Vícerozměrný odhad hustoty jádra - Multivariate kernel density estimation

Odhad hustoty jádra je neparametrické technika pro odhad hustoty tj. odhad funkce hustoty pravděpodobnosti, což je jedna ze základních otázek v statistika. Lze to považovat za zobecnění histogram odhad hustoty se zlepšenými statistickými vlastnostmi. Kromě histogramů zahrnují i ​​jiné typy odhadu hustoty parametrické, spline, vlnka a Fourierova řada. Odhady hustoty jádra byly poprvé zavedeny ve vědecké literatuře pro univariate údaje v 50. a 60. letech^[1][2] a následně byly široce přijaty. Brzy bylo zjištěno, že analogické odhady pro data s více proměnnými budou důležitým doplňkem statistika s více proměnnými. Na základě výzkumu provedeného v 90. a 90. letech 20. století vícerozměrný odhad hustoty jádra dosáhla úrovně dospělosti srovnatelné s jejími jednorozměrnými protějšky.^[3]

Motivace

Bereme ilustraci syntetický bivariate datová sada 50 bodů pro ilustraci konstrukce histogramů. To vyžaduje výběr kotevního bodu (levý dolní roh mřížky histogramu). Pro histogram vlevo zvolíme (-1,5; -1,5): pro ten pravý posuneme kotevní bod o 0,125 v obou směrech na (-1 1,625, -1 1,625). Oba histogramy mají binwidth 0,5, takže jakékoli rozdíly jsou způsobeny pouze změnou kotevního bodu. Barevné označení udává počet datových bodů, které spadají do koše: 0 = bílá, 1 = bledě žlutá, 2 = jasně žlutá, 3 = oranžová, 4 = červená. Zdá se, že levý histogram označuje, že horní polovina má vyšší hustotu než dolní polovina, zatímco obrácený je případ pravého histogramu, což potvrzuje, že histogramy jsou vysoce citlivé na umístění kotevního bodu.^[4]

Porovnání 2D histogramů. Vlevo, odjet. Histogram s kotevním bodem v (−1,5; -1,5). Že jo. Histogram s kotevním bodem v (- 1,625, - 1,625). Oba histogramy mají šířku koše 0,5, takže rozdíly ve vzhledu těchto dvou histogramů jsou způsobeny umístěním kotevního bodu.

Jedním z možných řešení tohoto problému s umístěním kotevního bodu je úplné odstranění binningové mřížky histogramu. Na levém obrázku níže je jádro (představované šedými čarami) vycentrováno v každém z 50 datových bodů výše. Výsledek sečtení těchto jader je uveden na správném obrázku, což je odhad hustoty jádra. Nejvýraznějším rozdílem mezi odhady hustoty jádra a histogramy je to, že první jsou snadněji interpretovatelné, protože neobsahují artefakty vyvolané binningovou mřížkou. Barevné obrysy odpovídají nejmenší oblasti, která obsahuje příslušnou pravděpodobnostní hmotnost: červená = 25%, oranžová + červená = 50%, žlutá + oranžová + červená = 75%, což znamená, že jedna centrální oblast obsahuje nejvyšší hustotu.

Konstrukce odhadu hustoty 2D jádra. Vlevo, odjet. Jednotlivá jádra. Že jo. Odhad hustoty jádra.

Cílem odhadu hustoty je odebrat konečný vzorek dat a učinit závěry o základní funkci hustoty pravděpodobnosti všude, včetně případů, kdy nejsou pozorována žádná data. Při odhadu hustoty jádra je příspěvek každého datového bodu vyhlazen z jednoho bodu do oblasti prostoru, který jej obklopuje. Agregace individuálně vyhlazených příspěvků poskytuje celkový obraz o struktuře dat a jejich hustotní funkci. V dalších podrobnostech ukážeme, že tento přístup vede k rozumnému odhadu funkce podkladové hustoty.

