Funkce Wannier - Wannier function
The Wannierovy funkce jsou kompletní sada ortogonální funkce použito v fyzika pevných látek. Byli představeni Gregory Wannier.[1][2] Funkce Wannier jsou lokalizované molekulární orbitaly krystalických systémů.
Wannier funguje pro různá mřížová místa v a krystal jsou kolmé, což umožňuje pohodlný základ pro rozšíření elektron státy v určitých režimech. Wannierovy funkce našly široké použití například při analýze vazebných sil působících na elektrony; existence exponenciálně lokalizované Wannierovy funkce v izolátorech byly prokázány v roce 2006.[3] Konkrétně se tyto funkce také používají při analýze excitony a kondenzované Rydberg záležitost.[Citace je zapotřebí ][je zapotřebí objasnění ]
Definice
I když, jako lokalizované molekulární orbitaly, Wannierovy funkce lze zvolit mnoha různými způsoby,[4] originál,[1] nejjednodušší a nejběžnější definice ve fyzice pevných látek je následující. Vyberte si jeden kapela v dokonalém krystalu a označte jeho Bloch říká podle
kde uk(r) má stejnou periodicitu jako krystal. Pak jsou funkce Wannier definovány
- ,
kde
- R je libovolný mřížkový vektor (tj. pro každý existuje jedna Wannierova funkce Bravaisova mřížka vektor );
- N je počet primitivní buňky v krystalu;
- Součet na k zahrnuje všechny hodnoty k v Brillouinova zóna (nebo jakýkoli jiný primitivní buňka z reciproční mříž ), které jsou v souladu s periodické okrajové podmínky na krystalu. To zahrnuje N různé hodnoty k, rovnoměrně rozloženo přes Brillouinovu zónu. Od té doby N je obvykle velmi velká, součet lze podle pravidla nahrazení zapsat jako integrál:
kde "BZ" označuje Brillouinova zóna, který má objem Ω.
Vlastnosti
Na základě této definice lze prokázat, že platí následující vlastnosti:[5]
- Pro libovolný mřížový vektor R ' ,
Jinými slovy, Wannierova funkce závisí pouze na množství (r − R). Ve výsledku se tyto funkce často zapisují do alternativní notace
- Funkce Bloch lze zapsat z hlediska Wannierových funkcí následovně:
- ,
kde součet je nad každým mřížkovým vektorem R v krystalu.
- Sada vlnových funkcí je ortonormální základ pro danou kapelu.
Wannierovy funkce byly rozšířeny také na téměř periodické potenciály.[6]
Lokalizace
Bloch říká ψk(r) jsou definovány jako vlastní funkce konkrétního hamiltoniánu, a jsou proto definovány pouze do celkové fáze. Aplikováním fázové transformace Eiθ(k) k funkcím ψk(r), pro jakoukoli (skutečnou) funkci θ(k), člověk dospěje ke stejně platné volbě. Zatímco změna nemá žádné důsledky pro vlastnosti blochových stavů, odpovídající Wannierovy funkce se touto transformací významně změní.
Jeden proto využívá svobodu volby fází Blochových stavů, aby poskytl nejpohodlnější sadu Wannierových funkcí. V praxi se obvykle jedná o maximálně lokalizovanou množinu, ve které je Wannierova funkce ϕR je lokalizován kolem bodu R a rychle jde na nulu pryč od R. Pro jednorozměrný případ to dokázal Kohn[7] že vždy existuje jedinečná volba, která dává tyto vlastnosti (s výhradou určitých symetrií). To následně platí pro všechny oddělitelný potenciál ve vyšších dimenzích; obecné podmínky nejsou stanoveny a jsou předmětem probíhajícího výzkumu.[3]
A Pipek-Mezey nedávno bylo také navrženo schéma lokalizace stylu pro získání funkcí Wannier.[8] Na rozdíl od maximálně lokalizovaných funkcí Wannier (které jsou aplikací Foster-Boys Schéma na krystalické systémy), funkce Pipek-Mezey Wannier nemíchají orbitaly σ a π.
