Neradiační dielektrický vlnovod - Non-radiative dielectric waveguide

Obrázek 1

The neradiační dielektrický (NRD) vlnovod byl představen Yoneyamou v roce 1981.^[1] Na obr. 1 je znázorněn řez vodítkem NRD: skládá se z a dielektrikum obdélníková deska o výšce a a šířce b, která je umístěna mezi dvěma kovovými rovnoběžnými deskami vhodné šířky. Struktura je prakticky stejná jako vlnovod H, který navrhl Tischer v roce 1953.^[2][3] Vzhledem k dielektrické desce je elektromagnetické pole je omezen v blízkosti dielektrické oblasti, zatímco ve vnější oblasti se elektromagnetické pole pro vhodné frekvence exponenciálně rozpadá. Pokud jsou tedy kovové desky dostatečně vysunuty, je pole na konci desek prakticky zanedbatelné, a proto se situace příliš neliší od ideálního případu, kdy jsou desky nekonečně vysunuty. The polarizace z elektrické pole v požadovaném režimu je hlavně rovnoběžná s vodivými stěnami. Jak je známo, je-li elektrické pole rovnoběžné se stěnami, ztráty vodivosti v kovových stěnách se snižují s rostoucí frekvencí, zatímco pokud je pole kolmé ke stěnám, ztráty se zvyšují s rostoucí frekvencí. Vzhledem k tomu, že pro jeho implementaci byl navržen vlnovod NRD v milimetrové vlny, zvolená polarizace minimalizuje ohmické ztráty v kovových stěnách.

Podstatný rozdíl mezi H vlnovodem a vedením NRD je v tom, že v druhém případě je vzdálenost mezi kovovými deskami menší než polovina vlnová délka v vakuum, zatímco ve vlnovodu H je vzdálenost větší. Ve skutečnosti se ztráty vodivosti v kovových deskách s rostoucím odstupem snižují. Proto je tato vzdálenost větší ve vlnovodu H, který se používá jako a přenosové médium na dlouhé vzdálenosti; místo toho se pro milimetrové vlny používá vlnovod NRD integrovaný obvod aplikace, ve kterých jsou typické velmi krátké vzdálenosti. Zvýšení ztrát tedy nemá velký význam.

Volba malé vzdálenosti mezi kovovými deskami má jako zásadní důsledek to, že požadovaný režim má za následek mezní hodnotu ve vnějších vzdušných oblastech. Tímto způsobem je jakákoli diskontinuita, jako ohyb nebo křižovatka, čistě reaktivní. To dovoluje záření a rušení být minimalizován (odtud název neradiačního průvodce); tato skutečnost má zásadní význam v aplikacích integrovaných obvodů. Místo toho v případě H vlnovodu způsobují výše uvedené diskontinuity záření a interferenční jevy, protože požadovaný režim, který je nad mezní hodnotou, se může šířit směrem ven. V každém případě je důležité si všimnout, že pokud tyto diskontinuity upraví symetrii struktury s odkazem na medián vodorovná rovina, existuje záření v podobě Režim TEM v paralelním kovovém vedení desek a v tomto režimu nad mezní hodnotou nemusí být vzdálenost mezi deskami malá. Tento aspekt je třeba vždy zohlednit při konstrukci různých komponentů a uzlů a současně je třeba věnovat velkou pozornost dodržování dielektrické desky k kovovým stěnám, protože je možné, že vznikají výše zmíněné jevy ztrát.^[4] K tomu obvykle dochází asymetrie v průřez transformuje uzavřený režim do „děravého“ režimu.

Disperzní vztah ve vlnovodu NRD

Obrázek 2

Jako v každé vodicí struktuře, i ve vlnovodu NRD je zásadně důležité znát disperzní vztah, to je rovnice poskytující podélný konstanta šíření ${ displaystyle k_ {z} = beta -j alpha}$ jako funkce frekvence a geometrických parametrů pro různé režimy struktury. V tomto případě však tento vztah nelze výslovně vyjádřit, protože je ověřen v nejzákladnějším případě obdélníkový vlnovod, ale je to implicitně dáno a transcendentální rovnice.

