Pascalova pyramida - Pascals pyramid - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Leden 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: musí používat označení LaTeX a ne velká písmena běžných podstatných jmen Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Červen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Prvních pět vrstev Pascalovy pyramidy

v matematika, Pascalova pyramida je trojrozměrné uspořádání trinomiálních čísel, která jsou koeficienty trinomiální expanze a trinomiální distribuce.^[1] Pascalova pyramida je trojrozměrný analog dvojrozměrného Pascalův trojúhelník, který obsahuje binomická čísla a týká se binomická expanze a binomická distribuce. Binomická a trinomiální čísla, koeficienty, expanze a distribuce jsou podmnožinami multinomických konstruktů se stejnými názvy.

Struktura čtyřstěnu

Protože čtyřstěn je trojrozměrný objekt, jeho zobrazení na kousku papíru, obrazovce počítače nebo jiném dvourozměrném médiu je obtížné. Předpokládejme, že čtyřstěn je rozdělen do několika úrovní nebo podlaží nebo řezů nebo vrstev. Horní vrstva (vrchol) je označena jako „vrstva 0“. Jiné vrstvy lze považovat za horní pohledy na čtyřstěn s odstraněnými předchozími vrstvami. Prvních šest vrstev je následujících:

Vrstvy čtyřstěnu byly záměrně zobrazeny s bodem dolů, takže čtyřstěn není zaměňován s Pascalovým trojúhelníkem.

Přehled čtyřstěnu

• V každé vrstvě je trojitá symetrie čísel.
• Počet termínů v n^th Vrstva je (n+1)^th trojúhelníkové číslo: ${ displaystyle { frac {(n + 1) krát (n + 2)} {2}}}$.
• Součet hodnot čísel v n^th Vrstva je 3ⁿ.
• Každé číslo v jakékoli vrstvě je součtem tří sousedních čísel ve vrstvě výše.
• Každé číslo v jakékoli vrstvě je jednoduchý poměr celých čísel sousedních čísel ve stejné vrstvě.
• Každé číslo v jakékoli vrstvě je koeficientem trinomiální distribuce a trinomiální expanze. Toto nelineární uspořádání usnadňuje:
  • zobrazit trinomiální expanzi koherentním způsobem;
  • vypočítat koeficienty trinomického rozdělení;
  • vypočítat počty libovolné čtyřstěnné vrstvy.
• Čísla podél tří okrajů znaku n^th Vrstva jsou čísla n^th Linie Pascalova trojúhelníku. A téměř všechny vlastnosti uvedené výše mají paralely s Pascalovým trojúhelníkem a Multinomiálními koeficienty.

Trojrozměrné expanzní připojení

Počet čtyřstěnů je odvozen z trinomiální expanze. The n^th vrstva je matice odděleného koeficientu (bez proměnných nebo exponentů) trinomického výrazu (např .: A + B + C) zvýšen na n^th Napájení. N-ta síla trinomia se rozšiřuje opakovaným vynásobením trinomia sama o sobě:

Každý výraz v prvním výrazu je vynásoben každým výrazem v druhém výrazu; a potom se sečtou koeficienty podobných výrazů (stejné proměnné a exponenty). Zde je rozšíření (A + B + C)⁴:

Zápis expanze tímto nelineárním způsobem ukazuje expanzi srozumitelnějším způsobem. Rovněž je zřejmé, že je souvislost se čtyřstěnem - zde se shodují koeficienty s vrstvou 4. Všechny implicitní koeficienty, proměnné a exponenty, které obvykle nejsou zapsány, jsou také ukázány pro ilustraci dalšího vztahu se čtyřstěnem. (Obvykle: „1A" je "A"; "B¹" je "B"; a "C⁰„je„ 1 “; atd.) Exponenty každého termínu jsou součtem čísla vrstvy (n), nebo 4, v tomto případě. Ještě důležitější je, že hodnotu koeficientů každého členu lze vypočítat přímo z exponentů. Vzorec je: (x + y + z)! / (X! × y! × z!), kde x, y, z jsou exponenty A, B, C, respektive „!“ znamená faktoriál (např .: n! = 1 × 2 × ⋯ × n). Vzorce exponentů pro 4. vrstvu jsou:

