Pořadový nástroj - Ordinal utility

v ekonomika, an pořadová užitečnost funkce je funkce představující předvolby agenta na pořadová stupnice. Pořadové teorie užitečnosti tvrdí, že je smysluplné ptát se, která možnost je lepší než ta druhá, ale nemá smysl se ptát jak moc lepší nebo jak dobré je. Celá teorie spotřebitelské rozhodování za podmínek jistota může být, a obvykle je, vyjádřeno jako pořadová užitečnost.

Předpokládejme například, že nám George říká, že „dávám přednost A před B a B před C“. Georgeovy preference mohou být reprezentovány funkcí u takové, že:

{ displaystyle u (A) = 9, u (B) = 8, u (C) = 1}

Ale kritici hlavní nástroj tvrdí, že jedinou smysluplnou zprávou této funkce je objednávka ${ displaystyle u (A)> u (B)> u (C)}$ ; skutečná čísla nemají smysl. Georgeovy preference tedy mohou být také reprezentovány následující funkcí proti:

{ displaystyle v (A) = 9, proti (B) = 2, proti (C) = 1}

Funkce u a proti jsou pořadově ekvivalentní - stejně dobře představují Georgeovy preference.

Obyčejný nástroj kontrastuje s hlavní nástroj teorie předpokládá, že rozdíly mezi preferencemi jsou také důležité. v u rozdíl mezi A a B je mnohem menší než mezi B a C, zatímco v proti opak je pravdou. Proto, u a proti jsou ne kardinálně ekvivalentní.

Koncept řadového užitku poprvé představil Pareto v roce 1906.^[1]

Zápis

Předpokládejme, že množina všech států světa je ${ displaystyle X}$ a agent má preferenční vztah na ${ displaystyle X}$ . Je běžné označit slabý preferenční vztah pomocí ${ displaystyle preceq}$ , aby ${ displaystyle A preceq B}$ zní „agent chce B minimálně stejně jako A“.

Symbol ${ displaystyle sim}$ se používá jako zkratka k vztahu lhostejnosti: ${ displaystyle A sim B iff (A preceq B land B preceq A)}$ , který zní „Agent je mezi B a A lhostejný“.

Symbol ${ displaystyle prec}$ se používá jako zkratka k silnému preferenčnímu vztahu: ${ displaystyle A prec B iff (A preceq B land B not preceq A)}$ , který zní „Agent přísně upřednostňuje B před A“.

Funkce ${ displaystyle u: X to mathbb {R}}$ říká se zastupovat vztah ${ displaystyle preceq}$ li:

{ displaystyle A preceq B iff u (A) leq u (B)}

Související pojmy

Mapování křivek indiference

Místo definování numerické funkce lze preferenční vztah agenta graficky znázornit indiferenčními křivkami. To je obzvláště užitečné, když existují dva druhy zboží, X a y. Poté každá indiferenční křivka ukazuje sadu bodů ${ displaystyle (x, y)}$ takové, pokud ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ a ${ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ jsou tedy na stejné křivce ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) sim (x_ {2}, y_ {2})}$ .

Níže je uvedena ukázková křivka indiference:

Každá indiferenční křivka je sada bodů, z nichž každý představuje kombinaci množství dvou zboží nebo služeb, se kterými je spotřebitel stejně spokojen. Čím dále je křivka od počátku, tím vyšší je úroveň užitečnosti.

Sklon křivky (zápor mezní míra substituce X pro Y) v kterémkoli okamžiku ukazuje míru, jakou je jednotlivec ochoten vyměnit dobrý X proti dobrému Y při zachování stejné úrovně užitečnosti. Křivka je konvexní vůči původu, jak je uvedeno za předpokladu, že spotřebitel má klesající mezní míru substituce. Lze ukázat, že spotřebitelská analýza s indiferenčními křivkami (ordinální přístup) poskytuje stejné výsledky jako ta založená na hlavní nástroj teorie - tj. spotřebitelé budou spotřebovávat v bodě, kdy se mezní míra substituce mezi jakýmikoli dvěma zbožemi rovná poměru cen tohoto zboží (princip mezní meze).