Metoda příčné rezonance

Obrázek 3

Pro získání disperzního vztahu je možné postupovat dvěma různými způsoby. První, který je z analytického hlediska jednodušší, spočívá v použití metody příčné rezonance^[4] získat příčnou ekvivalentní síť. Podle této metody použijeme rezonanční podmínku podél a příčný směr. Tato podmínka přináší transcendentální rovnici, která, numericky vyřešená, dává možné hodnoty pro příčná vlnová čísla. Využívání dobře známého vztahu oddělitelnost který spojuje vlnová čísla v různých směrech a frekvenci je možné získat hodnoty konstanty podélného šíření k_z pro různé režimy.

Předpokládá se, že radiační ztráty, protože kovové desky mají konečnou šířku, jsou zanedbatelné. Ve skutečnosti je za předpokladu, že evanescence pole ve vnějších vzdušných oblastech, na Zemi zanedbatelná clona, můžeme předpokládat, že situace se podstatně shoduje s ideálním případem kovových desek majících nekonečnou šířku. Můžeme tedy předpokládat příčnou ekvivalentní síť zobrazenou na obr. 2. V ní k_xε a k_x0 jsou vlnová čísla v příčném směru x, v dielektriku a ve vzduchu; Y_ε a Y₀ jsou související charakteristické přijetí ekvivalentu přenosové vedení. Přítomnost kovových desek, považovaných za dokonale vodivé, ukládá možné hodnoty vlnového čísla ve svislém směru y: ${ displaystyle k_ {y} = { frac {m pi} {a}}}$, s m = 0, 1, 2, ... Tyto hodnoty jsou ve vzduchu stejné jako v dielektrických oblastech. Jak bylo uvedeno výše, vlnová čísla musí splňovat vztahy oddělitelnosti. Ve vzdušné oblasti, asimilované na vakuum, máme:

${ displaystyle k_ {o} ^ {2} = left ({ frac {2 pi} { lambda _ {o}}} right) ^ {2} = k_ {xo} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = - vlevo | k_ {xo} vpravo | ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + beta ^ {2} (1)}$

být k_Ó a λ_Ó vlnové číslo a vlnová délka ve vakuu. Předpokládali jsme k_z = β, protože struktura je nevyzařující a bezztrátová a navíc k_xo= - j | k_xo | , protože pole musí být evanescentní ve vzdušných oblastech. V dielektrické oblasti místo toho máme:

${ displaystyle k ^ {2} = k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} = left ({ frac {2 pi} { lambda}} right) ^ {2} = k_ { x varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k_ {x varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + beta ^ {2} (2)}$

kde k a λ jsou vlnové číslo, respektive vlnová délka v dielektrické oblasti a ${ displaystyle varepsilon _ {r}}$ je relativní dielektrická konstanta.

Nepravděpodobné k_xo, k_xε je skutečné, odpovídá konfiguraci stojaté vlny uvnitř dielektrické oblasti. Vlkodlaci k_y a k_z jsou stejné ve všech regionech. Tato skutečnost je způsobena podmínkami spojitosti tangenciálních složek elektrických a magnetické pole, na rozhraní. V důsledku toho máme kontinuitu napětí a proudu v ekvivalentním přenosovém vedení. Metoda transverzální rezonance tedy automaticky zohledňuje okrajové podmínky na kovových stěnách a podmínky kontinuity na vzduch-dielektrickém rozhraní.

Analýza možných příčných režimů ve vzdušných oblastech (bytí ${ displaystyle a <{ frac { lambda _ {o}} {2}}}$) pouze režim s m = 0 se může šířit podél x; tento režim je režim TEM pohybující se šikmo v rovině xz s nenulový polní komponenty E_y, H_X, H_z. Tento režim vždy vede nad mezní hodnotou, bez ohledu na to, zda je malý A je, ale není vzrušeno, pokud je zachována symetrie struktury s odkazem na střední rovinu y = a / 2. Ve skutečnosti v symetrických strukturách nejsou excitovány režimy s odlišnou polarizací než u vzrušujícího pole. V dielektrické oblasti místo toho máme ${ displaystyle lambda = { frac { lambda _ {o}} { sqrt { varepsilon _ {r}}}}}$ . Režim s indexem m je nad mezní hodnotou, pokud a / λ> m / 2. Například pokud ε_r = 2.56, (polystyren ), f = 50 GHz a a = 2,7 mm, máme a / λo = 0,45 a a / λ = 0,72. Proto jsou v dielektrické oblasti režimy s m = 1 nad hranicí, zatímco režimy s m = 2 jsou pod hranicí (1/2 <0,72 <1).