Definice

Předchozí obrázek je grafickým znázorněním odhadu hustoty jádra, který nyní definujeme přesným způsobem. Nechat X₁, X₂, ..., X_n být vzorek z d-měnit náhodné vektory čerpané ze společné distribuce popsané v funkce hustoty ƒ. Odhad hustoty jádra je definován jako

${ displaystyle { hat {f}} _ { mathbf {H}} ( mathbf {x}) = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} K_ { mathbf {H}} ( mathbf {x} - mathbf {x} _ {i})}$

kde

• X = (X₁, X₂, …, X_d)^T, X_i = (X_i1, X_i2, …, X_id)^T, i = 1, 2, …, n jsou d-vektory;
• H je šířka pásma (nebo vyhlazování) d × d matice, která je symetrický a pozitivní určitý;
• K. je jádro funkce, která je symetrická vícerozměrná hustota;
• ${ displaystyle K _ { mathbf {H}} ( mathbf {x}) = | mathbf {H} | ^ {- 1/2} K ( mathbf {H} ^ {- 1/2} mathbf { X} )}$.

Volba funkce jádra K. není rozhodující pro přesnost odhadů hustoty jádra, proto používáme standard vícerozměrný normální jádro v celém: ${ textstyle K _ { mathbf {H}} ( mathbf {x}) = {(2 pi) ^ {- d / 2}} mathbf {| H |} ^ {- 1/2} e ^ { - { frac {1} {2}} mathbf {x ^ {T}} mathbf {H ^ {- 1}} mathbf {x}}}$, kde H hraje roli kovarianční matice. Na druhou stranu volba matice šířky pásma H je nejdůležitějším faktorem ovlivňujícím jeho přesnost, protože řídí množství a orientaci indukovaného vyhlazování.^[5]:36–39 To, že matice šířky pásma také indukuje orientaci, je základní rozdíl mezi odhadem vícerozměrné hustoty jádra od jejího jednorozměrného analogu, protože orientace není definována pro 1D jádra. To vede k volbě parametrizace této matice šířky pásma. Tři hlavní třídy parametrizace (ve vzestupném pořadí složitosti) jsou S, třída kladných skalárů krát matice identity; D, úhlopříčné matice s kladnými položkami na hlavní úhlopříčce; a F, symetrické pozitivní určité matice. The S jádra třídy mají stejné množství vyhlazování aplikované ve všech směrech souřadnic, D jádra umožňují různé úrovně vyhlazení v každé ze souřadnic a F jádra umožňují libovolné množství a orientaci vyhlazení. Historicky S a D jádra jsou z výpočetních důvodů nejrozšířenější, ale výzkum ukazuje, že důležitých zisků v přesnosti lze dosáhnout pomocí obecnějších F třídní jádra.^[6][7]

Porovnání tří hlavních tříd parametrizace matice šířky pásma. Vlevo, odjet. S pozitivní skalární časy matice identity. Centrum. D diagonální matice s kladnými položkami na hlavní diagonále. Že jo. F symetrická kladná určitá matice.

Optimální výběr šířky pásma matice

Nejčastěji používaným kritériem optimality pro výběr matice šířky pásma je MISE nebo střední integrovaná čtvercová chyba

${ displaystyle operatorname {MISE} ( mathbf {H}) = operatorname {E} ! left [, int ({ hat {f}} _ { mathbf {H}} ( mathbf { x}) -f ( mathbf {x})) ^ {2} , d mathbf {x} ; vpravo].}$

Toto obecně nemá a uzavřený výraz, takže je obvyklé používat jeho asymptotickou aproximaci (AMISE) jako proxy