Moderní teorie polarizace
Funkce Wannier nedávno našly uplatnění při popisu polarizace například v krystalech feroelektrika. Moderní teorii polarizace propagují Raffaele Resta a David Vanderbilt. Viz například Berghold,[9] a Nakhmanson,[10] a úvod do powerpointu od Vanderbilta.[11] Polarizaci na jednotku buňky v pevné látce lze definovat jako dipólový moment Wannierovy hustoty náboje:
kde je součet přes obsazená pásma a Žn je Wannierova funkce lokalizovaná v buňce pro pásmo n. The změna v polarizaci během kontinuálního fyzického procesu je časová derivace polarizace a lze ji také formulovat z hlediska Berryho fáze okupovaných států Bloch.[5][12]
Wannierova interpolace
Wannierovy funkce se často používají k interpolaci vypočtené struktury pásu ab initio na hrubém uchopení k-bodů na libovolný k-směřovat. To je užitečné zejména pro hodnocení integrálů Brillouin-one na hustých sítích a prohledávání Weylových bodů a také pro odvození derivátů v k-prostor. Tento přístup je podobný v duchu pevná vazba aproximace, ale naopak umožňuje přesný popis pásem v určitém energetickém rozsahu. Pro spektrální vlastnosti byla odvozena Wannierova interpolační schémata,[13] anomální Hallova vodivost,[14]orbitální magnetizace,[15]vlastnosti termoelektrické a elektronické dopravy,[16]gyrotropní účinky,[17]posuvný proud,[18]spin Hallova vodivost [19][20] a další efekty.
Viz také
Reference
- ^ A b Wannier Gregory H (1937). "Struktura úrovní elektronického buzení v izolačních krystalech". Fyzický přehled. 52 (3): 191–197. Bibcode:1937PhRv ... 52..191W. doi:10.1103 / PhysRev.52.191.
- ^ Wannier, Gregory H. (1. září 1962). "Dynamika pásových elektronů v elektrických a magnetických polích". Recenze moderní fyziky. Americká fyzická společnost (APS). 34 (4): 645–655. Bibcode:1962RvMP ... 34..645W. doi:10.1103 / revmodphys.34.645. ISSN 0034-6861.
- ^ A b Brouder, Christian; Panati, Gianluca; Calandra, Matteo; Mourougane, Christophe; Marzari, Nicola (25. ledna 2007). "Exponenciální lokalizace Wannierových funkcí v izolátorech". Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 98 (4): 046402. arXiv:cond-mat / 0606726. doi:10.1103 / physrevlett.98.046402. ISSN 0031-9007.
- ^ Marzari et al.: Úvod do maximálně lokalizovaných funkcí Wannier
- ^ A b Bohm, A Mostafazadeh, H Koizumi, Q Niu a J Zqanziger (2003). Geometrická fáze v kvantových systémech (Vložený rukopis). Springer. s. §12.5, s. 292 a násl. doi:10.1007/978-3-662-10333-3. ISBN 978-3-540-00031-0.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ MP Geller a W. Kohn Teorie zobecněných Wannierových funkcí pro téměř periodické potenciály Physical Review B 48, 1993
- ^ W. Kohn (1959). "Analytické vlastnosti blokových vln a Wannierových funkcí". Fyzický přehled. 115 (4): 809–821. Bibcode:1959PhRv..115..809K. doi:10.1103 / PhysRev.115.809.
- ^ Jónsson Elvar Ö., Lehtola Susi, Puska Martti, Jónsson Hannes (2017). „Teorie a aplikace zobecněných funkcí Pipek – Mezey Wannier“. Journal of Chemical Theory and Computation. 13 (2): 460–474. arXiv:1608.06396. doi:10.1021 / acs.jctc.6b00809. PMID 28099002.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Berghold, Gerd; Mundy, Christopher J .; Romero, Aldo H .; Hutter, Jürg; Parrinello, Michele (15. dubna 2000). "Obecné a efektivní algoritmy pro získání maximálně lokalizovaných Wannierových funkcí". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 61 (15): 10040–10048. doi:10.1103 / fyzrevb.61.10040. ISSN 0163-1829.