${ displaystyle textstyle {(4 + 0 + 0)! přes 4! krát 0! krát 0!} {(3 + 0 + 1)! přes 3! krát 0! krát 1!} {(2 + 0 + 2)! přes 2! krát 0! krát 2!} {(1 + 0 + 3)! nad 1! krát 0! krát 3!} {(0 + 0 + 4)! přes 0! krát 0! krát 4!}}$

${ displaystyle textstyle {(3 + 1 + 0)! přes 3! krát 1! krát 0!} {(2 + 1 + 1)! přes 2! krát 1! krát 1!} {(1 + 1 + 2)! nad 1! krát 1! krát 2!} {(0 + 1 + 3)! přes 0! krát 1! krát 3!}}$

${ displaystyle textstyle {(2 + 2 + 0)! přes 2! krát 2! krát 0!} {(1 + 2 + 1)! nad 1! krát 2! krát 1!} {(0 + 2 + 2)! přes 0! krát 2! krát 2!}}$

${ displaystyle textstyle {(1 + 3 + 0)! nad 1! krát 3! krát 0!} {(0 + 3 + 1)! přes 0! krát 3! krát 1!}}$

${ displaystyle textstyle {(0 + 4 + 0)! přes 0! krát 4! krát 0!}}$

Exponenty každého termínu expanze lze jasně vidět a tyto vzorce se zjednodušují na koeficienty expanze a čtyřstěnné koeficienty vrstvy 4.

Trinomiální distribuční připojení

Počty čtyřstěnů lze také najít v trinomiální distribuci. Toto je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti používané k určení pravděpodobnosti, že dojde k určité kombinaci událostí vzhledem ke třem možným výsledkům - počet způsobů, jak by k událostem mohlo dojít, se vynásobí pravděpodobnostmi, ke kterým by došlo. Vzorec pro distribuci trinomů je:

kde x, y, z je počet, kolikrát se každý ze tří výsledků objeví; n je počet pokusů a rovná se součtu x + y + z; a P_A, P_B, P_C jsou pravděpodobnosti, že by mohla nastat každá ze tří událostí.

Například při třístranných volbách získali kandidáti tyto hlasy: A, 16%; B, 30%; C, 54%. Jaká je šance, že náhodně vybraná čtyřčlenná focus group bude obsahovat následující voliče: 1 pro A, 1 pro B, 2 pro C? Odpověď je:

Číslo 12 je koeficient této pravděpodobnosti a je to počet kombinací, které mohou vyplnit tuto „112“ fokusní skupinu. Lze vybrat 15 různých uspořádání fokusních skupin pro čtyři osoby. Výrazy pro všech 15 z těchto koeficientů jsou:

Čitatel těchto zlomků (nad řádkem) je pro všechny výrazy stejný. Je to velikost vzorku - skupina čtyř osob - a naznačuje, že koeficienty těchto uspořádání lze nalézt na vrstvě 4 čtyřstěnu. Tři čísla jmenovatele (pod řádkem) představují počet členů fokusové skupiny, kteří hlasovali pro A, B, C.

Zkratka se běžně používá k vyjádření kombinačních funkcí v následujícím formátu „Choose“ (který se čte jako „4 Choose 4, 0, 0“ atd.).

Hodnota těchto výrazů se ale stále rovná koeficientům 4. vrstvy čtyřstěnu. Lze je zobecnit na libovolnou vrstvu změnou velikosti vzorku (n).

Tato notace umožňuje snadný způsob vyjádření součtu všech koeficientů vrstvy n:

${ displaystyle textstyle součet _ {x, y, z} {n vybrat x, y, z}}$ = 3ⁿ.

