Debreuovy věty - Debreu theorems - Wikipedia

v ekonomika, Debreuovy věty je několik prohlášení o reprezentaci a objednávání preferencí funkcí se skutečnou hodnotou. Věty byly prokázány Gerard Debreu během padesátých let.

Pozadí

Předpokládejme, že osobě budou položeny otázky ve formuláři „Dáváte přednost A nebo B?“ (když A a B mohou být možnosti, akce, které je třeba podniknout, stavy světa, balíčky spotřeby atd.). Všechny odpovědi jsou zaznamenány. Poté jsou preference dané osoby vyjádřeny číselně užitková funkce, takže užitečnost možnosti A je větší než možnosti B právě tehdy, pokud agent upřednostňuje A před B.

Věty Debreu přicházejí s odpovědí na následující základní otázku: jaké podmínky preferenčního vztahu agenta zaručují, že lze najít takovou reprezentativní užitnou funkci?

Existence pořadové užitné funkce

Věty z roku 1954^[1] řekněme zhruba, že každý preferenční vztah, který je úplný, tranzitivní a spojitý, může být reprezentován a spojitá pořadová užitná funkce.

Tvrzení

Věty se obvykle aplikují na prostory konečných komodit. Jsou však použitelné v mnohem obecnějším prostředí. Jedná se o obecné předpoklady:

X je a topologický prostor.
${ displaystyle preceq}$ je vztah na X, který je celkový (všechny položky jsou srovnatelné) a tranzitivní.
${ displaystyle preceq}$ $preceq$ je kontinuální. To znamená, že jsou splněny následující rovnocenné podmínky:
1. Pro každého ${ displaystyle x v X}$ , sady ${ displaystyle {y | y preceq x }}$ a ${ displaystyle {y | y succeq x }}$ jsou topologicky uzavřeno v ${ displaystyle X}$ .
2. Pro každou sekvenci ${ displaystyle (x_ {i})}$ takhle ${ displaystyle x_ {i} až x _ { infty}}$ , pokud pro všechny i ${ displaystyle x_ {i} preceq y}$ pak ${ displaystyle x _ { infty} preceq y}$ , a pokud pro všechny i ${ displaystyle x_ {i} succeq y}$ pak ${ displaystyle x _ { infty} succeq y}$

Každá z následujících podmínek zaručuje existenci reálné kontinuální funkce, která představuje preferenční vztah ${ displaystyle preceq}$ :

1. Sada třídy ekvivalence vztahu ${ displaystyle sim}$ (definován: ${ displaystyle x sim y}$ iff ${ displaystyle x preceq y}$ a ${ displaystyle x succeq y}$ ) plocha spočetná sada.

2. Existuje spočetná podmnožina X, ${ displaystyle Z = {z_ {0}, z_ {1}, ... }}$ , takže pro každou dvojici neekvivalentních prvků ${ displaystyle x prec y}$ , existuje prvek ${ displaystyle z_ {i} v Z}$ který je odděluje ( ${ displaystyle x preceq z_ {i} preceq y}$ ).

3. X je oddělitelný a připojeno.

4. X je spočítatelné druhé. To znamená, že existuje spočetná sada S otevřených množin, takže každá otevřená množina v X je sjednocení množin třídy S.

Důkaz pro čtvrtý výsledek měl mezeru, kterou Debreu později opravil.^[2]

Příklady

A. Let ${ displaystyle X = mathbb {R} ^ {2}}$ s standardní topologie (euklidovská topologie). Definujte následující preferenční vztah: ${ displaystyle (x, y) preceq (x ', y')}$ iff ${ displaystyle x + y leq x '+ y'}$ . Je to nepřetržité, protože pro každého ${ displaystyle (x, y)}$ , sady ${ displaystyle {(x ', y') | x '+ y' leq x + y }}$ a ${ displaystyle {(x ', y') | x '+ y' geq x + y }}$ jsou uzavřené poloroviny. Podmínka 1 je porušena, protože množina tříd rovnocennosti je nespočetná. Podmínka 2 je však splněna se Z jako množinou párů s racionálními souřadnicemi. Podmínka 3 je také splněna, protože X je oddělitelné a připojené. Proto existuje spojitá funkce, která představuje ${ displaystyle preceq}$ . Příkladem takové funkce je ${ displaystyle u (x, y) = x + y}$ .

B. Let ${ displaystyle X = mathbb {R} ^ {2}}$ se standardní topologií, jak je uvedeno výše. The lexikografické preference vztah není v této topologii spojitý. Například, ${ displaystyle (5,1) succ (5,0)}$ , ale v každé kouli kolem (5,1) jsou body s ${ displaystyle x <5}$ a tyto body jsou horší než ${ displaystyle (5,0)}$ . Tento vztah nelze skutečně představovat spojitou funkcí se skutečnou hodnotou.

Rozšíření

diamant^[3] aplikoval na prostor Debreuovu větu ${ displaystyle X = ell ^ { infty}}$ , množina všech ohraničených sekvencí se skutečnou hodnotou s topologií indukovanou metrikou supremum (viz L-nekonečno ). X představuje množinu všech užitkových proudů s nekonečným horizontem.

Kromě požadavku, že ${ displaystyle preceq}$ být úplné, přechodné a spojité, dodal a citlivost požadavek:

Pokud stream ${ displaystyle x}$ je menší než stream ${ displaystyle y}$ tedy v každém časovém období ${ displaystyle x prec y}$ .
Pokud stream ${ displaystyle x}$ je menší než nebo rovno proudu ${ displaystyle y}$ tedy v každém časovém období ${ displaystyle x preceq y}$ .

Podle těchto požadavků každý stream ${ displaystyle x}$ je ekvivalentní proudu konstantní obsluhy a každé dva proudy konstantní obsluhy lze oddělit proudem konstantní obsluhy pomocí racionálního obslužného programu, takže je splněna podmínka č. 2 Debreu a relace preferencí může být reprezentována skutečnou hodnotou funkce.

Výsledek existence je platný, i když se topologie X změní na topologii vyvolanou diskontovanou metrikou: ${ displaystyle d (x, y) = součet _ {t = 1} ^ { infty} {2 ^ {- t} | x_ {t} -y_ {t} |}}$

Aditivita ordinální užitné funkce

Věta 3 z roku 1960^[4] zhruba říká, že pokud komoditní prostor obsahuje 3 nebo více složek a každá podmnožina složek je přednostně nezávislá na ostatních složkách, pak může být preferenční vztah reprezentován přísada funkce hodnoty.

Tvrzení

Jedná se o obecné předpoklady:

X, prostor všech svazků, je kartézský součin n komoditní prostory: ${ displaystyle X = times _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i}}}$ (tj. prostor svazků je sada nn-tice komodit).
${ displaystyle preceq}$ je vztah na X, který je celkový (všechny položky jsou srovnatelné) a tranzitivní.
${ displaystyle preceq}$ je spojitý (viz výše).
Existuje pořadová užitečnost funkce, ${ displaystyle v}$ , zastupující ${ displaystyle preceq}$ .

Funkce ${ displaystyle v}$ je nazýván přísada pokud to lze zapsat jako součet n pořadové užitné funkce na n faktory:

{ displaystyle v (x_ {1}, ..., x_ {n}) = součet _ {i = 1} ^ {n} {k_ {i} v_ {i} (x_ {i})}}

Kde ${ displaystyle k_ {i}}$ jsou konstanty.

Vzhledem k souboru indexů ${ displaystyle I}$ , soubor komodit ${ displaystyle (X_ {i}) _ {i v I}}$ je nazýván přednostně nezávislý pokud je preferenční vztah ${ displaystyle preceq}$ indukované dne ${ displaystyle (X_ {i}) _ {i v I}}$ , vzhledem ke stálému množství ostatních komodit ${ displaystyle (X_ {i}) _ {i notin I}}$ , nezávisí na těchto konstantních veličinách.

Li ${ displaystyle v}$ je aditivní, pak jsou zjevně všechny podskupiny komodit přednostně nezávislé.

Pokud jsou všechny podmnožiny komodit přednostně nezávislé A Alespoň tři komodity jsou zásadní (což znamená, že jejich množství má vliv na preferenční vztah) ${ displaystyle preceq}$ ), pak ${ displaystyle v}$ je aditivní.

V tom případě navíc ${ displaystyle v}$ je jedinečný až do zvýšení lineární proměna.

Intuitivní konstruktivní důkaz viz Ordinal utility - Additive with three or more goods.

