Otevřená kniha rozklad - Open book decomposition

v matematika, an otevřená kniha rozklad (nebo jednoduše otevřená kniha) je rozklad a Zavřeno orientované 3-potrubí M do unie povrchy (nutně s hranicí) a solidní tori. Otevřené knihy mají význam pro kontaktní geometrie, se slavnou větou o Emmanuel Giroux (uvedeno níže), což ukazuje, že kontaktní geometrii lze studovat ze zcela topologického hlediska.

Definice a konstrukce

Definice. An otevřená kniha rozklad trojrozměrného potrubí M je pár (B, π) kde

  • B je orientovaný odkaz v M, nazvaný vazba otevřené knihy;
  • π: M  B → S1 je fibrace z doplněk z B takové, že pro každé θ ∈S1, π−1(θ) je vnitřek kompaktní plochy Σ ⊂M jehož hranice je B. Povrch Σ se nazývá strana otevřené knihy.

Toto je zvláštní případ m = 3 z otevřené knihy rozkladu m-rozměrné potrubí, pro všechny m.

Když Σ je orientovaný kompaktní povrch s n hraniční složky a φ: Σ → Σ je a homeomorfismus což je identita blízko hranice, můžeme vytvořit otevřenou knihu tak, že nejprve vytvoříme mapování torusu Σφ. Protože φ je identita na ∂Σ, ∂Σφ je triviální kruhový svazek nad svazkem kruhů, to znamená svazkem tori; jeden torus pro každou hraniční složku. K dokončení stavby solidní tori jsou slepeny, aby vyplnily hraniční tori tak, aby každý kruh S1 × {p} ⊂ S1×∂D2 je identifikován s hranicí stránky. V tomto případě je vazbou kolekce n jádra S1× {q} z n pevné tori vlepené do mapovacího torusu, pro libovolně zvolené q ∈ D2. Je známo, že jakoukoli otevřenou knihu lze postavit tímto způsobem. Jelikož jedinou informací použitou při konstrukci je povrch a homeomorfismus, alternativní definicí otevřené knihy je jednoduše dvojice (Σ, φ) s pochopenou konstrukcí. Stručně řečeno, otevřená kniha je mapovací torus s pevnými tori přilepenými tak, že kruh jádra každého torusu probíhá paralelně s hranicí vlákna.

Každý torus v ∂Σφ je vláknitý kruhy rovnoběžnými s vazbou, každý kruh je hraniční složkou stránky. Jeden předpokládá a rolodex - hledající struktura pro sousedství vazby (tj. pevný torus nalepený na ∂Σφ) —Strany rolodexu se připojují ke stránkám otevřené knihy a středem rolodexu je vazba. Tedy termín otevřená kniha.

Jedná se o teorém Elmara Winkelnkempera z roku 1972 m > 6, jednoduše připojeno m-dimenzionální potrubí má rozklad otevřené knihy právě tehdy, má-li podpis 0. V roce 1977 Terry Lawson dokázal, že m > 6, každý m-dimenzionální potrubí má otevřenou knihu rozkladu. Dokonce i m > 6, an m-dimenzionální potrubí má rozklad otevřené knihy právě tehdy, pokud je asymetrický Wittova skupina obstrukce je 0, podle věty z roku 1979 Frank Quinn.

Girouxova korespondence

V roce 2002 Emmanuel Giroux zveřejnil následující výsledek:

Teorém. Nechat M být kompaktní 3-rozdělovač. Pak je tu bijekce mezi množinou orientovaných kontaktní struktury na M až do izotopy a soubor otevřených knižních rozkladů M až do pozitivní stabilizace.

Pozitivní stabilizace spočívá v úpravě stránky přidáním a 2-rozměrná 1 rukojeť a modifikace monodromy přidáním pozitivu Dehn twist podél křivky, která přes tuto rukojeť běží přesně jednou. Implicitní v této větě je, že nová otevřená kniha definuje stejný kontaktní 3-variet. Výsledek Giroux vedl k určitým průlomům v tom, co se běžněji nazývá kontaktní topologie, jako je klasifikace kontaktních struktur na určitých třídách 3-variet. Zhruba řečeno, struktura kontaktu odpovídá otevřené knize, pokud je od vazby distribuce kontaktů izotopová k tečným prostorům stránek prostřednictvím sdružení. Jeden si představuje vyhlazení kontaktních rovin (zachování kontaktních podmínek téměř všude) tak, aby ležely tečně ke stránkám.

Reference

  • Etnyre, John B. Přednášky o otevřených knihách o rozkladech a kontaktních strukturách, ArXiv
  • Ranicki, Andrew, Teorie vysokodimenzionálního uzluSpringer (1998)
  • Ranicki, Andrew, Mapování torusu automorfismu rozdělovače, Springer Online encyklopedie matematiky