Pomalé potrubí - Slow manifold

v matematika, pomalé potrubí z rovnovážný bod a dynamický systém se vyskytuje jako nejběžnější příklad a středové potrubí. Jedna z hlavních metod zjednodušení dynamické systémy, je zmenšit dimenzi systému na dimenzi pomalého potrubí -středové potrubí teorie důsledně ospravedlňuje modelování.^[1]^[2] Například některé globální a regionální modely atmosféry nebo oceánů řeší tzv. Kvazigeostrofický tok dynamika na pomalém potrubí atmosféry / oceánské dynamiky,^[3]a je tedy zásadní pro předpovídání pomocí a klimatický model.

Definice

Zvažte dynamický systém

{ displaystyle { frac {d { vec {x}}} {dt}} = { vec {f}} ({ vec {x}})}

pro vektor vyvíjejícího se stavu ${ displaystyle { vec {x}} (t)}$ a s rovnovážný bod ${ displaystyle { vec {x}} ^ {*}}$ . Pak je linearizace systému v rovnovážném bodě

{ displaystyle { frac {d { vec {x}}} {dt}} = A { vec {x}} quad { text {kde}} A = { frac {d { vec {f }}} {d { vec {x}}}} ({ vec {x}} ^ {*}).}

Matice ${ displaystyle A}$ definuje čtyři invariantní podprostory charakterizovaný vlastní čísla ${ displaystyle lambda}$ matice: jak je popsáno v položce pro středové potrubí tři z podprostorů jsou stabilní, nestabilní a střední podprostory odpovídající rozpětí vlastních vektorů s vlastními hodnotami ${ displaystyle lambda}$ které mají skutečnou část negativní, pozitivní a nula; čtvrtý podprostor je pomalý podprostor daný rozpětím vlastních vektorů a zobecněné vlastní vektory, odpovídající vlastnímu číslu ${ displaystyle lambda = 0}$ přesně. Pomalý podprostor je podprostor středního podprostoru, nebo je s ním totožný, případně prázdný.

Odpovídajícím způsobem má nelineární systém invariantní potrubí, vytvořené z trajektorií nelineárního systému, odpovídající každému z těchto invariantních podprostorů. K pomalému podprostoru a se stejnou dimenzí existuje neměnná různorodá tečna; toto potrubí je pomalé potrubí.

Stochastické pomalé potrubí existují také pro hlučné dynamické systémy (stochastická diferenciální rovnice ), stejně jako stochastické centrum, stabilní a nestabilní potrubí.^[4] Taková stochastická pomalá potrubí jsou podobně užitečná při modelování vznikající stochastické dynamiky, ale je třeba vyřešit mnoho fascinujících problémů, jako je historie a budoucí závislé integrály šumu.^[5]^[6]

Příklady

Jednoduchý případ se dvěma proměnnými

Spojený systém ve dvou proměnných ${ displaystyle x (t)}$ a ${ displaystyle y (t)}$

{ displaystyle { frac {dx} {dt}} = - xy quad { text {a}} quad { frac {dy} {dt}} = - y + x ^ {2} -2y ^ { 2}}

má přesné pomalé potrubí ${ displaystyle y = x ^ {2}}$ na kterém je evoluce ${ displaystyle dx / dt = -x ^ {3}}$ . Kromě exponenciálně rozpadajících se přechodných jevů zachycuje toto pomalé potrubí a jeho vývoj všechna řešení, která jsou v sousedství původu.^[7] Sousedství přitažlivosti je zhruba poloviční prostor ${ displaystyle y> -1/2}$ .

Pomalá dynamika mezi rychlými vlnami

Edward Norton Lorenz představil následující dynamický systém pěti rovnic v pěti proměnných, aby prozkoumal pojem pomalého potrubí kvázigeostrofický tok^[8]

{ displaystyle { begin {aligned} { frac {dU} {dt}} & = - VW + bVZ, [6pt] { frac {dV} {dt}} & = UW-bUZ, [ 6pt] { frac {dW} {dt}} & = - UV, [6pt] { frac {dX} {dt}} & = - Z, [6pt] { frac {dZ} {dt }} & = X + bUV. End {zarovnáno}}}

Linearizovaný o původu má vlastní hodnota nula multiplicitu tři a existuje komplexní konjugovaná dvojice vlastních čísel, ${ displaystyle pm i}$ . Proto existuje trojrozměrné pomalé potrubí (obklopené „rychlými“ vlnami v ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Z}$ proměnné). Lorenz později tvrdil, že pomalé potrubí neexistuje!^[9] Ale normální forma^[10] Argumenty naznačují, že existuje dynamický systém, který je exponenciálně blízký systému Lorenz, pro který existuje dobré pomalé potrubí.

