Monge – Ampereova rovnice - Monge–Ampère equation
v matematika, (skutečný) Monge – Ampereova rovnice je nelineární druhého řádu parciální diferenciální rovnice zvláštního druhu. Rovnice druhého řádu pro neznámou funkci u dvou proměnných X,y je typu Monge – Ampère, pokud je lineární v určující z Hesenská matice z u a ve druhém pořadí částečné derivace z u. Nezávislé proměnné (X,y) se v dané doméně liší D z R2. Termín také platí pro analogické rovnice s n nezávislé proměnné. Nejúplnější výsledky dosud byly získány, když je rovnice eliptický.
Monge – Ampereovy rovnice často vznikají v diferenciální geometrie například v Weyl a Minkowski problémy v diferenciální geometrie povrchů. Nejprve je studoval Gaspard Monge v roce 1784[1] a později André-Marie Ampère v roce 1820[2]. Důležité výsledky v teorii Monge – Ampereových rovnic byly získány Sergej Bernstein, Aleksei Pogorelov, Charles Fefferman, a Louis Nirenberg.
Popis
Vzhledem k tomu, dvě nezávislé proměnné X a ya jedna závislá proměnná u, obecná Monge – Ampereova rovnice má tvar
kde A, B, C, D, a E jsou funkce závislé na proměnných prvního řádu X, y, u, uX, a uy pouze.
Rellichova věta
Nechť Ω je ohraničená doména R3, a předpokládejme, že na Ω A, B, C, D, a E jsou spojité funkce X a y pouze. Zvažte Dirichletův problém najít u aby
Li
pak má Dirichletův problém nanejvýš dvě řešení.[3]
Výsledky elipticity
Předpokládejme, že teď X je proměnná s hodnotami v doméně v Rn, a to F(X,u,Du) je pozitivní funkce. Pak rovnice Monge – Ampère
je nelineární eliptická parciální diferenciální rovnice (v tom smyslu, že jeho linearizace je eliptický), za předpokladu, že člověk omezuje pozornost konvexní řešení.
V souladu s tím provozovatel L vyhovuje verzím maximální princip, a zejména řešení Dirichletova problému jsou jedinečná, pokud existují.[Citace je zapotřebí ]
Aplikace
Monge – Ampereovy rovnice vznikají přirozeně při několika problémech v roce Riemannova geometrie, konformní geometrie, a CR geometrie. Jednou z nejjednodušších z těchto aplikací je problém předepsaných Gaussovo zakřivení. Předpokládejme, že jde o funkci se skutečnou hodnotou K. je specifikováno na doméně Ω v Rn, problém předepsaného Gaussova zakřivení se snaží identifikovat hyperplochu Rn+1 jako graf z = u(X) přes X ∈ Ω tak, že v každém bodě povrchu je Gaussovo zakřivení dáno vztahem K.(X). Výsledná parciální diferenciální rovnice je
Rovnice Monge – Ampère souvisí s Monge – Kantorovich optimální problém hromadné dopravy, když je „nákladová funkce“ dána euklidovskou vzdáleností.[4]
Viz také
Reference
- ^ Monge, Gaspard (1784). "Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles". Mémoires de l'Académie des Sciences. Paříž, Francie: Imprimerie Royale. str. 118–192.
- ^ Ampère, André-Marie (1819). Mémoire contenant l'application de la théorie exhibée dans le XVII. e Cahier du Journal de l'École polytechnique, à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre. Paris: De l'Imprimerie royale. Citováno 2017-06-29.
- ^ Courant, R .; Hilbert, D. (1962). Metody matematické fyziky. 2. Vydavatelé mezi vědami. p. 324.
- ^ Benamou, Jean David; Yann Brenier (2000). „Výpočetní řešení mechaniky tekutin problému přenosu hmoty Monge-Kantorovich“. Numerische Mathematik. 84 (3): 375–393. doi:10.1007 / s002110050002.
Další odkazy
- Gilbarg, D. a Trudinger, N. S. Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Berlin: Springer-Verlag, 1983. ISBN 3-540-41160-7 ISBN 978-3540411604
- A.V. Pogorelov (2001) [1994], „Monge – Ampereova rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS