Nash funkce - Nash functions - Wikipedia

v skutečná algebraická geometrie, a Funkce Nash na otevřené semialgebraické podmnožině U ⊂ Rⁿ je analytická funkce F: U → R splnění netriviální polynomické rovnice P(X,F(X)) = 0 pro všechny X v U (A semialgebraická podmnožina z Rⁿ je podmnožina získaná z podmnožin formuláře {X v Rⁿ : P(X) = 0} nebo {X v Rⁿ : P(X)> 0}, kde P je polynom, tím, že vezme konečné spojky, konečné průniky a doplňky). Některé příklady funkcí Nash:

• Polynomiální a pravidelné racionální funkce jsou Nashovy funkce.
• ${ displaystyle x mapsto { sqrt {1 + x ^ {2}}}}$ je Nash zapnutý R.
• funkce, která se přidruží ke skutečné symetrické matici i-té vlastní číslo (ve vzestupném pořadí) je Nash na otevřené podmnožině symetrických matic bez vícenásobného vlastního čísla.

Nash funkce jsou funkce potřebné k získání implicitní funkce věta ve skutečné algebraické geometrii.

Nash rozdělovače

Spolu s funkcemi Nash se definuje Nash rozdělovače, což jsou semialgebraické analytické podmanifoldy některých Rⁿ. Nash mapování mezi Nash manifolds je pak analytické mapování se semialgebraickým grafem. Funkce Nash a rozdělovače jsou pojmenovány po John Forbes Nash, Jr., který dokázal (1952), že jakýkoli kompaktní hladké potrubí připouští strukturu rozdělovače Nash, tj. je difeomorfní do nějakého Nashova potrubí. Obecněji řečeno, hladké potrubí připouští strukturu potrubí Nash, právě když je diffeomorfní vůči interiéru nějakého kompaktního hladkého potrubí, případně s ohraničením. Nashův výsledek byl později (1973) dokončen Alberto Tognoli kdo dokázal, že jakékoli kompaktní hladké potrubí je odlišné od nějakého afinního skutečného algebraického potrubí; ve skutečnosti je jakékoli Nashovo potrubí rozdílné Nash od afinního skutečného algebraického potrubí. Tyto výsledky ilustrují skutečnost, že kategorie Nash je do určité míry mezi hladkou a algebraickou kategorií.

Místní vlastnosti

Místní vlastnosti funkcí Nash jsou dobře známy. Prsten z bakterie Nashových funkcí v bodě Nashova potrubí dimenze n je izomorfní s prstencem algebraických výkonových řad v n proměnné (tj. ty řady, které splňují netriviální polynomickou rovnici), což je henselizace prstence zárodků racionálních funkcí. Jedná se zejména o pravidelný místní kroužek dimenze n.

Globální vlastnosti

Globální vlastnosti je obtížnější získat. Skutečnost, že prsten Nash funguje na Nashově potrubí (i nekompaktní), je noetherian nezávisle prokázali (1973) Jean-Jacques Risler a Gustave Efroymson. Nash potrubí mají vlastnosti podobné, ale slabší než Cartanovy věty A a B na Steinova potrubí. Nechat ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ označit svazek Nash zárodků funkce na Nash potrubí M, a ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ být souvislý svazek z ${ displaystyle { mathcal {N}}}$-ideály. Převzít ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ je konečný, tj. existuje konečný otevřený semialgebraický obal ${ displaystyle {U_ {i} }}$ z M takové, že pro každého i, ${ displaystyle { mathcal {I}} | _ {U_ {i}}}$ je generován funkcemi Nash na ${ displaystyle U_ {i}}$. Pak ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ je globálně generován funkcemi Nash na Ma přírodní mapa

${ displaystyle H ^ {0} (M, { mathcal {N}}) až H ^ {0} (M, { mathcal {N}} / { mathcal {I}})}$

je surjektivní. nicméně

${ displaystyle H ^ {1} (M, { mathcal {N}}) neq 0, { text {if}} dim (M)> 0,}$

na rozdíl od případu Steinových potrubí.

Zobecnění

Funkce Nash a rozdělovače lze definovat pro libovolné skutečné uzavřené pole namísto pole reálných čísel a výše uvedená tvrzení stále platí. Abstrakt Nash funkce lze definovat také na reálném spektru libovolného komutativního kruhu.

Zdroje

1. J. Bochnak, M. Coste a M-F. Roy: Skutečná algebraická geometrie. Springer, 1998.
2. M. Coste, J.M. Ruiz a M. Shiota: Globální problémy funkcí Nash. Revista Matem 'atica Complutense 17 (2004), 83--115.
3. G. Efroymson: Nullstellensatz pro Nash prsteny. Pacific J. Math. 54 (1974), 101-112.
4. J.F. Nash: Skutečné algebraické potrubí. Annals of Mathematics 56 (1952), 405-421.
5. J-J. Risler: Sur l'anneau des fonctions de Nash globales. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 276 (1973), A1513 - A1516.
6. M. Shiota: Nashovy rozdělovače. Springer, 1987.
7. A. Tognoli: Su una congettura di Nash. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 27 (1973), 167-185.