Odhalená preference

Odhalená teorie preferencí řeší problém, jak sledovat vztahy ordinálních preferencí v reálném světě. Výzva teorie odhalených preferencí spočívá částečně v určení toho, jaké svazky zboží byly ztraceny, na základě toho, že jsou méně oblíbené, když jsou jednotlivci pozorováni při výběru konkrétních svazků zboží.^[2]^[3]

Nezbytné podmínky pro existenci ordinální užitné funkce

Některé podmínky zapnuty ${ displaystyle preceq}$ jsou nezbytné k zajištění existence reprezentující funkce:

Přechodnost: pokud ${ displaystyle A preceq B}$ a ${ displaystyle B preceq C}$ pak ${ displaystyle A preceq C}$ .
Úplnost: pro všechny svazky ${ displaystyle A, B v X}$ $A, B v X$ : buď ${ displaystyle A preceq B}$ $A preceq B$ nebo ${ displaystyle B preceq A}$ $B preceq A$ nebo oboje.
- Úplnost také znamená reflexivitu: pro každého ${ displaystyle A v X}$ : ${ displaystyle A preceq A}$ .

Když jsou tyto podmínky splněny a je nastavena ${ displaystyle X}$ je konečný, je snadné vytvořit funkci ${ displaystyle u}$ což představuje ${ displaystyle prec}$ pouhým přiřazením příslušného čísla každému prvku ${ displaystyle X}$ , jak je uvedeno v úvodním odstavci. Totéž platí, když je X počítatelně nekonečný. Kromě toho je možné induktivně sestrojit reprezentativní užitnou funkci, jejíž hodnoty jsou v rozsahu ${ displaystyle (-1,1)}$ .^[4]

Když ${ displaystyle X}$ je nekonečný, tyto podmínky jsou nedostatečné. Například, lexikografické preference jsou tranzitivní a úplné, ale nemohou být reprezentovány žádnou užitnou funkcí.^[4] Další požadovaná podmínka je kontinuita.

Kontinuita

Preference relace se nazývá kontinuální pokud, kdykoli je B upřednostňováno před A, malé odchylky od B nebo A nezmění pořadí mezi nimi. Formálně se preferenční vztah na množině X nazývá spojitý, pokud splňuje jednu z následujících ekvivalentních podmínek:

Pro každého ${ displaystyle A v X}$ , sada ${ displaystyle {(A, B) | A preceq B }}$ je topologicky uzavřeno v ${ displaystyle X krát X}$ s topologie produktu (tato definice vyžaduje ${ displaystyle X}$ být a topologický prostor ).
Pro každou sekvenci ${ displaystyle (A_ {i}, B_ {i})}$ , pokud pro všechny i ${ displaystyle A_ {i} preceq B_ {i}}$ a ${ displaystyle A_ {i} do A}$ a ${ displaystyle B_ {i} do B}$ , pak ${ displaystyle A preceq B}$ .
Pro každého ${ displaystyle A, B v X}$ takhle ${ displaystyle A prec B}$ , existuje koule kolem ${ displaystyle A}$ a míč kolem ${ displaystyle B}$ takové, že pro každého ${ displaystyle a}$ v kouli kolem ${ displaystyle A}$ a každý ${ displaystyle b}$ v kouli kolem ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle a prec b}$ (tato definice vyžaduje ${ displaystyle X}$ být a metrický prostor ).

Pokud je preferenční vztah reprezentován funkcí spojitého užitku, pak je jasně spojitý. Věty o Debreu (1954) platí i opak:

Každý souvislý úplný přednostní vztah může být reprezentován spojitou pořadovou užitnou funkcí.

Všimněte si, že lexikografické preference nejsou spojité. Například, ${ displaystyle (5,0) prec (5,1)}$ , ale v každé kouli kolem (5,1) jsou body s ${ displaystyle x <5}$ a tyto body jsou horší než ${ displaystyle (5,0)}$ . To je v souladu s výše uvedenou skutečností, že tyto preference nelze představovat užitnou funkcí.