Eliminujte nekonečno proměnných

Při modelování se snažíme enormně zjednodušit. Tento příklad používá pomalé potrubí ke zjednodušení „nekonečné dimenzionální“ dynamiky a parciální diferenciální rovnice na model jednoho obyčejná diferenciální rovnice. Zvažte pole ${ displaystyle u (x, t)}$ prochází nelineární difúzí

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné t}} = u { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} quad { text {na doméně }} - 1

s Robinovy okrajové podmínky

{ displaystyle 2bu pm (1-b) { frac { částečné u} { částečné x}} = 0 quad { text {on}} x = pm 1.}

Parametrizování okrajových podmínek pomocí ${ displaystyle b}$ nám umožňuje pokrýt izolační Neumannova okrajová podmínka případ ${ displaystyle b = 0}$ , Dirichletova okrajová podmínka případ ${ displaystyle b = 1}$ a všechny případy mezi.

Nyní pro úžasný trik, který se hodně používá při zkoumání dynamiky pomocí teorie bifurkace. Od parametru ${ displaystyle b}$ je konstantní, navazuje na triviálně pravou diferenciální rovnici

{ displaystyle { frac { částečné b} { částečné t}} = 0}

Pak v rozšířeném stavovém prostoru vyvíjejícího se pole a parametru ${ displaystyle (b, u (x))}$ , existuje nekonečno rovnováh, ne jen jedna rovnováha, s ${ displaystyle b = 0}$ (izolační) a ${ displaystyle u =}$ konstantní, řekněme ${ displaystyle u = a}$ . Aniž bychom zacházeli do podrobností, o každé rovnováze má linearizovaná difúze dvě nulové vlastní hodnoty a pro ${ displaystyle a> 0}$ všechny ostatní jsou záporné (méně než ${ displaystyle - pi ^ {2} a / 4}$ ). Tak se objeví dvourozměrná dynamika na pomalých potrubích (viz vznik ) z nelineární difúze bez ohledu na to, jak komplikované byly počáteční podmínky.

Zde lze přímo ověřit, že pomalé potrubí je přesně pole ${ displaystyle u (x, t) = a (t) (1-bx ^ {2})}$ kde amplituda ${ displaystyle a}$ se vyvíjí podle

{ displaystyle { frac {da} {dt}} = - 2a ^ {2} b quad { text {a}} { frac {db} {dt}} = 0.}

To znamená, že po počátečních přechodech, které díky difúzní hladké vnitřní struktuře, je vznikající chování jedním z relativně pomalého rozpadu amplitudy ( ${ displaystyle a}$ ) rychlostí řízenou typem okrajové podmínky (konstantní ${ displaystyle b}$ ).

Všimněte si, že tento model pomalého potrubí je globální ${ displaystyle a}$ protože každá rovnováha je nutně v pomalém podprostoru každé jiné rovnováhy, ale je pouze lokální v parametru ${ displaystyle b}$ . Zatím si nemůžeme být jisti, jak velká ${ displaystyle b}$ lze vzít, ale teorie nás ujišťuje, že výsledky platí pro nějaký konečný parametr ${ displaystyle b}$ .

Snad nejjednodušší netriviální stochastické pomalé potrubí

Stochastické modelování je mnohem komplikovanější - tento příklad ilustruje pouze jednu takovou komplikaci. Zvažte malý parametr ${ displaystyle epsilon}$ dvě proměnné dynamiky tohoto lineárního systému vynucené hlukem z náhodná procházka ${ displaystyle W (t)}$ :

{ displaystyle dx = varepsilon y , dt quad { text {a}} quad dy = -y , dt + dW ,.}

Dalo by se jednoduše všimnout, že Proces Ornstein – Uhlenbeck ${ displaystyle y}$ je formálně nedílnou součástí historie

{ displaystyle y = int _ {- infty} ^ {t} exp (s-t) , dW (s)}

a pak to tvrdit ${ displaystyle x (t)}$ je prostě nedílnou součástí této historie. Toto řešení však poté nevhodně obsahuje rychlé časové integrály, kvůli ${ displaystyle exp (s-t)}$ v integrand, v údajně dlouhém modelu.

