Nepřenosné kostky - Nontransitive dice
Sada kostky je nepřechodné pokud obsahuje tři kostky, A, B, a Cs majetkem, který A role vyšší než B více než polovinu času a B role vyšší než C více než polovinu času, ale není to pravda A role vyšší než C více než polovina času. Jinými slovy, sada kostek je nepřenosná, pokud binární relace – X hodí vyšší číslo než Y více než polovina času - na jeho prvcích není tranzitivní.
Je možné najít sady kostek s ještě silnější vlastností, že pro každou kostku v sadě existuje další kostka, která hodí více než polovinu času. Pomocí takové sady kostek lze vymyslet hry, které jsou zaujaté způsoby, které by lidé, kteří nejsou zvyklí na nepřechodné kostky, nečekali (viz Příklad ).
Příklad
Zvažte následující sadu kostek.
- Zemřít A má strany 2, 2, 4, 4, 9, 9.
- Zemřít B má strany 1, 1, 6, 6, 8, 8.
- Zemřít C má strany 3, 3, 5, 5, 7, 7.
The pravděpodobnost že A hodí vyšší číslo než B, pravděpodobnost, že B role vyšší než Ca pravděpodobnost, že C role vyšší než A všichni jsou 5/9, takže tato sada kostek je nepřenosná. Ve skutečnosti má ještě silnější vlastnost, že pro každou kostku v sadě existuje další kostka, která hodí více než polovinu času.
Nyní zvažte následující hru, která se hraje se sadou kostek.
- První hráč si vybere kostku ze sady.
- Druhý hráč si ze zbývajících kostek vybere jednu kostku.
- Oba hráči hodili kostkou; vyhrává hráč, který hodí vyšší číslo.
Pokud se tato hra hraje s tranzitivní sadou kostek, je buď spravedlivá, nebo zaujatá ve prospěch prvního hráče, protože první hráč může vždy najít kostku, která nebude poražena žádnou jinou kostkou více než v polovině času. Pokud se hraje s výše popsanou sadou kostek, hra je zaujatá ve prospěch druhého hráče, protože druhý hráč může vždy najít kostku, která s pravděpodobností porazí kostku prvního hráče 5/9. Následující tabulky ukazují všechny možné výsledky pro všechny 3 páry kostek.
Hráč 1 zvolí zemřít A Hráč 2 zvolí zemřít C | Hráč 1 zvolí zemřít B Hráč 2 zvolí zemřít A | Hráč 1 zvolí zemřít C Hráč 2 zvolí zemřít B | |||||||||||
A C | 2 | 4 | 9 | B A | 1 | 6 | 8 | C B | 3 | 5 | 7 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | C | A | A | 2 | A | B | B | 1 | C | C | C | ||
5 | C | C | A | 4 | A | B | B | 6 | B | B | C | ||
7 | C | C | A | 9 | A | A | A | 8 | B | B | B |
Komentář týkající se rovnocennosti nepřechodných kostek
Ačkoli tři netranzitivní kostky A, B, C (první sada kostek)
- A: 2, 2, 6, 6, 7, 7
- B: 1, 1, 5, 5, 9, 9
- C: 3, 3, 4, 4, 8, 8
P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 5/9
a tři nepřechodné kostky A ′, B ′, C ′ (druhá sada kostek)
- A ': 2, 2, 4, 4, 9, 9
- B ': 1, 1, 6, 6, 8, 8
- C ': 3, 3, 5, 5, 7, 7
P (A '> B') = P (B '> C') = P (C '> A') = 5/9
vyhrát proti sobě se stejnou pravděpodobností nejsou rovnocenné. Zatímco první sada kostek (A, B, C) má „nejvyšší“ kostku, druhá sada kostek má „nejnižší“ kostku. Vržením tří kostek sady a použitím vždy nejvyššího skóre pro vyhodnocení se zobrazí odlišný výherní vzor pro dvě sady kostek. S první sadou kostek vyhraje kostka B s nejvyšší pravděpodobností (88/216) a kostky A a C vyhrají každý s pravděpodobností 64/216. S druhou sadou kostek vyhraje die C ′ s nejnižší pravděpodobností (56/216) a kostky A ′ a B ′ vyhrají každý s pravděpodobností 80/216.
Variace
Efronovy kostky
Efronovy kostky jsou sada čtyř netranzitivních kostek, které vynalezl Bradley Efron.