Sčítání koeficientů mezi vrstvami

Čísla na každé vrstvě (n) čtyřstěnu jsou součtem tří sousedních čísel ve vrstvě (n−1) „nad“. Tento vztah je poměrně obtížné vidět bez promíchání vrstev. Níže jsou Kurzíva Čísla 3. vrstvy prokládané mezi tučná čísla 4. vrstvy:

Vztah je ilustrován spodním centrálním číslem 12 4. vrstvy. Je „obklopen“ třemi čísly 3. vrstvy: 6 na „sever“, 3 na „jihozápad“, 3 na „jihovýchod“. (Čísla podél okraje mají ve vrstvě „nahoře“ pouze dvě sousední čísla a čísla tří rohů mají ve vrstvě nahoře pouze jedno sousední číslo, proto jsou vždy „1“. Chybějící čísla lze považovat za „ 0 ", takže nedochází ke ztrátě obecnosti.) Tento vztah mezi sousedními vrstvami není magickou náhodou. Spíše se jedná o dvoustupňový proces trinomiální expanze.

Pokračováním tohoto příkladu v kroku 1 každý termín (A + B + C)³ se vynásobí každým termínem (A + B + C)¹. V tomto příkladu jsou zajímavé pouze tři z těchto multiplikací:

(Násobení podobných proměnných způsobí přidání exponentů; např .: D¹ × D² = D³.)

Poté v kroku 2 vede součet podobných výrazů (stejných proměnných a exponentů) k: 12A¹B²C¹, což je termín (A + B + C)⁴; zatímco 12 je koeficient 4. vrstvy čtyřstěnu.

Symbolicky lze aditivní vztah vyjádřit jako:

C(x, y, z) = C (X−1, y, z) + C (x, y−1, z) + C (x, y, z−1)

kde C (x, y, z) je koeficient termínu s exponenty x, y, z a ${ displaystyle x + y + z = n}$ je vrstva čtyřstěnu.

Tento vztah bude fungovat, pouze pokud je trinomiální expanze vyložena nelineárním způsobem, jak je znázorněno v části „Připojení trinomiální expanze“.

Poměr mezi koeficienty stejné vrstvy

Na každé vrstvě čtyřstěnu jsou čísla jednoduché poměry celých čísel sousedních čísel. Tento vztah je u vodorovně sousedících párů ve 4. vrstvě ilustrován následujícím způsobem:

Protože čtyřstěn má třícestnou symetrii, poměrový vztah platí také pro diagonální páry (v obou směrech) i pro zobrazené vodorovné páry.

Poměry jsou řízeny exponenty odpovídajících sousedních členů trinomiální expanze. Například jeden poměr na obrázku výše je:

Odpovídající podmínky trinomiální expanze jsou:

Následující pravidla platí pro koeficienty všech sousedních párů podmínek trinomiální expanze:

• Exponent jedné z proměnných zůstává nezměněn (B v tomto případě) a lze jej ignorovat.
• U ostatních dvou proměnných se jeden exponent zvýší o 1 a jeden exponent se sníží o 1.
  • Exponenty A jsou 3 a 2 (větší jsou v levém termínu).
  • Exponenty C jsou 0 a 1 (větší je ve správném termínu).
• Koeficienty a větší exponenty souvisejí:
  • 4 × 3 = 12 × 1
  • 4 / 12 = 1 / 3
• Tyto rovnice dávají poměr: „1: 3“.

Pravidla jsou stejná pro všechny vodorovné a úhlopříčné páry. Proměnné A, B, C změní se.

Tento poměrový poměr poskytuje další (poněkud těžkopádný) způsob výpočtu čtyřstěnných koeficientů:

Koeficient sousedního členu se rovná koeficientu aktuálního členu vynásobenému exponentem aktuálního termínu klesající proměnné děleným exponentem sousedního termínu rostoucí proměnné.

Poměr sousedních koeficientů může být o něco jasnější, když je vyjádřen symbolicky. Každý termín může mít až šest sousedících termínů:

Pro X = 0: C (x, y, z-1) = C (x, y−1, z) × z y C(x, y−1, z) = C (x, y, z−1) × y / z

Pro y = 0: C (X−1, y, z) = C (x, y, z−1) × x / z C(x, y, z-1) = C (X−1, y, z) × z / x

Pro z = 0: C (x, y−1, z) = C (X−1, y, z) × y / x C(X−1, y, z) = C (x, y−1, z) × x / y

kde C (x, y, z) je koeficient a x, y, z jsou exponenty. Ve dnech před kapesními kalkulačkami a osobními počítači byl tento přístup používán jako zkratka pro školáky k zápisu Binomických expanzí bez zdlouhavých algebraických expanzí nebo neohrabaných faktoriálních výpočtů.