${ displaystyle operatorname {AMISE} ( mathbf {H}) = n ^ {- 1} | mathbf {H} | ^ {- 1/2} R (K) + { tfrac {1} {4} } m_ {2} (K) ^ {2} ( operatorname {vec} ^ {T} mathbf {H}) mathbf { Psi} _ {4} ( operatorname {vec} mathbf {H}) }$

kde

• ${ displaystyle R (K) = int K ( mathbf {x}) ^ {2} , d mathbf {x}}$, s R(K.) = (4π)^−d/2 když K. je normální jádro
• ${ displaystyle int mathbf {x} mathbf {x} ^ {T} K ( mathbf {x}) , d mathbf {x} = m_ {2} (K) mathbf {I} _ { d}}$,

s Já_d být d × d matice identity, s m₂ = 1 pro normální jádro

• D²ƒ je d × d Hessenská matice parciálních derivací druhého řádu z ƒ
• ${ displaystyle mathbf { Psi} _ {4} = int ( operatorname {vec} , operatorname {D} ^ {2} f ( mathbf {x})) ( operatorname {vec} ^ { T} operatorname {D} ^ {2} f ( mathbf {x})) , d mathbf {x}}$ je d² × d² matice integrovaných parciálních derivací čtvrtého řádu z ƒ
• vec je vektorový operátor, který stohuje sloupce matice do jednoho vektoru, např. ${ displaystyle operatorname {vec} { begin {bmatrix} a & c b & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} a & b & c & d end {bmatrix}} ^ {T}.}$

Kvalita přiblížení AMISE k MISE^[5]:97 darováno

${ displaystyle operatorname {MISE} ( mathbf {H}) = operatorname {AMISE} ( mathbf {H}) + o (n ^ {- 1} | mathbf {H} | ^ {- 1/2 } + operatorname {tr} , mathbf {H} ^ {2})}$

kde Ó označuje obvyklé malá o notace. Heuristicky toto tvrzení naznačuje, že AMISE je „dobrá“ aproximace MISE jako velikosti vzorku n → ∞.

Je možné ukázat, že jakýkoli přiměřený volič šířky pásma H má H = Ó(n^−2/(d+4)) Kde velká O notace se aplikuje po prvcích. Dosazením do vzorce MISE se získá optimální MISE Ó(n^−4/(d+4)).^[5]:99–100 Tak jako n → ∞, MISE → 0, tj. Odhad hustoty jádra konverguje do středního čtverce a tedy také v pravděpodobnosti skutečné hustoty F. Tyto režimy konvergence jsou potvrzením tvrzení v části motivace, že metody jádra vedou k odhadům přiměřené hustoty. Ideální optimální volič šířky pásma je

${ displaystyle mathbf {H} _ { operatorname {AMISE}} = operatorname {argmin} _ { mathbf {H} in F} , operatorname {AMISE} ( mathbf {H}).}$

Protože tento ideální volič obsahuje funkci neznámé hustoty ƒ, nelze jej použít přímo. Mnoho různých druhů datových selektorů šířky pásma vychází z různých odhadů AMISE. Zaměřujeme se na dvě třídy selektorů, které se v praxi ukázaly jako nejpoužívanější: vyhlazená křížová validace a selektory zásuvných modulů.

Zapojit

Odhad plug-in (PI) AMISE je vytvořen nahrazením Ψ₄ jeho odhadcem ${ displaystyle { hat { mathbf { Psi}}} _ {4}}$

${ displaystyle operatorname {PI} ( mathbf {H}) = n ^ {- 1} | mathbf {H} | ^ {- 1/2} R (K) + { tfrac {1} {4} } m_ {2} (K) ^ {2} ( operatorname {vec} ^ {T} mathbf {H}) { hat { mathbf { Psi}}} _ {4} ( mathbf {G} ) ( operatorname {vec} , mathbf {H})}$

kde ${ displaystyle { hat { mathbf { Psi}}} _ {4} ( mathbf {G}) = n ^ {- 2} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} [( operatorname {vec} , operatorname {D} ^ {2}) ( operatorname {vec} ^ {T} operatorname {D} ^ {2})] K _ { mathbf {G}} ( mathbf {X} _ {i} - mathbf {X} _ {j})}$. Tím pádem ${ displaystyle { hat { mathbf {H}}} _ { operatorname {PI}} = operatorname {argmin} _ { mathbf {H} ve F} , operatorname {PI} ( mathbf { H})}$ je volič doplňků.^[8][9] Tyto reference také obsahují algoritmy pro optimální odhad matice šířky pilotního pásma G a stanovit to ${ displaystyle { hat { mathbf {H}}} _ { operatorname {PI}}}$ konverguje v pravděpodobnosti na H_AMISE.