Čtyři kostky A, B, C, D mají na svých šesti tvářích následující čísla:
- A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
- B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
- C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
- D: 5, 5, 5, 1, 1, 1
Pravděpodobnosti
Každá kostka je poražena předchozí kostkou v seznamu, s pravděpodobností 2/3:
Hodnota B je konstantní; Poráží to 2/3 rohlíky, protože čtyři z jeho šesti tváří jsou vyšší.
Podobně B porazí C s a 2/3 pravděpodobnost, protože pouze dvě C tváře jsou vyšší.
P (C> D) lze vypočítat sečtením podmíněné pravděpodobnosti pro dvě události:
- C hody 6 (pravděpodobnost 1/3); vyhrává bez ohledu na D (pravděpodobnost 1)
- C hody 2 (pravděpodobnost 2/3); vyhraje, pouze pokud D hodí 1 (pravděpodobnost 1/2)
Celková pravděpodobnost výhry pro C je tedy
Při podobném výpočtu je pravděpodobnost, že D zvítězí nad A
Nejlepší celkově zemřít
Čtyři kostky mají nerovnou pravděpodobnost, že porazí kostku náhodně vybranou ze zbývajících tří:
Jak bylo prokázáno výše, kostka A porazí B dvě třetiny času, ale porazí D pouze jednu třetinu času. Pravděpodobnost, že kostka A porazí C, je 4/9 (Musí hodit 4 a C musí hodit 2). Pravděpodobnost, že A porazí jakoukoli jinou náhodně vybranou kostku, je tedy:
Podobně die B porazí C dvě třetiny času, ale porazí A pouze třetinu času. Pravděpodobnost, že kostka B porazí D, je 1/2 (pouze když se D hodí 1). Pravděpodobnost, že B porazí jakoukoli jinou náhodně vybranou kostku, je:
Die C porazí D dvě třetiny času, ale porazí B pouze jednu třetinu času. Pravděpodobnost, že kostka C porazí A, je 5/9. Pravděpodobnost, že C porazí jakoukoli jinou náhodně vybranou kostku, je tedy:
Nakonec die D porazí dvě třetiny času, ale porazí C pouze třetinu času. Pravděpodobnost, že kostka D porazí B, je 1/2 (pouze když se D hodí 5). Pravděpodobnost, že D porazí jakoukoli jinou náhodně vybranou kostku, je tedy:
Nejlepším celkovým kostkou je tedy C s pravděpodobností výhry 0,5185. C také hodí nejvyšší průměrné číslo v absolutních číslech, 3+1/3. (Průměr A je 2+2/3, zatímco B a D jsou obě 3.)
Varianty se stejnými průměry
Pamatujte, že Efronovy kostky se liší průměrný role: průměrný hod A je 8/3, zatímco B a D každý průměr 9/3a průměry C. 10/3. Nepřenosná vlastnost závisí na tom, které plochy jsou větší nebo menší, ale ano ne závisí na absolutní velikosti tváří. Proto lze najít varianty Efronových kostek, kde se šance na výhru nemění, ale všechny kostky mají stejný průměrný hod. Například,
- A: 7, 7, 7, 7, 1, 1
- B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
- C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
- D: 8, 8, 8, 2, 2, 2
Tyto kostky variant jsou užitečné, například k seznámení studentů s různými způsoby porovnávání náhodných proměnných (a jak pouze porovnání průměrů může přehlédnout podstatné detaily).
Očíslované 1 až 24 kostek
Sada čtyř kostek se všemi čísly 1 až 24 může být nepřenosná. U sousedních párů je pravděpodobnost výhry jedné kostky 2/3.
Při házení vysokého čísla B porazí A, C porazí B, D porazí C, A porazí D.
- A: 1, 2, 16, 17, 18, 19
- B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
- C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
- D: 10, 11, 12, 13, 14, 15
Vztah k Efronovým kostkám
Tyto kostky jsou v zásadě stejné jako kostky Efron, protože každé číslo ze série po sobě jdoucích čísel na jedné kostce může být nahrazeno nejnižším počtem ze série a poté přečíslováno.
- A: 1, 2,16, 17, 18, 19 → 1, 1,16, 16, 16, 16 → 0, 0, 4, 4, 4, 4
- B: 3, 4, 5,20, 21, 22 → 3, 3, 3,20, 20, 20 → 1, 1, 1, 5, 5, 5
- C: 6, 7, 8, 9,23, 24 → 6, 6, 6, 6,23, 23 → 2, 2, 2, 2, 6, 6
- D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 → 10, 10, 10, 10, 10, 10 → 3, 3, 3, 3, 3, 3
Miwinovy kostky
Miwinovy kostky vynalezl v roce 1975 fyzik Michael Winkelmann.