Ve vodítku NRD, stejně jako ve vodítku H, kvůli přítomnosti dielektrického pásu nemohou být okrajové podmínky splněny režimy TEM, TM nebo (m ≠ 0) TE s odkazem na podélný směr z. Režimy struktury budou tedy hybridní, tj. S oběma složkami podélného pole odlišnými od nuly. Naštěstí je požadovaným režimem režim TM s odkazem na horizontální směr x, podél kterého byla přijata ekvivalentní přenosová linka. Proto podle známých výrazů charakteristických tolerancí režimů TM máme:

${ displaystyle Y_ {o} = { frac { omega varepsilon _ {o}} {k_ {xo}}} Y _ { varepsilon} = { frac { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}} {k_ {x varepsilon}}} (3)}$

kde

${ displaystyle k_ {xo} = - j vlevo | k_ {xo} vpravo |}$

Příčná ekvivalentní síť na obr. 2 je dále zjednodušena pomocí geometrické symetrie struktury s odkazem na střední rovinu x = 0 a s ohledem na polarizaci elektrického pole pro požadovaný režim, což je ortogonální do střední roviny. V tomto případě je možné rozdělit konstrukci svislou kovovou rovinou beze změny okrajových podmínek a tím i vnitřní konfigurace elektromagnetického pole. To odpovídá a zkrat půlení v ekvivalentní přenosové lince, jak ukazuje zjednodušená síť na obr.

Pak je možné použít podmínku příčné rezonance ve vodorovném směru x vyjádřenou vztahem:

${ displaystyle { overleftarrow {Y}} + { overrightarrow {Y}} = 0 }$

kde

${ displaystyle {{overleftarrow {Y}} a { overrightarrow {Y}} }$

jsou vstupy, které se dívají směrem doleva a doprava, s odkazem na libovolnou část T.

Výběr referenční sekce, jak je znázorněno na obr. 3, máme ${ displaystyle { overrightarrow {Y}} = Y_ {o}}$, protože čára je nekonečná směrem doprava. Při pohledu směrem doleva máme:

${ displaystyle { overleftarrow {Y}} = - jY _ { varepsilon} dětská postýlka (k_ {x varepsilon} w)}$

Poté zavedení výrazu charakteristických vstupů do podmínky rezonance:

${ displaystyle -jY _ { varepsilon} dětská postýlka (k_ {x varepsilon} w) + Y_ {o} = 0}$

je odvozena disperzní rovnice:

${ displaystyle -j varepsilon _ {r} k_ {xo} dětská postýlka (k_ {x varepsilon} w) + k_ {x varepsilon} = 0 (4)}$

Navíc z (1) a (2) máme:

${ displaystyle k_ {xo} = { sqrt {{k_ {o} ^ {2}} - ({ frac {m pi} {a}}) ^ {2} - beta ^ {2}}} = k_ {o} { sqrt {1 - ({ frac {m pi} {ak_ {o}}}) ^ {2} - { frac { beta ^ {2}} {k_ {o}} }}}}$

${ displaystyle k_ {xo} = { sqrt {{k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r}} - ({ frac {m pi} {a}}) ^ {2} - beta ^ {2}}} = k_ {o} { sqrt { varepsilon _ {r} - ({ frac {m pi} {ak_ {o}}}) ^ {2} - { frac { beta ^ {2}} {k_ {o}}}}}}$

Můžeme tedy předpokládat normalizovanou neznámou ${ displaystyle { frac { beta} {k_ {o}}} = { sqrt { varepsilon _ {eff}}}}$, kde ${ displaystyle varepsilon _ {eff}}$ je takzvaná efektivní relativní dielektrická konstanta vodiče.

Mezní frekvence f_C se získá řešením disperzní rovnice pro β = 0.