Vyhlazená křížová validace

Vyhlazená křížová validace (SCV) je podmnožinou větší třídy křížová validace techniky. Odhad SCV se liší od odhadu zásuvného modulu ve druhém semestru

${ displaystyle operatorname {SCV} ( mathbf {H}) = n ^ {- 1} | mathbf {H} | ^ {- 1/2} R (K) + n ^ {- 2} součet _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} (K_ {2 mathbf {H} +2 mathbf {G}} -2K _ { mathbf {H} +2 mathbf {G}} + K_ {2 mathbf {G}}) ( mathbf {X} _ {i} - mathbf {X} _ {j})}$

Tím pádem ${ displaystyle { hat { mathbf {H}}} _ { operatorname {SCV}} = operatorname {argmin} _ { mathbf {H} ve F} , operatorname {SCV} ( mathbf { H})}$ je volič SCV.^[9][10]Tyto odkazy také obsahují algoritmy pro optimální odhad matice šířky pilotního pásma G a stanovit to ${ displaystyle { hat { mathbf {H}}} _ { operatorname {SCV}}}$ konverguje v pravděpodobnosti k H_AMISE.

Pravidlo

Silvermanovo pravidlo naznačuje použití ${ displaystyle { sqrt { mathbf {H} _ {ii}}} = left ({ frac {4} {d + 2}} right) ^ { frac {1} {d + 4}} n ^ { frac {-1} {d + 4}} sigma _ {i}}$ kde ${ displaystyle sigma _ {i}}$ je směrodatná odchylka i-té proměnné a ${ displaystyle mathbf {H} _ {ij} = 0, i neq j}$. Scottovo pravidlo je ${ displaystyle { sqrt { mathbf {H} _ {ii}}} = n ^ { frac {-1} {d + 4}} sigma _ {i}}$.

Asymptotická analýza

V sekci výběru optimální šířky pásma jsme představili MISE. Jeho konstrukce se opírá o očekávaná hodnota a rozptyl odhadu hustoty^[5]:97

${ displaystyle operatorname {E} { hat {f}} ( mathbf {x}; mathbf {H}) = K _ { mathbf {H}} * f ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x}) + { frac {1} {2}} m_ {2} (K) operatorname {tr} ( mathbf {H} operatorname {D} ^ {2} f ( mathbf {x} )) + o ( operatorname {tr} , mathbf {H})}$

kde je konvoluce operátor mezi dvěma funkcemi a

${ displaystyle operatorname {Var} { hat {f}} ( mathbf {x}; mathbf {H}) = n ^ {- 1} | mathbf {H} | ^ {- 1/2} R (K) f ( mathbf {x}) + o (n ^ {- 1} | mathbf {H} | ^ {- 1/2}).}$

Aby tyto dva výrazy byly dobře definované, požadujeme, aby všechny prvky H mají tendenci k 0 a tamto n⁻¹ |H|^−1/2 má tendenci k 0 jako n inklinuje k nekonečnu. Za předpokladu těchto dvou podmínek vidíme, že očekávaná hodnota má sklon ke skutečné hustotě F tj. odhad hustoty jádra je asymptotický objektivní; a že rozptyl má sklon k nule. Pomocí standardního rozkladu střední kvadratické hodnoty

${ displaystyle operatorname {MSE} , { hat {f}} ( mathbf {x}; mathbf {H}) = operatorname {Var} { hat {f}} ( mathbf {x}; mathbf {H}) + [ operatorname {E} { hat {f}} ( mathbf {x}; mathbf {H}) -f ( mathbf {x})] ^ {2}}$

máme, že MSE má tendenci k 0, z čehož vyplývá, že odhad hustoty jádra je (střední čtverec) konzistentní, a proto s pravděpodobností konverguje ke skutečné hustotě F. Míra konvergence MSE na 0 je nutně stejná jako výše uvedená míra MISE Ó(n^{−4 / (d + 4)}), odtud tedy míra pokrytí odhadu hustoty na F je Ó_str(č^−2/(d+4)) kde Ó_str označuje pořadí v pravděpodobnosti. Tím se stanoví bodová konvergence. Funkční krytí je stanoveno obdobně zvážením chování MISE a konstatováním, že při dostatečné pravidelnosti nemá integrace vliv na míry konvergence.