Jedinečnost

Pro každou užitnou funkci proti, existuje jedinečný preferenční vztah představovaný proti. Opak však není pravdou: preferenční vztah může být reprezentován mnoha různými užitnými funkcemi. Stejné preference lze vyjádřit jako žádný užitková funkce, která je monotónně rostoucí transformací proti. Např. Pokud

{ displaystyle v (A) equiv f (v (A))}

kde ${ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}$ je žádný monotónně rostoucí funkce, pak funkce proti a proti dát vzniknout identickému mapování křivek indiference.

Tato ekvivalence je stručně popsána následujícím způsobem:

Pořadová pomocná funkce je unikátní až po rostoucí monotónní transformaci.

Naproti tomu a hlavní nástroj funkce je jedinečná až do zvýšení afinní transformace. Každá afinní transformace je monotónní; tedy pokud jsou dvě funkce kardinálně ekvivalentní, jsou také ordinálně ekvivalentní, ale ne naopak.

Monotónnost

Předpokládejme, že od nynějška ta sada ${ displaystyle X}$ je množina všech nezáporných reálných dvourozměrných vektorů. Takže prvek ${ displaystyle X}$ je pár ${ displaystyle (x, y)}$ což představuje množství spotřebované ze dvou produktů, např. jablek a banánů.

Pak za určitých okolností preferenční vztah ${ displaystyle preceq}$ je reprezentován užitnou funkcí ${ displaystyle v (x, y)}$ .

Předpokládejme, že preferenční vztah je monotónně roste, což znamená, že „více je vždy lepší“:

{ displaystyle x

{ displaystyle y

Pak oba parciální deriváty, pokud existují, z proti jsou pozitivní. Ve zkratce:

Pokud užitková funkce představuje monotónně rostoucí preferenční vztah, pak se užitková funkce monotónně zvyšuje.

Mezní míra substituce

Předpokládejme, že osoba má balíček ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ a tvrdí, že je mezi tímto svazkem a svazkem lhostejný ${ displaystyle (x_ {0} - lambda cdot delta, y_ {0} + delta)}$ . To znamená, že je ochoten dát ${ displaystyle lambda cdot delta}$ jednotky x dostat ${ displaystyle delta}$ jednotky r. Pokud je tento poměr zachován jako ${ displaystyle delta až 0}$ , říkáme to ${ displaystyle lambda}$ je mezní míra substituce (PANÍ) mezi X a y na místě ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ .^[5]^:82

Tato definice MRS je založena pouze na vztahu ordinálních preferencí - nezávisí na numerické užitné funkci. Pokud je preference vztah reprezentován užitkovou funkcí a funkce je diferencovatelná, pak lze MRS vypočítat z derivátů této funkce:

{ displaystyle MRS = { frac {v '_ {x}} {v' _ {y}}}.}

Například pokud je preferenční vztah reprezentován ${ displaystyle v (x, y) = x ^ {a} cdot y ^ {b}}$ pak ${ displaystyle MRS = { frac {a cdot x ^ {a-1} cdot y ^ {b}} {b cdot y ^ {b-1} cdot x ^ {a}}} = { frac {ay} {bx}}}$ . MRS je pro funkci stejný ${ displaystyle v (x, y) = a cdot log {x} + b cdot log {y}}$ . To není náhoda, protože tyto dvě funkce představují stejný preferenční vztah - každá z nich je rostoucí monotónní transformací druhé.

Obecně se MRS může v různých bodech lišit ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ . Je například možné, že v ${ displaystyle (9,1)}$ MRS je nízká, protože osoba má hodně X a jen jeden y, ale v ${ displaystyle (9,9)}$ nebo ${ displaystyle (1,1)}$ MRS je vyšší. Níže jsou popsány některé speciální případy.

Linearita

Když MRS určitého preferenčního vztahu nezávisí na balíčku, tj. MRS je stejný pro všechny ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ , indiferenční křivky jsou lineární a tvaru:

{ displaystyle x + lambda y = { text {const}},}

a preferenční vztah může být reprezentován lineární funkcí:

{ displaystyle v (x, y) = x + lambda y.}

(Samozřejmě, stejný vztah může být reprezentován mnoha dalšími nelineárními funkcemi, jako je ${ displaystyle { sqrt {x + lambda y}}}$ nebo ${ displaystyle (x + lambda y) ^ {2}}$ , ale lineární funkce je nejjednodušší.)^[5]^:85