Je důležité si všimnout, že vzhledem k přítomnosti dvou dielektrik řešení závisí na frekvenci, to znamená, že hodnotu β pro libovolnou frekvenci nelze jednoduše získat z mezní frekvence, jako by to bylo pouze pro jeden dielektrikum, pro který: ${ displaystyle beta = { sqrt {k ^ {2} -k_ {t} ^ {2}}} = { sqrt { omega ^ {2} mu varepsilon - omega _ {c} ^ { 2} mu varepsilon}}}$ . V našem případě je místo toho nutné pro každou hodnotu frekvence vyřešit disperzní rovnici. Duálním způsobem lze uvažovat režimy TE s odkazem na x. Výrazy pro charakteristické přijetí jsou v tomto případě (μ = μ_Ó):

${ displaystyle Y_ {o} = { frac {k_ {xo}} { mu _ {o} omega}} , Y _ { varepsilon} = { frac {k_ {x varepsilon}} { mu _ {o} omega}} (5)}$

Kromě toho je v tomto případě magnetické pole kolmé ke střední rovině x = 0. Proto je možné rozdělit strukturu dokonalou magnetickou stěnou, která odpovídá půlení s otevřeným obvodem, přičemž se získá obvod znázorněný na obr. 4. Potom, s odkazem na rovinu T, bude: ${ displaystyle { overrightarrow {Y}} = Y_ {o} , { overleftarrow {Y}} = jY _ { varepsilon} opálení (k_ {x varepsilon} w)}$, ze kterého disperzní rovnice získá se:

${ displaystyle jk_ {x varepsilon} opálení (k_ {x varepsilon} w) + k_ {xo} = 0 (6)}$

Je zřejmé, že zde získané výsledky pro disperzní chování lze získat z úplné příčné ekvivalentní sítě bez půlení, zobrazené na obr. 2. V tomto případě s odkazem na rovinu T máme:

${ displaystyle { overrightarrow {Y}} = Y_ {o} { overleftarrow {Y}} = Y _ { varepsilon} { frac {Y_ {o} + jY _ { varepsilon} tan (k_ {x varepsilon} b)} {Y _ { varepsilon} + jY_ {o} tan (k_ {x varepsilon} b)}}}$

a pak

${ displaystyle Y_ {o} + Y _ { varepsilon} { frac {Y_ {o} + jY _ { varepsilon} opálení (k_ {x varepsilon} b)} {Y _ { varepsilon} + jY_ {o} opálení (k_ {x varepsilon} b)}} = 0 (7)}$

Musíme určit, zda jsou uvažovány režimy TM nebo TE s odkazem na směr x, takže Eqs. Pro příslušné charakteristické vstupy lze použít (3) nebo (5).

Pak, jak bylo dříve ukázáno, metoda příčné rezonance nám umožňuje snadno získat disperzní rovnici pro vlnovod NRD.

Konfigurace elektromagnetického pole ve třech oblastech však nebyla podrobně zvažována. Další informace lze získat pomocí metody modální expanze.

Stanovení hybridních režimů

Obrázek 4

S odkazem na průřez vodítka zobrazeného na obr. 1 lze pole TM a TE uvažovat s ohledem na podélný směr z, podél kterého je vodítko rovnoměrné. Jak již bylo řečeno, v režimech NRD vlnovod TM nebo (m ≠ 0) TE s odkazem na směr z nemohou existovat, protože nemohou uspokojit podmínky uložené přítomností dielektrické desky. Přesto je známo, že a režim šíření uvnitř vodicí struktury lze vyjádřit jako a superpozice pole TM a TE pole s odkazem na z.

Pole TM lze navíc odvodit z čistě podélného pole Lorentz vektorový potenciál ${ displaystyle { podtržení {A}}}$. Elektromagnetické pole pak lze odvodit z obecných vzorců:

${ displaystyle { podtržení {H}} = triangledown časy { podtržení {A}} , { podtržení {E}} = - j omega mu { podtržení {A}} + { frac { triangledown triangledown cdot { podtržení {A}}} {j omega varepsilon}} (8)}$

Duálním způsobem lze pole TE odvodit z čistě podélného vektorového potenciálu ${ displaystyle { podtržení {F}}}$ . Elektromagnetické pole je vyjádřeno:

${ displaystyle { podtržení {E}} = - triangledown krát { podtržení {F}} , { podtržení {H}} = - j omega { podtržení {F}} + { frac { triangledown triangledown cdot { podtržení {F}}} {j omega mu}} (9)}$

Vzhledem k válcové symetrii struktury ve směru z můžeme předpokládat:

${ displaystyle { underline {A}} = A_ {z} { underline {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) { underline {z_ { o}}} (10)}$

${ displaystyle { podtržení {F}} = F_ {z} { podtržení {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) { podtržení {z_ { o}}} (11)}$

Jak je známo, v oblasti bez zdroje musí potenciál uspokojit homogenní Helmholtzova rovnice:

${ displaystyle triangledown ^ {2} A_ {z} + k ^ {2} A_ {z} = 0 (12)}$

${ displaystyle triangledown ^ {2} F_ {z} + k ^ {2} F_ {z} = 0 (13)}$

Z ekv. (10) - (13), získáváme:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} L} {dz ^ {2}}} + k_ {z} ^ {2} L = 0 (14)}$

${ displaystyle triangledown _ {t} ^ {2} T + k_ {t} ^ {2} T = 0 (15)}$

kde k_z je číslo vlny v podélném směru,

${ displaystyle triangledown _ {t} ^ {2} = triangledown ^ {2} - { frac { částečné ^ {2}} { částečné z ^ {2}}} a k_ {t} ^ {2} = k ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}$ .

Pro případ k_z ≠ 0, obecné řešení rovnice (14) je dáno:

${ displaystyle L (z) = L_ {o} ^ { dotplus} e ^ {- jk_ {z} z} + L_ {o} ^ {-} e ^ {jk_ {z} z} (16)}$

V následujícím budeme předpokládat, že je přítomna pouze přímá vlna (L_Ó⁻ = 0). Vlkodlaci k_y a k_z musí být v dielektriku stejné jako ve vzduchových oblastech, aby byla splněna podmínka kontinuity složek tangenciálního pole. Navíc k_z musí být stejné v TM i v TE polích.

Rov. (15) lze vyřešit pomocí oddělení proměnných. Necháním T (x, y) = X (x) Y (y) získáme:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} + k_ {x} ^ {2} X = 0 (17)}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} + k_ {y} ^ {2} Y = 0 (18)}$

kde ${ displaystyle Y (y) = C_ {1} cos (k_ {y} y) + C_ {2} hřích (k_ ​​{y} y)}$

Pro pole TM řešení Eq. (18), s přihlédnutím k okrajovým podmínkám při y = 0 a y = a, je dána vztahem:

${ displaystyle sin ({ frac {m pi} {a}} y) (m = 1,2,3, ...)}$.

Pro pole TE analogicky máme:

${ displaystyle cos ({ frac {m pi} {a}} y) (m = 1,2,3, ...)}$.

Pokud jde o ekv. (17) se týká, zvolíme formu obecného řešení:

${ displaystyle X (x) = C_ {3} e ^ {- jk_ {x} x} + C_ {4} e ^ {jk_ {x} x}}$

Proto pro různé regiony budeme předpokládat:

Dielektrická oblast (-w

${ displaystyle T _ { varepsilon} ^ {TM} = sin ({ frac {m pi} {a}} y) cdot (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + Be ^ {jk_ { x varepsilon} x}) m = 0,1,2, ... (19)}$

${ displaystyle T _ { varepsilon} ^ {TE} = cos ({ frac {m pi} {a}} y) cdot (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ {jk_ { x varepsilon} x}) m = 1,2,3, ... (20)}$

kde

${ displaystyle k_ {x varepsilon} = k_ {o} { sqrt { varepsilon _ {r} - ({ frac {m pi} {k_ {o} a}}) ^ {2} - ({ frac {k_ {z}} {k_ {o}}}) ^ {2}}} (21)}$

Vzdušná oblast vpravo (x> w)

${ displaystyle T_ {o +} ^ {TM} = Esin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {xo} (x-w)} (22)}$

${ displaystyle T_ {o +} ^ {TE} = Fcos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} ( 23)}$

Vzduchová oblast vlevo (x

${ displaystyle T_ {o -} ^ {TM} = Gsin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {jk_ {xo} (x + w)} ( 24)}$

${ displaystyle T_ {o -} ^ {TE} = Hcos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {jk_ {xo} (xw)} (25 )}$

Ve vzdušných oblastech máme:

${ displaystyle k_ {xo} = k_ {o} { sqrt {1 - ({ frac {m pi} {k_ {o} a}}) ^ {2} - ({ frac {k_ {z} } {k_ {o}}}) ^ {2}}} (26)}$

Osm konstant A, B, C, D, E, F, G, H je třeba určit uložením osmi podmínek kontinuity pro tangenciální složky E_y, E._z, H_y, H_z elektromagnetického pole při x = w a při x = - w.