Vezměme si sadu tří kostek, III, IV a V takovou
- matrice III má strany 1, 2, 5, 6, 7, 9
- matrice IV má strany 1, 3, 4, 5, 8, 9
- matrice V má strany 2, 3, 4, 6, 7, 8
Pak:
- the pravděpodobnost že III hodí vyšší číslo než IV 17/36
- pravděpodobnost, že IV hodí vyšší číslo než V, je 17/36
- pravděpodobnost, že V hodí vyšší číslo než III, je 17/36
Sada tří kostek s minimálními změnami oproti standardním kostkám
Následující netranzitivní kostky mají ve srovnání s 1 až 6 standardními kostkami jen několik rozdílů:
- stejně jako u standardních kostek je celkový počet jader vždy 21
- stejně jako u standardních kostek mají strany pouze čísla pipů mezi 1 a 6
- tváře se stejným počtem jader se vyskytují maximálně dvakrát za kostky
- pouze dvě strany na každé kostce mají čísla odlišná od standardních kostek:
- A: 1, 1, 3, 5, 5, 6
- B: 2, 3, 3, 4, 4, 5
- C: 1, 2, 2, 4, 6, 6
Stejně jako u Miwinovy sady je pravděpodobnost výhry A proti B (nebo B vs. C, C vs. A) 17/36. Pravděpodobnost remízy však je 4/36, takže pouze 15 z 36 rolí prohraje. Celkové očekávání vítězství je tedy vyšší.
Warren Buffett
Warren Buffett je známo, že je fanouškem nepřechodných kostek. V knize Fortune's Formula: Nevyřčený příběh systému vědeckých sázek, který porazil kasina a Wall Street, diskuse mezi ním a Edward Thorp je popsán. Buffett a Thorp diskutovali o svém společném zájmu o netranzitivní kostky. „Jedná se o matematickou kuriozitu, typ„ trikových “kostek, které matou představy většiny lidí o pravděpodobnosti.
Buffett se jednou pokusil vyhrát hru s kostkami Bill Gates pomocí nepřechodných kostek. „Buffett navrhl, aby si každý vybral jednu z kostek, poté odhodil další dvě. Vsadili by se na to, kdo bude házet nejvyšší počet nejčastěji. Buffett nabídl, že nechá Gatese nejdříve vybrat jeho smrt. Tento návrh okamžitě vzbudil Gatesovu zvědavost. požádal, aby prozkoumal kostky, a poté požadoval, aby si Buffett vybral jako první. “[1]
V roce 2010 časopis Wall Street Journal citoval Sharon Osbergovou, Buffettovu partnerku, která uvedla, že když poprvé navštívila jeho kancelář před 20 lety, podvedl ji, aby hrála hru s nepřenosnými kostkami, kterou nelze vyhrát, a „myslela si, že je to veselé“.[2]
Nepřenosné kostky pro více než dva hráče
Řada lidí představila varianty nepřechodných kostek, kde lze soutěžit s více než jedním protivníkem.
Tři hráči
Oskarovy kostky
Oskar van Deventer představil sadu sedmi kostek (všechny tváře s pravděpodobností 1/6) jak následuje:[3]
- A: 2, 2, 14, 14, 17, 17
- B: 7, 7, 10, 10, 16, 16
- C: 5, 5, 13, 13, 15, 15
- D: 3, 3, 9, 9, 21, 21
- E: 1, 1, 12, 12, 20, 20
- Ž: 6, 6, 8, 8, 19, 19
- G: 4, 4, 11, 11, 18, 18
Lze ověřit, že A poráží {B, C, E}; B porazí {C, D, F}; C bije {D, E, G}; D bije {A, E, F}; E bije {B, F, G}; F bije {A, C, G}; G porazí {A, B, D}. V důsledku toho pro libovolně vybrané dvě kostky existuje třetí, která obě porazí. A to,
- G bije {A, B}; F bije {A, C}; G bije {A, D}; D bije {A, E}; D bije {A, F}; F bije {A, G};
- A porazí {B, C}; G bije {B, D}; A bije {B, E}; E bije {B, F}; E bije {B, G};
- B bije {C, D}; A bije {C, E}; B bije {C, F}; F bije {C, G};
- C bije {D, E}; B bije {D, F}; C bije {D, G};
- D bije {E, F}; C bije {E, G};
- E bije {F, G}.