- ^ Nakhmanson, S. M .; Calzolari, A .; Meunier, V .; Bernholc, J .; Buongiorno Nardelli, M. (10. června 2003). „Spontánní polarizace a piezoelektřina v nanotrubičkách z nitridu boru“. Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 67 (23): 235406. arXiv:cond-mat / 0305329v1. doi:10.1103 / fyzrevb.67.235406. ISSN 0163-1829.
- ^ D Vanderbilt Berryho fáze a zakřivení v teorii elektronické struktury.
- ^ C. Pisani (1994). Kvantově mechanický výpočet Ab-initio vlastností krystalických materiálů (Proceedings of the IV School of Computational Chemistry of the Italian Chemical Society ed.). Springer. str. 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
- ^ Yates, Jonathan R .; Wang, Xinjie; Vanderbilt, David; Souza, Ivo (21.05.2007). "Spektrální a Fermiho povrchové vlastnosti z Wannierovy interpolace". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 75 (19). arXiv:cond-mat / 0702554. doi:10.1103 / fyzrevb.75.195121. ISSN 1098-0121.
- ^ Wang, Xinjie; Yates, Jonathan R .; Souza, Ivo; Vanderbilt, David (21. 11. 2006). "Ab initiocalculation anomální Hall vodivosti Wannierovou interpolací". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 74 (19). arXiv:cond-mat / 0608257. doi:10.1103 / physrevb.74.195118. ISSN 1098-0121.
- ^ Lopez, M. G .; Vanderbilt, David; Thonhauser, T .; Souza, Ivo (31.01.2012). „Wannierův výpočet orbitální magnetizace v krystalech“. Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 85 (1). arXiv:1112.1938. doi:10.1103 / physrevb.85.014435. ISSN 1098-0121.
- ^ „BoltzWann: Kód pro hodnocení termoelektrických a elektronických transportních vlastností s maximálně lokalizovaným základem Wannierových funkcí“. Komunikace počítačové fyziky. 185 (1): 422–429. 2014-01-01. arXiv:1305.1587. doi:10.1016 / j.cpc.2013.09.015. ISSN 0010-4655. Citováno 2020-07-13.
- ^ Tsirkin, Stepan S .; Puente, Pablo Aguado; Souza, Ivo (29.01.2018). "Gyrotropní účinky v trigonálním teluru studovány z prvních principů". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 97 (3). arXiv:1710.03204. doi:10.1103 / physrevb.97.035158. ISSN 2469-9950.
- ^ Ibañez-Azpiroz, Julen; Tsirkin, Stepan S .; Souza, Ivo (26.06.2018). Msgstr "Výpočet posunového fotoproudu Ab Wannierovou interpolací". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 97 (24). arXiv:1804.04030. doi:10.1103 / fyzrevb.97.245143. ISSN 2469-9950.
- ^ Qiao, Junfeng; Zhou, Jiaqi; Yuan, Zhe; Zhao, Weisheng (03.12.2018). "Výpočet vnitřní vodivosti spinové Hall pomocí Wannierovy interpolace". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 98 (21). arXiv:1810.07637. doi:10.1103 / fyzrevb.98.214402. ISSN 2469-9950.
- ^ Ryoo, Ji Hoon; Park, Cheol-Hwan; Souza, Ivo (07.06.2019). "Výpočet vnitřní spinové vodivosti Hall z prvních principů pomocí maximálně lokalizovaných Wannierových funkcí". Fyzický přehled B. Americká fyzická společnost (APS). 99 (23). arXiv:1906.07139. doi:10.1103 / fyzrevb.99.235113. ISSN 2469-9950.
Další čtení
- Karin M. Rabe; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Fyzika feroelektriky: moderní perspektiva. Springer. str. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.
externí odkazy
- Wannier Gregory H (1937). "Struktura úrovní elektronického buzení v izolačních krystalech". Fyzický přehled. 52 (3): 191–197. Bibcode:1937PhRv ... 52..191W. doi:10.1103 / PhysRev.52.191.
- Počítačový kód Wannier90, který vypočítává maximálně lokalizované funkce Wannier
- Wannier Transport kód, který vypočítává maximálně lokalizované Wannierovy funkce vhodné pro aplikace Quantum Transport
- WannierTools: Softwarový balíček open-source pro nové topologické materiály
- WannierBerri - kód pythonu pro Wannierovu interpolaci a těsné výpočty