Různé komponenty pole jsou dány:

${ displaystyle E_ {x} = { frac {1} {j omega varepsilon}} { frac { mathrm {dL}} { mathrm {d} z}} { frac { částečný T} { částečné x}} ^ {TM} -L { frac { částečné T} { částečné y}} ^ {TE} = { frac {-k_ {z}} { omega varepsilon}} L { frac { částečné T} { částečné x}} ^ {TM} -L { frac { částečné T} { částečné y}} ^ {TE} (27)}$

${ displaystyle E_ {y} = { frac {1} {j omega varepsilon}} { frac { mathrm {dL}} { mathrm {d} z}} { frac { částečný T} { částečné y}} ^ {TM} -L { frac { částečné T} { částečné x}} ^ {TE} = { frac {-k_ {z}} { omega varepsilon}} L { frac { částečné T} { částečné y}} ^ {TM} -L { frac { částečné T} { částečné x}} ^ {TE} (28)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {t} ^ {2}} {j omega varepsilon}} L T ^ {TM} = { frac {k ^ {2} -k_ {z } ^ {2}} {j omega varepsilon}} L T ^ {TM} (29)}$

${ displaystyle H_ {x} = L { frac { částečné T} { částečné y}} ^ {TM} + { frac {1} {j omega mu}} { frac { mathrm {dL }} { mathrm {d} z}} { frac { částečné T} { částečné x}} ^ {TE} = L { frac { částečné T} { částečné y}} ^ {TM} - { frac {k_ {z}} { omega mu}} L { frac { částečné T} { částečné x}} ^ {TE} (30)}$

${ displaystyle H_ {y} = - L { frac { částečné T} { částečné x}} ^ {TM} + { frac {1} {j omega mu}} { frac { mathrm { dL}} { mathrm {d} z}} { frac { částečné T} { částečné y}} ^ {TE} = - L { frac { částečné T} { částečné x}} ^ {TM } - { frac {k_ {z}} { omega mu}} L { frac { částečné T} { částečné y}} ^ {TE} (31)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {t} ^ {2}} {j omega mu}} L T ^ {TE} = { frac {k ^ {2} -k_ {z } ^ {2}} {j omega mu}} L T ^ {TE} (32)}$

Ukládáním podmínek kontinuity na každém rozhraní máme:

${ displaystyle - { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o}}} { frac { částečné T_ {o}} { částečné y}} ^ {TM} + { frac { částečné T_ {o}} { částečné x}} ^ {TE} = - { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac { částečný T _ { varepsilon}} { částečný y}} ^ {TM} + { frac { částečný T _ { varepsilon}} { částečný x}} ^ {TE}}$

${ displaystyle { frac {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o}}} T_ {o} ^ {TM} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {r} varepsilon _ {o}}} T _ { varepsilon} ^ { TM}}$

${ displaystyle - { frac { částečné T_ {o}} { částečné x}} ^ {TM} - { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac { částečné T_ { o}} { částečné y}} ^ {TE} = - { frac { částečné T _ { varepsilon}} { částečné x}} ^ {TM} - { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac { částečné T _ { varepsilon}} { částečné y}} ^ {TE}}$

${ displaystyle { frac {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} T_ {o} ^ {TE} = { frac {k_ {o } ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} ^ {TE}}$

kde první členové jsou odkazováni na vzdušné oblasti a druhý členové na dielektrickou oblast.

Představujeme ekv. (19), (20) a (22) - (25) ve čtyřech podmínkách spojitosti při x = w lze konstanty E a F vyjádřit pomocí A, B, C, D, které jsou spojeny dvěma vztahy.