Quasilinearity

Kdy závisí MRS ${ displaystyle y_ {0}}$ ale ne na ${ displaystyle x_ {0}}$ , preferenční vztah může být reprezentován a kvazilineární nástroj funkce formuláře

{ displaystyle v (x, y) = x + gamma v_ {Y} (y)}

kde ${ displaystyle v_ {Y}}$ je určitá monotónně rostoucí funkce. Protože MRS je funkce ${ displaystyle lambda (y)}$ , možná funkce ${ displaystyle v_ {Y}}$ lze vypočítat jako integrál z ${ displaystyle lambda (y)}$ :^[6]^[5]^:87

{ displaystyle v_ {Y} (y) = int _ {0} ^ {y} { lambda (y ') dy'}}

V tomto případě jsou všechny indiferenční křivky rovnoběžné - jsou to vzájemné vodorovné převody.

Aditivita se dvěma výrobky

Obecnější typ užitné funkce je aditivní funkce:

{ displaystyle v (x, y) = v_ {X} (x) + v_ {Y} (y)}

Existuje několik způsobů, jak zkontrolovat, zda jsou dané předvolby reprezentovatelné funkcí doplňkové utility.

Dvojité zrušení majetku

Pokud jsou předvolby aditivní, ukazuje to jednoduchý aritmetický výpočet

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) succeq (x_ {2}, y_ {2})}

a

{ displaystyle (x_ {2}, y_ {3}) succeq (x_ {3}, y_ {1})}

naznačuje

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {3}) succeq (x_ {3}, y_ {2})}

takže tato vlastnost „dvojitého zrušení“ je nezbytnou podmínkou pro přidání.

Debreu (1960) ukázal, že tato vlastnost je také dostatečná: tj. pokud preferenční vztah splňuje vlastnost dvojitého zrušení, může být reprezentován funkcí aditivní utility.^[7]

Odpovídající vlastnictví kompromisů

Pokud jsou předvolby reprezentovány aditivní funkcí, ukazuje to jednoduchý aritmetický výpočet

{ displaystyle MRS (x_ {2}, y_ {2}) = { frac {MRS (x_ {1}, y_ {2}) cdot MRS (x_ {2}, y_ {1})} {MRS ( x_ {1}, y_ {1})}}}

takže tato vlastnost „odpovídajících kompromisů“ je nezbytnou podmínkou pro aditivitu. Tato podmínka je také dostatečná.^[8]^[5]^:91

Aditivita se třemi nebo více zbožím

Pokud existují tři nebo více komodit, je podmínka aditivity užitné funkce překvapivě jednodušší než u dvou komodit. Toto je výsledek Věta 3 Debreu (1960). Podmínka požadovaná pro aditivitu je preferenční nezávislost.^[5]^:104

Podmnožina A komodit se říká, že je přednostně nezávislý podmnožiny B komodit, je-li preferenční vztah v podmnožině A, daný konstantními hodnotami pro podmnožinu B, nezávislý na těchto konstantních hodnotách. Předpokládejme například, že existují tři komodity: X y a z. Podmnožina {X,y} je přednostně nezávislý na podmnožině {z}, pokud pro všechny ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z, z '}$ :

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z) preceq (x_ {2}, y_ {2}, z) iff (x_ {1}, y_ {1}, z ') preceq ( x_ {2}, y_ {2}, z ')}

.

V tomto případě můžeme jednoduše říci, že:

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) preceq (x_ {2}, y_ {2})}

pro konstantní z.

Preferenční nezávislost má smysl v případě nezávislé zboží. Například preference mezi svazky jablek a banánů jsou pravděpodobně nezávislé na počtu bot a ponožek, které agent má, a naopak.

Podle Debreuovy věty, pokud jsou všechny podmnožiny komodit přednostně nezávislé na jejich doplňcích, pak může být preferenční vztah reprezentován funkcí aditivní hodnoty. Zde poskytujeme intuitivní vysvětlení tohoto výsledku tím, že ukazujeme, jak lze takovou funkci aditivní hodnoty zkonstruovat.^[5] Důkaz předpokládá tři komodity: X, y, z. Ukážeme, jak definovat tři body pro každou ze tří hodnotových funkcí ${ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$ : 0 bod, 1 bod a 2 bod. Další body lze vypočítat podobným způsobem a poté lze pomocí kontinuity dojít k závěru, že funkce jsou v celém jejich rozsahu dobře definované.

