A₂ s vrcholovým úhlem π.

V tomto případě vrcholy A.₁ jsou bezplatné vrcholy rovnoramenné trojúhelníky s vrcholovými úhly π / 2 vztyčenými po stranách čtyřúhelníku A₀. Vrcholy čtyřúhelníku A₂ jsou střední body stran čtyřúhelníku A₁. Podle věty PDN, A₂ je čtverec.

Vrcholy čtyřúhelníku A₁ jsou středy čtverců postavených po stranách čtyřúhelníku A₀. Tvrzení, že čtyřúhelník A₂ je čtverec je ekvivalentní tvrzení, že úhlopříčky A.₁ jsou si rovni a kolmý navzájem. Druhé tvrzení je obsahem van Aubelova věta.

Tím pádem van Aubelova věta je speciální případ věty PDN.

Construct A₁ pomocí vrcholového úhlu π a poté A₂ s vrcholovým úhlem π / 2.

V tomto případě vrcholy A₁ jsou střední body stran čtyřúhelníku A₀ a ti z A₂ jsou vrcholy trojúhelníků s vrcholovými úhly π / 2 vztyčenými po stranách A₁. Věta PDN tvrdí, že A₂ je v tomto případě také čtverec.

Obrázky ilustrující použití věty na čtyřúhelníky

Věta Petr – Douglas – Neumann as aplikován na čtyřúhelník A0 = abeceda. A1 = EFGH je konstruován pomocí vrcholový úhel π / 2 a A2 = PQRS s vrcholovým úhlem π.	Věta Petr – Douglas – Neumann as aplikován na čtyřúhelník A0 = abeceda. A1 = EFGH je konstruován pomocí vrcholový úhel π a A2 = PQRS s vrcholovým úhlem π / 2.

Věta Petr – Douglas – Neumann as aplikováno na a protínající se čtyřúhelník A0 = abeceda. A1 = EFGH je konstruován pomocí vrcholový úhel π / 2 a A2 = PQRS s vrcholovým úhlem π.	Věta Petr – Douglas – Neumann as aplikováno na a protínající se čtyřúhelník A0 = abeceda. A1 = EFGH je konstruován pomocí vrcholový úhel π a A2 = PQRS s vrcholovým úhlem π / 2.

Schéma ilustrující skutečnost, že van Aubelova věta je speciální případ věty Petr – Douglas – Neumann.

Specializace na pětiúhelníky

Schéma ilustrující Petr – Douglas – Neumannova věta aplikované na pětiúhelník. Pětiúhelník A₀ je ABCDE. A₁ ( = FGHIJ ) je konstruován s vrcholovým úhlem 72 °, A₂ ( = KLMNO ) s vrcholovým úhlem 144 ° a A₃ ( = PQRST ) s vrcholovým úhlem 216 °.

V případě pětiúhelníky, my máme n = 5 a n - 2 = 3. Existují tedy tři možné hodnoty pro k, jmenovitě 1, 2 a 3, a tedy tři možné vrcholové úhly pro rovnoramenné trojúhelníky:

(2 × 1 × π) / 5 = 2π / 5 = 72 °

(2 × 2 × π) / 5 = 4π / 5 = 144 °

(2 × 3 × π) / 5 = 6π / 5 = 216 °

Podle věty PDN, A₃ je pravidelný pětiúhelník. Třístupňový proces vedoucí k výstavbě pravidelného pětiúhelníku A.₃ lze provést šesti různými způsoby v závislosti na pořadí, ve kterém jsou vrcholové úhly vybrány pro konstrukci rovnoramenných trojúhelníků.

Důkaz věty

Věta může být prokázána pomocí některých elementárních konceptů z lineární algebry.^[2][6]

Důkaz začíná kódováním souboru n-gon o seznam komplexních čísel představujících vrcholy n-gon. Tento seznam lze považovat za vektor v n-rozměrný komplexní lineární prostor Cⁿ. Vezměte si n-gon A a nechme to být reprezentováno komplexním vektorem

A = ( A₁, A₂, ... , A_n ).

Nechte mnohoúhelník B být tvořen volnými vrcholy podobných trojúhelníků postavených po stranách A a nechme to být reprezentováno komplexním vektorem

B = ( b₁, b₂, ... , b_n ).

Pak máme

α ( A_r − b_r ) = A_r+1 − b_r, kde α = exp ( i θ) pro některé θ (zde i je druhá odmocnina z -1).

Tím se získá následující výraz pro výpočet b_r :

b_r = (1 − α)⁻¹ ( A_r+1 - αA_r ).

Z hlediska lineárního operátoru S : Cⁿ → C.ⁿ že cyklicky permutuje souřadnice jednoho místa, máme

B = (1 − α)⁻¹( S - αJá )A, kde Já je matice identity.

To znamená, že mnohoúhelník A_n−2 ze které musíme ukázat, že je pravidelné, se získává z A₀ použitím složení následujících operátorů:

(1 - ω^k )⁻¹( S - ω^k Já ) pro k = 1, 2, ... , n - 2, kde ω = exp (2πi/n ). (Tyto dojíždějí, protože jsou to všechny polynomy ve stejném operátoru S.)

Mnohoúhelník P = ( p₁, p₂, ..., p_n ) je pravidelný n-gon, pokud každá strana P se získá z dalšího otočením o úhel 2π /n, tedy pokud

p_{r + 1} − p_r = ω ( p_{r + 2} − p_{r + 1} ).

Tuto podmínku lze formulovat z hlediska S takto:

( S − Já )( Já - ωS ) P = 0.

Nebo rovnocenně jako

( S − Já )( S - ω^{n − 1} Já ) P = 0, protože ωⁿ = 1.

Věta Petr – Douglas – Neumann nyní vyplývá z následujících výpočtů.

( S − Já )( S - ω^{n − 1} Já ) A_{n − 2}

= ( S − Já )( S - ω^{n − 1} Já ) (1 - ω)⁻¹ ( S - ω Já ) (1 - ω² )⁻¹ ( S - ω² Já ) ... (1 - ω^{n − 2} )⁻¹ ( S - ω^{n − 2} Já ) A₀

= (1 - ω)⁻¹(1 - ω² )⁻¹ ... (1 - ω^{n − 2} )⁻¹ ( S − Já ) ( S - ω Já ) ( S - ω² Já ) ... ( S - ω^{n − 1} Já)A₀

= (1 - ω)⁻¹(1 - ω² )⁻¹ ... (1 - ω^{n − 2} )⁻¹ ( Sⁿ − Já ) A₀

= 0, protože Sⁿ = Já.

Reference