Podobně na rozhraní x = -w lze konstanty G a H vyjádřit pomocí A, B, C, D. Poté se výrazy složek elektromagnetického pole stanou:

Dielektrická oblast (-w

${ displaystyle E_ {x} = left [j { frac {k_ {x varepsilon} k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) + { frac {m pi} {a}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ { jk_ {x varepsilon} x}) right] sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (33)}$

${ displaystyle E_ {y} = left [- { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac {m pi} {a}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) - jk_ {x varepsilon} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -De ^ { jk_ {x varepsilon} x}) right] cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (34)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o} varepsilon _ { r}}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (35)}$

${ displaystyle H_ {x} = left [{ frac {m pi} {a}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) + j { frac {k_ {x varepsilon} k_ {z}} { omega mu}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -De ^ {jk_ {x varepsilon} x}) vpravo] cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (36)}$

${ displaystyle H_ {y} = left [jk_ {x varepsilon} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) + { frac {k_ { z}} { omega mu}} { frac {m pi} {a}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ {jk_ {x varepsilon} x}) vpravo ] hřích ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (37)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ {jk_ {x varepsilon} x}) cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (38)}$

Vzdušná oblast vpravo (x> w)

${ displaystyle E_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {jk_ {xo} k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {m pi} {a}} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {xo} (xw)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (39)}$

${ displaystyle E_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [- { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac {m pi} {a}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) - jk_ {xo} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {xo} (xw)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (40)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o} varepsilon _ { r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (41)}$

${ displaystyle H_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {m pi} {a}} { frac {1} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {jk_ {xo} k_ {z}} { omega mu}} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {xo} (xw)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ { z} z} (42)}$

${ displaystyle H_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [j { frac {k_ {xo}} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac {m pi} {a}} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {x0} (xw)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ { z} z} (43)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} (C e ^ { -jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (44)}$

Vzdušná oblast vlevo (x <-w)

${ displaystyle E_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {-jk_ {xo} k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {m pi} {a}} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {-jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z } (45)}$

${ displaystyle E_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [- { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac {m pi} {a}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) - jk_ {xo} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {-jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z } (46)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o} varepsilon _ { r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {- jk_ {xo} (x + w)} sin ( { frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (47)}$

${ displaystyle H_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {m pi} {a}} { frac {1} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) - { frac {jk_ {xo} k_ {z}} { omega mu}} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {- jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (48)}$

${ displaystyle H_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [- j { frac {k_ {xo}} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ { x varepsilon} w}) + { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac {m pi} {a}} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {- jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (49)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} (C e ^ { jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {jk_ {xo} (x + w)} cos ({ frac {m pi} {a} } y) e ^ {- jk_ {z} z} (50)}$

Tyto výrazy nejsou přímo poskytovány metodou příčné rezonance.

Nakonec ze zbývajících podmínek kontinuity a homogenní systém ze čtyř rovnice ve čtyřech neznámých se získá A, B, C, D. Netriviální řešení se nalézají zavedením toho, že určující z koeficienty zmizí. Tímto způsobem pomocí Eqs. (21) a (26) disperzní rovnice, která udává možnou hodnotu pro konstantu podélného šíření k_z pro různé režimy se získá.

Potom lze najít neznámé A, B, C, D, kromě libovolného faktoru.

Pro získání mezních frekvencí různých režimů stačí nastavit k_z= 0 v determinantu a vyřešte rovnici, která je nyní silně zjednodušena, s odkazem na frekvenci. K podobnému zjednodušení nedochází při použití metody příčné rezonance, protože k_z pouze implicitně se objeví; pak rovnice, které mají být vyřešeny, aby se získaly mezní frekvence, jsou formálně stejné.

Jednodušší analýzu, která pole opět rozšiřuje jako superpozici režimů, lze získat s přihlédnutím k orientaci elektrického pole pro požadovaný režim a půlení struktury dokonale vodivou stěnou, jak to bylo provedeno na obr. 3. V tomto v případě, že existují pouze dva regiony, musí být určeno pouze šest neznámých a podmínky kontinuity jsou také šest (kontinuita E_y, E._z, H_y, H_z pro x = w a zmizení E_y, E._z pro x = 0).

Nakonec je důležité si všimnout, že výsledná disperzní rovnice je faktorizovatelná součinem dvou výrazů, které se shodují s disperzní rovnicí pro režimy TE a TM s odkazem na směr x. Všechna řešení tedy patří do těchto dvou tříd režimů.

Reference