Tento vztah bude fungovat, pouze pokud je trinomiální expanze vyložena nelineárním způsobem, jak je znázorněno v části „Připojení trinomiální expanze“.

Vztah s Pascalovým trojúhelníkem

Je dobře známo, že čísla podél tří vnějších okrajů znaku n^th Vrstva čtyřstěnu má stejná čísla jako n^th Linie Pascalova trojúhelníku. Spojení je však ve skutečnosti mnohem rozsáhlejší než jen jedna řada čísel. Tento vztah je nejlépe ilustrován porovnáním Pascalova trojúhelníku dolů k řádku 4 s vrstvou 4 čtyřstěnu.

Vynásobením počtu jednotlivých řádků Pascalova trojúhelníku dolů k n^th Řádek podle čísel n^th Linka generuje n^th Vrstva čtyřstěnu. V následujícím příkladu řádky Pascalova trojúhelníku jsou psány kurzívou a řádky čtyřstěnu jsou zvýrazněny tučným písmem.^[2]

Multiplikátory (1 4 6 4 1) skládají řádek 4 Pascalova trojúhelníku.

Tento vztah ukazuje nejrychlejší a nejjednodušší způsob výpočtu čísel pro jakoukoli vrstvu Tetrahedron bez výpočetních faktoriálů, které se rychle stanou obrovskými čísly. (Rozšířené přesné kalkulačky budou po Tetrahedron Layer 200 velmi pomalé.)

Pokud jsou koeficienty Pascalova trojúhelníku označeny C (já, j) a koeficienty čtyřstěnu jsou označeny C (n, i, j), kde n je vrstva čtyřstěnu, i je řádek a j je sloupec, pak lze vztah vyjádřit symbolicky jako:

C(já, j) × C (n, i) = C (n, i, j)     i = 0 až n, j = 0 až i

[Je důležité tomu rozumět i, j, n zde nejsou exponenty, pouze indexy postupného označování.]

Paralely s Pascalovým trojúhelníkem a multinomiálními koeficienty

Tato tabulka shrnuje vlastnosti trinomiální expanze a trinomiální distribuce a porovnává je s binomickými a multinomiálními expanzemi a distribucemi:

Typ polynomu	binomický	tri-nomiální	multi-nomiální
Pořadí polynomu	2	3	m
Příklad polynomu	${ displaystyle A + B}$	${ displaystyle A + B + C}$	${ displaystyle A + B + C + cdots + M}$
Geometrická struktura[1]	trojúhelník	čtyřstěn	m-jednodušší
Struktura prvku	čára	vrstva	skupina
Symetrie prvku	2-cestný	3cestný	m-způsob
Počet výrazů na prvek	n+1	(n+1) × (n+2) / 2	(n+1) × (n+2) ×...× (n+m−1) / ((m-1)!) Nebo (n+m-1)! / (n! × (m-1)!)
Součet koeficientů na prvek	2n	3n	mn
Příklad termínu	AXBy	AXByCz	AXByCz... M.m
Součet exponentů, všechny výrazy	n	n	n
Rovnice koeficientu[2]	n! / (X! × y!)	n! / (X! × y! × z!)	n! / (X1! × X2! × X3! ×...× Xm!)
Součet koeficientů „výše“	2	3	m
Poměr sousedních koeficientů	2	6	m × (m−1)

• ^1 Simplex je nejjednodušší lineární geometrický tvar, který existuje v jakékoli dimenzi. Tetrahedra a trojúhelníky jsou příklady ve 3, respektive 2 dimenzích.
• ^2 Vzorec pro binomický koeficient je obvykle vyjádřen jako: n! / (X! × (n−X)!); kde n−X = y.