Věty o kardinálním nástroji

Věta 1 z roku 1960^[4] se zabývá preferencemi v loteriích. Lze to považovat za vylepšení von Neumann – Morgensternova věta o užitku z roku 1947. Předchozí věta předpokládá, že agenti mají preference v loteriích s libovolnými pravděpodobnostmi. Debreuova věta tento předpoklad oslabuje a předpokládá pouze to, že agenti mají preference u loterií se stejnou šancí (tj. Mohou odpovědět pouze na otázky ve tvaru: „Dáváte přednost A před loterií se stejnou šancí mezi B a C?“).

Formálně existuje sada ${ displaystyle S}$ jistých možností. Sada loterií je ${ displaystyle S krát S}$ . Debreuova věta uvádí, že pokud:

Sada všech jistých možností ${ displaystyle S}$ je připojeno a oddělitelný prostor;
Preference vztah na množině loterií ${ displaystyle S krát S}$ je spojitý - množiny ${ displaystyle {(A, B) v S krát S | (A, B) preceq (A ', B') }}$ a ${ displaystyle {(A, B) v S krát S | (A, B) succeq (A ', B') }}$ jsou topologicky uzavřeno pro všechny ${ displaystyle (A, B) v S}$ ;
${ displaystyle (A_ {1}, B_ {2}) preceq (A_ {2}, B_ {1})}$ a ${ displaystyle (A_ {2}, B_ {3}) preceq (A_ {3}, B_ {2})}$ naznačuje ${ displaystyle (A_ {1}, B_ {3}) preceq (A_ {3}, B_ {1})}$

Pak existuje a hlavní nástroj funkce u který představuje preferenční vztah na sadě loterií, tj .:

{ displaystyle u (A, B) = (u (A, A) + u (B, B)) / 2}

Věta 2 z roku 1960^[4] se zabývá agenty, jejichž preference jsou reprezentovány frekvencí výběru. Kdy si mohou vybrat mezi A a B, oni si vyberou A s frekvencí ${ displaystyle p (A, B)}$ a B s frekvencí ${ displaystyle p (B, A) = 1-p (A, B)}$ . Hodnota ${ displaystyle p (A, B)}$ lze interpretovat jako měření jak moc agent dává přednost A přes B.

Debreuova věta říká, že pokud je funkce agenta p splňuje následující podmínky:

Úplnost: ${ displaystyle p (A, B) + p (B, A) = 1}$
Čtyřlůžkový stav: ${ Displaystyle p (A, B) leq p (C, D) iff p (A, C) leq p (B, D)}$
Kontinuita: pokud ${ Displaystyle p (A, B) leq q leq p (A, D)}$ , pak existuje C takové, že: ${ displaystyle p (A, C) = q}$ .

Pak existuje kardinální obslužná funkce u to představuje p, tj:

{ Displaystyle p (A, B) leq p (C, D) iff u (A) -u (B) leq u (C) -u (D)}

.

Viz také

Von Neumann – Morgensternova věta o užitku

Reference

^ Debreu, Gerard (1954). Reprezentace pořadí preferencí numerickou funkcí (PDF).^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
^ Debreu, Gerard (1964). Msgstr "Vlastnosti spojitosti paretianského nástroje". Mezinárodní ekonomický přehled. 5 (3): 285–293. doi:10.2307/2525513.
^ Diamond, Peter A. (1965). "Hodnocení nekonečných užitkových proudů". Econometrica. 33: 170. doi:10.2307/1911893. JSTOR 1911893.
^ ^A ^b ^C Debreu, Gerard. Topologické metody v teorii Cardinal Utility (PDF).^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

[Debreu54-1] Debreu, Gerard (1954). Reprezentace pořadí preferencí numerickou funkcí (PDF).^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

[Debreu64-2] Debreu, Gerard (1964). Msgstr "Vlastnosti spojitosti paretianského nástroje". Mezinárodní ekonomický přehled. 5 (3): 285–293. doi:10.2307/2525513.

[3] Diamond, Peter A. (1965). "Hodnocení nekonečných užitkových proudů". Econometrica. 33: 170. doi:10.2307/1911893. JSTOR 1911893.

[Debreu60-4] A ^b ^C Debreu, Gerard. Topologické metody v teorii Cardinal Utility (PDF).^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

[1]

[2]

[3]

[4]