Objednané exponenciální pole - Ordered exponential field - Wikipedia

v matematika, an seřazené exponenciální pole je objednané pole spolu s funkcí, která zobecňuje myšlenku exponenciálních funkcí na uspořádané pole reálných čísel.

Definice

Exponenciální ${ textový styl E}$ na objednané pole ${ textstyle K}$ se přísně zvyšuje izomorfismus skupiny doplňkových látek ${ textstyle K}$ na multiplikativní skupinu pozitivních prvků ${ textstyle K}$. Objednané pole ${ displaystyle K ,}$ společně s doplňkovou funkcí ${ displaystyle E ,}$ se nazývá uspořádané exponenciální pole.

Příklady

• Kanonickým příkladem uspořádaného exponenciálního pole je uspořádané pole reálných čísel R s jakoukoli funkcí formuláře ${ textstyle a ^ {x}}$ kde ${ textstyle a}$ je reálné číslo větší než 1. Jedna taková funkce je obvyklá exponenciální funkce, to je E(X) = E^X. Objednané pole R vybavený touto funkcí dává objednané skutečné exponenciální pole, označené R_exp. V 90. letech se prokázalo, že R_exp je model dokončen, výsledek známý jako Wilkieho věta. Tento výsledek je kombinován s Khovanskiho teorémem funkce pfaffian, to dokazuje R_exp je také o-minimální.^[1] Alfred Tarski položil otázku rozhodovatelnosti R_exp a proto je nyní známý jako Tarskiho problém exponenciální funkce. Je známo, že pokud skutečná verze Schanuelův dohad je tedy pravda R_exp je rozhodnutelné.^[2]
• Objednané pole neskutečná čísla ${ textstyle mathbf {Ne}}$ připouští exponenciál, který rozšiřuje exponenciální funkci exp R. Od té doby ${ textstyle mathbf {Ne}}$ nemá Archimédův majetek, toto je příklad exponenciálního pole uspořádaného mimo Archimédea.
• Objednané pole logaritmicko-exponenciální transseries ${ textstyle mathbb {T} ^ {LE}}$ je konstruován konkrétně takovým způsobem, že připouští kanonický exponenciál.

Formálně exponenciální pole

Formálně exponenciální pole, nazývané také exponenciálně uzavřené pole, je uspořádané pole, které lze vybavit exponenciálním ${ textový styl E}$. Pro jakékoli formálně exponenciální pole ${ textstyle K}$, lze zvolit exponenciální ${ textový styl E}$ na ${ textstyle K}$ takhle ${ textový styl 1 + 1 / n$ pro nějaké přirozené číslo ${ textstyle n}$.^[3]

Vlastnosti

• Každé objednané exponenciální pole ${ textstyle K}$ je root-closed, tj. každý pozitivní prvek ${ displaystyle K ,}$ má ${ textstyle n}$-tý kořen pro všechna kladná čísla ${ textstyle n}$ (nebo jinými slovy multiplikativní skupina pozitivních prvků ${ displaystyle K ,}$ je dělitelný ). Je tomu tak proto ${ textstyle E left ({ frac {1} {n}} E ^ {- 1} (a) right) ^ {n} = E (E ^ {- 1} (a)) = a}$ pro všechny ${ textstyle a> 0}$.
• V důsledku toho je každé uspořádané exponenciální pole a Euklidovské pole.
• V důsledku toho je každé uspořádané exponenciální pole uspořádané Pythagorovo pole.
• Ne každý skutečně uzavřené pole je formálně exponenciální pole, např. pole skutečné algebraická čísla nepřipouští exponenciál. Je tomu tak proto, že exponenciální ${ textový styl E}$ musí mít formu ${ displaystyle E (x) = a ^ {x} ,}$ pro některé ${ textový styl 1$ v každém formálně exponenciálním podpole ${ textstyle K}$ skutečných čísel; nicméně, ${ displaystyle E ({ sqrt {2}}) = a ^ { sqrt {2}}}$ není algebraické, pokud ${ textový styl 1$ je algebraický Gelfond – Schneiderova věta.
• V důsledku toho třída formálně exponenciálních polí není základní třída protože pole reálných čísel a pole reálných algebraických čísel jsou elementárně ekvivalentní struktur.
• Třída formálně exponenciálních polí je a pseudoelementární třída. To je tak od pole ${ displaystyle K ,}$ je exponenciálně uzavřeno právě tehdy, když existuje surjektivní funkce ${ textstyle E_ {2} dvojtečka K pravá šipka K ^ {+}}$ takhle ${ textstyle E_ {2} (x + y) = E_ {2} (x) E_ {2} (y)}$ a ${ textstyle E_ {2} (1) = 2}$; a tyto vlastnosti ${ textstyle E_ {2}}$ jsou axiomatizovatelné.

Viz také

• Exponenciální pole

Poznámky

Reference

• Alling, Norman L. (1962). „Na exponenciálně uzavřených polích“. Proceedings of the American Mathematical Society. 13 (5): 706–711. doi:10.2307/2034159. JSTOR  2034159. Zbl  0136.32201.
• Kuhlmann, Salma (2000), Objednaná exponenciální poleMonografie Fields Institute, 12Americká matematická společnost, doi:10.1090 / fim / 012, ISBN  0-8218-0943-1, PAN  1760173