0 bodů: zvolit libovolný ${ displaystyle x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}}$ a přiřadit je jako nulu hodnotové funkce, tj .:

{ displaystyle v_ {x} (x_ {0}) = v_ {y} (y_ {0}) = v_ {z} (z_ {0}) = 0}

1 bod: zvolit libovolný ${ displaystyle x_ {1}> x_ {0}}$ takhle ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) succ (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ . Nastavit jako jednotku hodnoty, tj .:

{ displaystyle v_ {x} (x_ {1}) = 1}

Vybrat ${ displaystyle y_ {1}}$ a ${ displaystyle z_ {1}}$ tak, aby platily následující lhostejné vztahy:

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {0}, z_ {1})}

.

Tato lhostejnost slouží ke zvětšení jednotek y a z aby odpovídaly těm z X. Hodnota v těchto třech bodech by měla být 1, takže přiřadíme

{ displaystyle v_ {y} (y_ {1}) = v_ {z} (z_ {1}) = 1}

2 body: Nyní použijeme předpoklad preferenční nezávislosti. Vztah mezi ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {0})}$ a ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {1})}$ je nezávislý na z, a podobně vztah mezi ${ displaystyle (y_ {1}, z_ {0})}$ a ${ displaystyle (y_ {0}, z_ {1})}$ je nezávislý na X a vztah mezi ${ displaystyle (z_ {1}, x_ {0})}$ a ${ displaystyle (z_ {0}, x_ {1})}$ je nezávislý na y. Proto

{ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {1}) sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {1}) sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0}).}

To je užitečné, protože to znamená, že funkce proti může mít v těchto třech bodech stejnou hodnotu - 2. Vybrat ${ displaystyle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}}$ takhle

{ displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {2}, z_ {0}) sim (x_ {0}, y_ {0}, z_ {2}) sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0})}

a přiřadit

{ displaystyle v_ {x} (x_ {2}) = v_ {x} (y_ {2}) = v_ {x} (z_ {2}) = 2.}

3 body: Abychom ukázali, že naše dosavadní úkoly jsou konzistentní, musíme ukázat, že všechny body, které obdrží celkovou hodnotu 3, jsou indiferenční body. Zde se opět používá preferenční předpoklad nezávislosti, protože vztah mezi ${ displaystyle (x_ {2}, y_ {0})}$ a ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ je nezávislý na z (a podobně pro ostatní páry); proto

{ displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ {1}) sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}

a podobně pro ostatní páry. Proto je 3 bod definován důsledně.

Můžeme takto pokračovat indukcí a definovat funkce jednotlivých komodit ve všech celočíselných bodech, poté je pomocí kontinuity definovat ve všech reálných bodech.

Implicitní předpoklad v bodě 1 výše uvedeného důkazu je, že všechny tři komodity jsou nezbytný nebo preference relevantní.^[7]^:7 To znamená, že existuje balíček tak, že pokud se zvýší množství určité komodity, nový balíček je přísně lepší.

Důkaz pro více než 3 komodity je podobný. Ve skutečnosti nemusíme kontrolovat, zda jsou všechny podmnožiny bodů přednostně nezávislé; stačí zkontrolovat lineární počet párů komodit. Např. Pokud existují ${ displaystyle m}$ různé komodity, ${ displaystyle j = 1, ..., m}$ , pak to stačí zkontrolovat u všech ${ displaystyle j = 1, ..., m-1}$ , dvě komodity ${ displaystyle {x_ {j}, x_ {j + 1} }}$ jsou přednostně nezávislé na ostatních ${ displaystyle m-2}$ komodity.^[5]^:115

Jedinečnost doplňkového vyjádření

Vztah preferencí aditiv může být reprezentován mnoha různými funkcemi aditivních obslužných programů. Všechny tyto funkce jsou však podobné: nejenže zvyšují vzájemné monotónní transformace (stejně jako všechny užitné funkce představující stejný vztah ); přibývají lineární transformace navzájem.^[7]^:9 Ve zkratce,

Aditivní pořadová pomocná funkce je unikátní až po rostoucí lineární transformaci.