Ať si dva soupeři zvolí cokoli, třetí hráč najde jednu ze zbývajících kostek, která porazí kostky obou soupeřů.
Špinavé kostky
Dr. James Grime objevil sadu pěti kostek následovně:[4]
- A: 2, 2, 2, 7, 7, 7
- B: 1, 1, 6, 6, 6, 6
- C: 0, 5, 5, 5, 5, 5
- D: 4, 4, 4, 4, 4, 9
- E: 3, 3, 3, 3, 8, 8
Lze ověřit, že když se hra hraje s jednou sadou kostek Grime:
- A bije B bije C bije D bije E bije A (první řetězec);
- A bije C bije E bije B bije D bije A (druhý řetězec).
Když se však hra hraje se dvěma takovými sadami, pak první řetězec zůstává stejný (s jednou výjimkou popsanou později), ale druhý řetězec je obrácen (tj. A bije D bije B bije E bije C bije A). V důsledku toho, bez ohledu na to, které kostky si zvolí dva soupeři, může třetí hráč vždy najít jednu ze zbývajících kostek, která je porazí oběma (pokud si pak hráč může vybrat mezi možností jedné kostky a možností dvou kostek):
Vybrané sady
oponentyVítězná sada kostek Typ Číslo A B E 1 A C E 2 A D C 2 A E D 1 B C A 1 B D A 2 B E D 2 C D B 1 C E B 2 D E C 1
S touto sadou však existují dva hlavní problémy. První z nich je, že u možnosti hry se dvěma kostkami by první řetězec měl zůstat přesně stejný, aby byla hra nepřenosná. V praxi však D ve skutečnosti překonává C. Druhým problémem je, že třetímu hráči by muselo být umožněno volit mezi možností s jednou kostkou a možností dvou kostek - což může být považováno za nespravedlivé vůči ostatním hráčům.
Opravené kostky špíny
Výše uvedená otázka D porážející C vyvstává proto, že kostky mají 6 tváří místo 5. Nahrazením nejnižší (nebo nejvyšší) plochy každé kostky „reroll“ (R) bude všech pět kostek fungovat přesně tak, jak to zamýšlel Dr. James Grime :
- A: R, 2, 2, 7, 7, 7
- B: R, 1, 6, 6, 6, 6
- C: R, 5, 5, 5, 5, 5
- D: R, 4, 4, 4, 4, 9
- E: R, 3, 3, 3, 8, 8
Alternativně by tyto tváře mohly být mapovány na sadu pětiúhelník-lichoběžník (10stranné) kostky, přičemž každé číslo se objeví přesně dvakrát, nebo na sadu icosahedral (20stranné) kostky, přičemž každé číslo se objeví čtyřikrát. To eliminuje potřebu „opakovaného“ obličeje.
Toto řešení objevil Jon Chambers, australský učitel předškolní matematiky.[Citace je zapotřebí ]
Čtyři hráči
Sada pro čtyři hráče ještě nebyla objevena, ale bylo prokázáno, že taková sada by vyžadovala nejméně 19 kostek.[4][5]
Nepřenosné 4stranné kostky
Čtyřstěn lze použít jako kostky se čtyřmi možnými výsledky.
- Sada 1
- Odpověď: 1, 4, 7, 7
- B: 2, 6, 6, 6
- C: 3, 5, 5, 8
P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 9/16
Následující tabulky ukazují všechny možné výsledky:
B A | 2 | 6 | 6 | 6 |
---|---|---|---|---|
1 | B | B | B | B |
4 | A | B | B | B |
7 | A | A | A | A |
7 | A | A | A | A |
Ve hře „A proti B“ zvítězí A v 9 ze 16 případů.
C B | 3 | 5 | 5 | 8 |
---|---|---|---|---|
2 | C | C | C | C |
6 | B | B | B | C |
6 | B | B | B | C |
6 | B | B | B | C |
V „B proti C“ zvítězil B v 9 ze 16 případů.
A C | 1 | 4 | 7 | 7 |
---|---|---|---|---|
3 | C | A | A | A |
5 | C | C | A | A |
5 | C | C | A | A |
8 | C | C | C | C |
V „C proti A“ zvítězí C v 9 ze 16 případů.
- Sada 2
- Odpověď: 3, 3, 3, 6
- B: 2, 2, 5, 5
- C: 1, 4, 4, 4
P (A> B) = P (B> C) = 10/16, P (C> A) = 9/16
Nepřenosné 12stranné kostky
Analogicky k netranzitivním šestistranným kostkám existují i dodekahedry, které slouží jako netranzitivní dvanáctistranné kostky. Body na každé z kostek vedou k součtu 114. Na každé z dodekahedry nejsou žádná opakující se čísla.
