Mooreovo letadlo - Moore plane
v matematika, Mooreovo letadlo, někdy také nazývané Niemytzki letadlo (nebo Nemytskii letadlo, Topologie disku tangenty Nemytskii), je topologický prostor. Je to úplně běžné Hausdorffův prostor (také zvaný Tychonoffův prostor ) to není normální. Je pojmenován po Robert Lee Moore a Viktor Vladimirovič Nemytskii.
Definice
Li je (uzavřená) horní polorovina , pak topologie lze definovat na tím, že místní základ jak následuje:
- Prvky místní základny v bodech s jsou otevřené disky v rovině, které jsou dostatečně malé, aby ležely uvnitř .
- Prvky místní základny v bodech jsou sady kde A je otevřený disk v horní polorovině, který je tečný k X osa v p.
To znamená, že místní základ je dán vztahem
Tak topologie podprostoru zdědil je stejná jako topologie podprostoru zděděná ze standardní topologie euklidovské roviny.
Vlastnosti
- Moorovo letadlo je oddělitelný, to znamená, že má spočítatelnou hustou podmnožinu.
- Moorovo letadlo je a zcela běžný Hausdorffův prostor (tj. Tychonoffův prostor ), což není normální.
- Podprostor z má, jako jeho topologie podprostoru, diskrétní topologie. Mooreova rovina tedy ukazuje, že podprostor oddělitelného prostoru nemusí být oddělitelný.
- Moorovo letadlo je nejprve spočítatelné, ale ne spočítatelné druhé nebo Lindelöf.
- Moorovo letadlo není místně kompaktní.
- Moorovo letadlo je počítatelně metakompakt ale ne metakompaktní.
Důkaz, že Moorovo letadlo není normální
Skutečnost, že tento prostor M není normální lze stanovit následujícím argumentem počítání (který je velmi podobný argumentu, že Sorgenfreyovo letadlo není normální):
- Na jedné straně spočetná sada bodů s racionálními souřadnicemi je v M; tedy každá spojitá funkce je určeno omezením na , takže tam může být maximálně mnoho nepřetržitých funkcí se skutečnou hodnotou M.
- Na druhou stranu skutečná linie je uzavřený diskrétní podprostor o M s mnoho bodů. Takže existují mnoho spojitých funkcí od L na . Ne všechny tyto funkce lze rozšířit na nepřetržité funkce M.
- Proto M není normální, protože Věta o prodloužení Tietze všechny spojité funkce definované v uzavřeném podprostoru normálního prostoru lze rozšířit na spojitou funkci v celém prostoru.
Ve skutečnosti, pokud X je oddělitelný topologický prostor s nespočetným uzavřeným diskrétním podprostorem, X nemůže být normální.
Viz také
Reference
- Stephen Willard. Obecná topologie, (1970) Addison-Wesley ISBN 0-201-08707-3.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, PAN 0507446 (Příklad 82)
- "Niemytzki letadlo". PlanetMath.