Srovnání mezi řadovými a světovými užitnými funkcemi

Následující tabulka porovnává dva typy užitkových funkcí běžných v ekonomii:

	Úroveň měření	Představuje předvolby na	Unikátní až	Existence prokázána	Většinou se používá v
Pořadový nástroj	Pořadová stupnice	Jistě výsledky	Vzrůstající monotónní transformace	Debreu (1954)	Teorie spotřebitele s jistotou
Kardinální nástroj	Intervalová stupnice	Náhodné výsledky (loterie)	Zvýšení monotónnosti lineární transformace	Von Neumann-Morgenstern (1947)	Herní teorie, volba za nejistoty

Viz také

Reference

^ Pareto, Vilfredo (1906). „Manuale di economia politica, con una introduzione alla scienza sociale“. Societa Editrice Libraria.
^ Chiaki Hara (6. června 1998). „Odhalená teorie preferencí“. 7. setkání Toiro-kai (1997/1998).
^ Botond Koszegi; Matthew Rabin (květen 2007). „Chyby v analýze dobrých životních podmínek podle volby“ (PDF). American Economic Review: Papers and Proceedings. 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381. doi:10,1257 / aer.97.2.477. Archivovány od originál (PDF) dne 15. 10. 2008.
^ ^A ^b Ariel Rubinstein, poznámky k přednášce z mikroekonomické teorie, Přednáška 2 - Utility
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Keeney, Ralph L .; Raiffa, Howard (1993). Rozhodnutí s více cíli. ISBN 978-0-521-44185-8.
^ Peter Mark Pruzan a J. T. Ross Jackson (1963). „O vývoji užitkových prostorů pro systémy s více cíli“. Ledelse og Erhvervsøkonomi / Handelsvidenskabeligt Tidsskrift / Erhvervsøkonomisk Tidsskrift.
^ ^A ^b ^C Bergstrom, Ted. „Poznámky k přednášce o oddělitelných preferencích“ (PDF). UCSB Econ. Citováno 18. srpna 2015.
^ Luce, R. Duncan; Tukey, John W. (1964). "Simultánní společné měření: nový typ základního měření". Journal of Mathematical Psychology. 1: 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018. doi:10.1016 / 0022-2496 (64) 90015-x.

externí odkazy

[1] Pareto, Vilfredo (1906). „Manuale di economia politica, con una introduzione alla scienza sociale“. Societa Editrice Libraria.

[2] Chiaki Hara (6. června 1998). „Odhalená teorie preferencí“. 7. setkání Toiro-kai (1997/1998).

[3] Botond Koszegi; Matthew Rabin (květen 2007). „Chyby v analýze dobrých životních podmínek podle volby“ (PDF). American Economic Review: Papers and Proceedings. 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381. doi:10,1257 / aer.97.2.477. Archivovány od originál (PDF) dne 15. 10. 2008.

[Rubinstein-4] A ^b Ariel Rubinstein, poznámky k přednášce z mikroekonomické teorie, Přednáška 2 - Utility

[KeeneyRaiffa1993-5] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Keeney, Ralph L .; Raiffa, Howard (1993). Rozhodnutí s více cíli. ISBN 978-0-521-44185-8.

[PruzanJackson1963-6] Peter Mark Pruzan a J. T. Ross Jackson (1963). „O vývoji užitkových prostorů pro systémy s více cíli“. Ledelse og Erhvervsøkonomi / Handelsvidenskabeligt Tidsskrift / Erhvervsøkonomisk Tidsskrift.

[Ted-7] A ^b ^C Bergstrom, Ted. „Poznámky k přednášce o oddělitelných preferencích“ (PDF). UCSB Econ. Citováno 18. srpna 2015.

[LuceTukey1964-8] Luce, R. Duncan; Tukey, John W. (1964). "Simultánní společné měření: nový typ základního měření". Journal of Mathematical Psychology. 1: 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018. doi:10.1016 / 0022-2496 (64) 90015-x.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]