U uvažovaných selektorů šířky pásma založených na datech je cílem matice šířky pásma AMISE. Říkáme, že datový selektor konverguje k selektoru AMISE relativní rychlostí Ó_str(n^−α), α > 0 pokud

${ displaystyle operatorname {vec} ({ hat { mathbf {H}}} - mathbf {H} _ { operatorname {AMISE}}) = O (n ^ {- 2 alpha}) operatorname { vec} mathbf {H} _ { operatorname {AMISE}}.}$

Bylo zjištěno, že plug-in a vyhlazené selektory křížové validace (vzhledem k jediné šířce pásma pilota G) oba konvergují relativní rychlostí Ó_str(n^−2/(d+6)) ^[9][11] tj. oba tyto datové selektory jsou konzistentní odhady.

Odhad hustoty s maticí s plnou šířkou pásma

Odhad hustoty datového jádra Old Faithful Geyser s plug-in maticí šířky pásma.

The ks balení^[12] v R implementuje doplňky plug-in a vyhlazené křížové ověření (mimo jiné). Tato datová sada (zahrnutá v základní distribuci R) obsahuje 272 záznamů se dvěma měřeními: dobu trvání erupce (minuty) a dobu čekání do další erupce (minut) Gejzír Old Faithful v Yellowstonském národním parku, USA.

Fragment kódu vypočítá odhad hustoty jádra pomocí matice šířky pásma modulu plug-in ${ displaystyle { hat { mathbf {H}}} _ { operatorname {PI}} = { begin {bmatrix} 0,052 & 0,510 0,510 & 8,882 end {bmatrix}}.}$ Barevné kontury opět odpovídají nejmenší oblasti, která obsahuje příslušnou pravděpodobnostní hmotnost: červená = 25%, oranžová + červená = 50%, žlutá + oranžová + červená = 75%. Chcete-li vypočítat volič SCV, Hpi je nahrazen Hscv. Toto se zde nezobrazuje, protože je to většinou podobné odhadu zásuvného modulu pro tento příklad.

knihovna(ks)data(věřící)H <- Hpi(X=věřící)fhat <- kde(X=věřící, H=H)spiknutí(fhat, Zobrazit=„filled.contour2“)bodů(věřící, cex=0.5, pch=16)

Odhad hustoty s diagonální maticí šířky pásma

Odhad hustoty jádra s diagonální šířkou pásma pro data syntetické normální směsi.

Zvažujeme odhad hustoty Gaussovy směsi(4π)⁻¹ exp (-¹⁄₂ (X₁² + X₂²))+ (4π)⁻¹ exp (-¹⁄₂ ((X₁ - 3.5)² + X₂²)), z 500 náhodně vygenerovaných bodů. Pro Matlab používáme rutinu2-rozměrná data Rutina je metoda automatického výběru šířky pásma speciálně navržená pro gaussovské jádro druhého řádu.^[13]Obrázek ukazuje odhad hustoty spoje, který je výsledkem použití automaticky vybrané šířky pásma.

Příklad skriptu Matlab

Poté zadejte následující příkazy do Matlabustahování a uložení funkce kde2d.min do aktuálního adresáře.

  Průhledná Všechno   % generuje syntetická data  data=[randn(500,2);      randn(500,1)+3.5, randn(500,1);];  % volání rutiny, která byla uložena v aktuálním adresáři   [šířka pásma,hustota,X,Y]=kde2d(data);  % vynese data a odhad hustoty  obrys3(X,Y,hustota,50), držet na  spiknutí(data(:,1),data(:,2),'r.','MarkerSize',5)

Alternativní kritéria optimality

MISE je očekávaný integrovaný L₂ vzdálenost mezi odhadem hustoty a funkcí skutečné hustoty F. Je nejpoužívanější, většinou kvůli své traktovatelnosti a většina softwaru implementuje selektory šířky pásma založené na MISE. Existují alternativní kritéria optimality, která se pokoušejí pokrýt případy, kdy MISE není vhodné opatření.^{[3]:34–37,78} Ekvivalent L₁ míra, střední integrovaná absolutní chyba, je

${ displaystyle operatorname {MIAE} ( mathbf {H}) = operatorname {E} , int | { hat {f}} _ { mathbf {H}} ( mathbf {x}) -f ( mathbf {x}) | , d mathbf {x}.}$

Jeho matematická analýza je podstatně obtížnější než u MISE. V praxi se zisk nezdá být významný.^[14] The L_∞ normou je Střední jednotná absolutní chyba

${ displaystyle operatorname {MUAE} ( mathbf {H}) = operatorname {E} , operatorname {sup} _ { mathbf {x}} | { hat {f}} _ { mathbf {H }} ( mathbf {x}) -f ( mathbf {x}) |.}$

který byl vyšetřován jen krátce.^[15] Kritéria pravděpodobnosti chyby zahrnují kritéria založená na střední hodnotě Kullback – Leiblerova divergence

${ displaystyle operatorname {MKL} ( mathbf {H}) = int f ( mathbf {x}) , operatorname {log} [f ( mathbf {x})] , d mathbf {x } - operatorname {E} int f ( mathbf {x}) , operatorname {log} [{ hat {f}} ( mathbf {x}; mathbf {H})] , d mathbf {x}}$

a střední Hellingerova vzdálenost

${ displaystyle operatorname {MH} ( mathbf {H}) = operatorname {E} int ({ hat {f}} _ { mathbf {H}} ( mathbf {x}) ^ {1 / 2} -f ( mathbf {x}) ^ {1/2}) ^ {2} , d mathbf {x}.}$

KL lze odhadnout pomocí metody křížové validace, i když selektory křížové validace KL mohou být suboptimální, i když zůstávají konzistentní pro funkce omezené hustoty.^[16] Selektory MH byly v literatuře krátce zkoumány.^[17]

Všechna tato kritéria optimality jsou měřítkem založeným na vzdálenosti a ne vždy odpovídají intuitivnějším představám o blízkosti, proto byla v reakci na tento problém vyvinuta další vizuální kritéria.^[18]

Objektivní a datově řízený výběr jádra

Demonstrace funkce filtru ${ displaystyle I _ { vec {A}} ({ vec {t}})}$. Čtverec empirické distribuční funkce ${ displaystyle | { hat { varphi}} | ^ {2}}$ z N= 10 000 vzorků „distribuce přechodu“ popsané v části 3.2 (a zobrazené na obr. 4) pro ${ displaystyle | { hat { varphi}} | ^ {2} geq 4 (N-1) N ^ {- 2}}$. Na tomto obrázku jsou dvě barevná schémata. Převážně tmavá vícebarevná barevná oblast ve tvaru „X“ ve středu odpovídá hodnotám ${ displaystyle | { hat { varphi}} | ^ {2}}$ pro nejnižší souvislý hypervolume (oblast obsahující původ); barevný pruh vpravo platí pro barvy v této oblasti. Světle zbarvené monotónní oblasti od prvního souvislého hypervolumu odpovídají dalším souvislým hypervolumům (oblastem) s ${ displaystyle | { hat { varphi}} | ^ {2} geq 4 (N-1) N ^ {- 2}}$. Barvy těchto oblastí jsou libovolné a slouží pouze k vizuálnímu odlišení blízkých sousedících oblastí od sebe navzájem.

Nedávný výzkum ukázal, že jádro a jeho šířku pásma lze optimálně a objektivně vybrat ze samotných vstupních dat, aniž bychom předpokládali formu distribuce.^[19] Výsledný odhad hustoty jádra rychle konverguje ke skutečnému rozdělení pravděpodobnosti, když jsou přidávány vzorky: rychlostí blízkou ${ displaystyle n ^ {- 1}}$ očekává se pro parametrické odhady.^[19][20][21] Tento odhad jádra funguje stejně pro jednorozměrné i vícerozměrné vzorky. Optimální jádro je definováno ve Fourierově prostoru - jako funkce optimálního tlumení ${ displaystyle { hat { psi _ {h}}} ({ vec {t}})}$ (Fourierova transformace jádra ${ displaystyle { hat {K}} ({ vec {x}})}$ ) - z hlediska Fourierovy transformace dat ${ displaystyle { hat { varphi}} ({ vec {t}})}$, empirická charakteristická funkce (vidět Odhad hustoty jádra ):

${ displaystyle { hat { psi _ {h}}} ({ vec {t}}) equiv { frac {N} {2 (N-1)}} vlevo [1 + { sqrt { 1 - { frac {4 (N-1)} {N ^ {2} | { hat { varphi}} ({ vec {t}}) | ^ {2}}}}} I _ { vec {A}} ({ vec {t}}) vpravo]}$ ^[21]

${ displaystyle { hat {f}} (x) = { frac {1} {(2 pi) ^ {d}}} int { hat { varphi}} ({ vec {t}} ) psi _ {h} ({ vec {t}}) e ^ {- i { vec {t}} cdot { vec {x}}} d { vec {t}}}$

kde, N je počet datových bodů, d je počet dimenzí (proměnných) a ${ displaystyle I _ { vec {A}} ({ vec {t}})}$ je filtr, který se rovná 1 pro „přijaté frekvence“ a 0 jinak. Existuje několik způsobů, jak definovat tuto funkci filtru, a jednoduchý způsob, který funguje pro jednorozměrné nebo vícerozměrné vzorky, se nazývá „nejnižší souvislý hypervolume filtr“; ${ displaystyle I _ { vec {A}} ({ vec {t}})}$ je zvolen tak, že jediné akceptované frekvence jsou souvislou podmnožinou frekvencí obklopujících počátek, pro který ${ displaystyle | { hat { varphi}} ({ vec {t}}) | ^ {2} geq 4 (N-1) N ^ {- 2}}$ (vidět ^[21] pro diskusi o této a dalších funkcích filtru).

Všimněte si, že přímý výpočet empirická charakteristická funkce (ECF) je pomalý, protože v podstatě zahrnuje přímou Fourierovu transformaci datových vzorků. Bylo však zjištěno, že ECF lze přesně aproximovat pomocí a nejednotná rychlá Fourierova transformace (nuFFT) metoda,^[20][21] což zvyšuje rychlost výpočtu o několik řádů (v závislosti na rozměrnosti problému). Kombinace této objektivní metody KDE a nuFFT založené na aproximaci ECF byla označována jako fastKDE v literatuře.^[21]

Netriviální směs normálních distribucí: (a) podkladové PDF, (b) odhad fastKDE na 1 000 000 vzorků a (c) odhad fastKDE na 10 000 vzorků.

Viz také

• Odhad hustoty jádra - jednorozměrný odhad hustoty jádra.
• Odhad proměnné hustoty jádra - odhad vícerozměrných hustot pomocí jádra s proměnnou šířkou pásma

Reference

externí odkazy

• mvstat.net Sbírka recenzovaných článků matematických detailů odhadu hustoty vícerozměrných jader a jejich selektorů šířky pásma na mvstat.net webová stránka.
• kde2d.m A Matlab funkce pro odhad hustoty dvojrozměrného jádra.
• libagf A C ++ knihovna pro více proměnných, odhad hustoty jádra s proměnnou šířkou pásma.
• akde.m A Matlab m-soubor pro více proměnných, odhad hustoty jádra s proměnnou šířkou pásma.
• ahoj a modul pyqt_fit.kde v Balíček PyQt-Fit jsou Krajta knihovny pro vícerozměrný odhad hustoty jádra.