Miwinova dodekahedra (sada 1) proti sobě cyklicky vyhrává v poměru 35:34.
Miwinova dodekahedra (sada 2) proti sobě cyklicky vyhrává v poměru 71:67.
Sada 1:
D III | s modrými tečkami | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 11 | 14 | 15 | 16 | 18 | ||||||
D IV | s červenými tečkami | 1 | 3 | 4 | 5 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 14 | 17 | 18 | ||||||
D V | s černými tečkami | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 | 11 | 12 | 13 | 15 | 16 | 17 |
Sada 2:
D VI | se žlutými tečkami | 1 | 2 | 3 | 4 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 17 | 18 | ||||||
D VII | s bílými tečkami | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 15 | 16 | 17 | 18 | ||||||
D VIII | se zelenými tečkami | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
Nepřenosné 12stranné kostky se základními čísly
Je také možné sestrojit sady nepřechodných dodekahedrů tak, aby neexistovala žádná opakovaná čísla a všechna čísla jsou prvočísla. Miwinova netranzitivní prvočíselná dodekahedra proti sobě cyklicky vyhrává v poměru 35:34.
Sada 1: Čísla sečtou až 564.
PD 11 | s modrými čísly | 13 | 17 | 29 | 31 | 37 | 43 | 47 | 53 | 67 | 71 | 73 | 83 |
PD 12 | s červenými čísly | 13 | 19 | 23 | 29 | 41 | 43 | 47 | 59 | 61 | 67 | 79 | 83 |
PD 13 | s černými čísly | 17 | 19 | 23 | 31 | 37 | 41 | 53 | 59 | 61 | 71 | 73 | 79 |
Sada 2: Čísla sečtou až 468.
PD 1 | se žlutými čísly | 7 | 11 | 19 | 23 | 29 | 37 | 43 | 47 | 53 | 61 | 67 | 71 |
PD 2 | s bílými čísly | 7 | 13 | 17 | 19 | 31 | 37 | 41 | 43 | 59 | 61 | 67 | 73 |
PD 3 | se zelenými čísly | 11 | 13 | 17 | 23 | 29 | 31 | 41 | 47 | 53 | 59 | 71 | 73 |
Viz také
Reference
- ^ Bill Gates; Janet Lowe (1998-10-14). Bill Gates hovoří: postřehy od největšího podnikatele na světě. New York: Wiley. ISBN 9780471293538. Citováno 2011-11-29.
- ^ „jako-manželství-jen-trvalejší: Osobní finanční zprávy od Yahoo! Finance“. Finance.yahoo.com. 06.12.2010. Citováno 2011-11-29.
- ^ „Matematické hry - turnajové kostky od Eda Pegga mladšího“. Matematická asociace Ameriky. 11.7.2005. Citováno 2012-07-06.
- ^ A b Nepřenosné kostky Archivováno 2016-05-14 na Wayback Machine („Špinavé kostky“)
- ^ Reid, Kenneth; McRae, A.A .; Hedetniemi, S.M .; Hedetniemi, Stephen (01.01.2004). „Nadvláda a nadbytečnost v turnajích“. Australasian Journal of Combinatorics [pouze v elektronické podobě]. 29.
Zdroje
- Gardner, Martin (2001). Kolosální kniha matematiky: Klasické hádanky, paradoxy a problémy: teorie čísel, algebra, geometrie, pravděpodobnost, topologie, teorie her, nekonečno a další témata rekreační matematiky (1. vyd.). New York: W. W. Norton & Company. p.286 –311.[ISBN chybí ]
- Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln (v němčině). Bildungsverlag Lemberger. ISBN 978-3-85221-531-0.
externí odkazy
- Stránka MathWorld
- Iaths Peterson's MathTrek - Tricky Dice Revisited (15. dubna 2002)
- Stránka s Jimem Loym
- Miwin oficiální stránky (v němčině)
- Vyhledávač netransitivních kostek s otevřeným zdrojovým kódem
- Nepřenosné kostky od Jamese Grime
- mgf.winkelmann Miwins nepřechodný Dodekaeder
- Matematická výbava
- Conrey, B., Gabbard, J., Grant, K., Liu, A., & Morrison, K. (2016). Nepřekonatelné kostky. Matematický časopis, 89 (2), 133-143. Oceněno Mathematical Association of America
- Timothy Gowers ' projekt na nepřechodných kostkách