Další vlastnosti

Exponentní konstrukce

Libovolná vrstva n lze získat v jednom kroku pomocí následujícího vzorce:

${ displaystyle left (b ^ {d left (n + 1 right)} + b ^ {d} +1 right) ^ {n},}$

kde b je radix a d je počet číslic kterékoli z centrální multinomální koeficienty, to je

${ displaystyle textstyle d = 1 + left lfloor log _ {b} {n zvolit k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}} right rfloor, sum _ {i = 1} ^ {3} {k_ {i}} = n, left lfloor { frac {n} {3}} right rfloor leq k_ {i} leq left lceil { frac { n} {3}} vpravo rceil,}$

zalomení číslic jeho výsledku znakem d (n + 1), rozteč o d a odstranění úvodních nul.

Tuto metodu zobecněnou na libovolnou dimenzi lze použít k získání řezů libovolného Pascalův simplex.

Příklady

Pro radix b = 10, n = 5, d = 2:

${ displaystyle textstyle left (10 ^ {12} + 10 ^ {2} +1 right) ^ {5}}$

= 10000000001015= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501 1 1 1 000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10 ~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10 000520302005 00 05 20 30 20 05 .. .5 20 30 20 .5 010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1 zabaleno d (n + 1)     rozmístěny o d      úvodní nuly odstraněny

Pro radix b = 10, n = 20, d = 9:

${ displaystyle textstyle left (10 ^ {189} + 10 ^ {9} +1 right) ^ {20}}$

Pascalova pyramidová vrstva # 20.

Součet koeficientů vrstvy po řádcích

Součet čísel v každém řádku vrstvy n Pascalova pyramida dává

${ displaystyle left (b ^ {d} +2 right) ^ {n},}$

kde b je základ a d je počet číslic součtu „středního“ řádku (ten s největším součtem).

Pro radix b = 10:

 1 ~ 1    \ 1  ~ 1      \ 1   ~ 1          \ 1    ~  1               \ 1     ~  1---      1 \ 1 ~ 02  \ 2 \ 2  ~ 04      \ 3 \ 3   ~ 06            \ 4 \ 4    ~ 08 1       -----      1 \ 2 \ 1 ~ 04   \ 3 \ 6 \ 3  ~ 12         \ 6 \12 \ 6   ~ 24         1  02      ---------       1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08      \ 4 \12 \12 \ 4  ~ 32                    1  04  04       -------------          1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16                                    1  06  12  08         ------------------                                                           1  08  24  32  161020      1021        1022               1023                     1024

Součet koeficientů vrstvy podle sloupců

Součet čísel v každém sloupci vrstvy n Pascalova pyramida dává

${ displaystyle left (b ^ {2d} + b ^ {d} +1 right) ^ {n},}$

kde b je základ a d je počet číslic součtu 'centrálního' sloupce (ten s největším součtem).

Pro radix b = 10:

 1     |1|       |1|            |1|                     | 1|                              | 1|---   1| |1    |2| |2|        |3| |3|                | 4|  | 4|                        | 5|  | 5| 1    -----   1| |2| |1     |3| |6| |3|           | 6|  |12|  | 6|                  |10|  |20|  |10|      1 1 1   ---------    1| |3| |3| |1       | 4|  |12|  |12|  | 4|            |10|  |30|  |30|  |10|              1 2 3 2 1    -------------      1|  | 4|  | 6|  | 4|  | 1       | 5|  |20|  |30|  |20|  | 5|                           1 3 6 7 6 3 1     --------------------------      1|  | 5|  |10|  |10|  | 5|  | 1                                              1 04 10 16 19 16 10 04 01     --------------------------------                                                                             1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 011110   1111      1112           1113                    101014                             101015

Používání

V genetice je běžné použít Pascalovu pyramidu ke zjištění podílu mezi různými genotypy na stejném křížení. To se provádí kontrolou řádku, který je ekvivalentní počtu fenotypů (genotypy + 1). Ten řádek bude podíl.^{[je třeba další vysvětlení ]}

Viz také

• Multinomiální věta
• Trinomiální expanze
• Pascalův trojúhelník
• Pascalův simplex

Reference

externí odkazy

• Beyond Flatland: Geometry pro 21. století. ČÁST I: Pascalův čtyřstěn
• Pascalova pyramida nebo Pascalův čtyřstěn?
• Pascal's Simplices