Alternativně stochastický souřadnicová transformace extrahuje zvukový model pro dlouhodobou dynamiku. Změnit proměnné na ${ displaystyle (X (t), Y (t))}$ kde

{ displaystyle y = Y + int _ {- infty} ^ {t} exp (st) , dW (s) quad { text {a}} quad x = X- varepsilon Y- varepsilon int _ {- infty} ^ {t} exp (st) , dW (s)}

pak se nové proměnné vyvíjejí podle jednoduchých

{ displaystyle dX = varepsilon , dW quad { text {a}} quad dY = -Y , dt.}

Z těchto nových souřadnic snadno odvodíme ${ displaystyle Y (t) až 0}$ exponenciálně rychle, opouštět ${ displaystyle X (t) = epsilon W (t)}$ prochází a náhodná procházka být dlouhodobým modelem stochastické dynamiky na stochastickém pomalém potrubí získaném nastavením ${ displaystyle Y = 0}$ .

Webová služba konstruuje takové pomalé potrubí v konečných dimenzích, deterministických i stochastických.^[11]

Viz také

Kvazi-geostrofické rovnice

Reference

^ J. Carr, Aplikace teorie středového potrubí, Aplikovaná matematika. Sci. 35, 1981, Springer-Verlag
^ Y. A. Kuznetsov, Základy teorie aplikované bifurkace, Aplikované matematické vědy 112, 1995, Springer-Verlag
^ R. Camassa, Na geometrii atmosférického pomalého potrubí, Physica D, 84:357–397, 1995.
^ Ludwig Arnold, Náhodné dynamické systémySpringer Monografie z matematiky, 2003.
^ A. J. Roberts, Normální forma transformuje samostatné pomalé a rychlé režimy ve stochastických dynamických systémech, Physica A 387:12–38, 2008.
^ Ludwig Arnold a Peter Imkeller, Normální formy pro stochastické diferenciální rovnice, Probab. Theory Relat. Pole, 110:559–588, 1998.
^ A. J. Roberts, Jednoduché příklady odvození amplitudových rovnic pro systémy rovnic majících bifurkace, J. Austral. Matematika. Soc. B, 27, 48–65, 1985.
^ E. N. Lorenz, O existenci pomalého potrubí, Journal of the Atmospheric Sciences 43:1547–1557, 1986.
^ E. Lorenz a Krishnamurty, O neexistenci pomalého potrubí, J. Atmos. Sci. 44:2940–2950, 1987.
^ James Murdock, Normální formy a vývoj pro místní dynamické systémy, Springer Monografie v matematice, 2003, Springer
^ A. J. Roberts, Normální forma stochastických nebo deterministických vícenásobných diferenciálních rovnic, http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html, 2009.

externí odkazy

[1] J. Carr, Aplikace teorie středového potrubí, Aplikovaná matematika. Sci. 35, 1981, Springer-Verlag

[2] Y. A. Kuznetsov, Základy teorie aplikované bifurkace, Aplikované matematické vědy 112, 1995, Springer-Verlag

[3] R. Camassa, Na geometrii atmosférického pomalého potrubí, Physica D, 84:357–397, 1995.

[4] Ludwig Arnold, Náhodné dynamické systémySpringer Monografie z matematiky, 2003.

[5] A. J. Roberts, Normální forma transformuje samostatné pomalé a rychlé režimy ve stochastických dynamických systémech, Physica A 387:12–38, 2008.

[6] Ludwig Arnold a Peter Imkeller, Normální formy pro stochastické diferenciální rovnice, Probab. Theory Relat. Pole, 110:559–588, 1998.

[7] A. J. Roberts, Jednoduché příklady odvození amplitudových rovnic pro systémy rovnic majících bifurkace, J. Austral. Matematika. Soc. B, 27, 48–65, 1985.

[8] E. N. Lorenz, O existenci pomalého potrubí, Journal of the Atmospheric Sciences 43:1547–1557, 1986.

[9] E. Lorenz a Krishnamurty, O neexistenci pomalého potrubí, J. Atmos. Sci. 44:2940–2950, 1987.

[10] James Murdock, Normální formy a vývoj pro místní dynamické systémy, Springer Monografie v matematice, 2003, Springer

[11] A. J. Roberts, Normální forma stochastických nebo deterministických vícenásobných diferenciálních rovnic, http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html, 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]