Smíšený binomický proces - Mixed binomial process

A smíšený binomický proces je speciální bodový proces v teorie pravděpodobnosti. Přirozeně vznikají z omezení (smíšený ) Poissonovy procesy ohraničené intervaly.

Definice

Nechat ${ displaystyle P}$ být rozdělení pravděpodobnosti a nechte ${ displaystyle X_ {i}, X_ {2}, tečky}$ být i.i.d. náhodné proměnné s distribucí ${ displaystyle P}$. Nechat ${ displaystyle K}$ být náhodná proměnná, která a.s. (téměř jistě) hodnoty v ${ displaystyle mathbb {N} = {0,1,2, tečky }}$. Předpokládat, že ${ displaystyle K, X_ {1}, X_ {2}, tečky}$ jsou nezávislý a nechte ${ displaystyle delta _ {x}}$ označit Diracova míra na místě ${ displaystyle x}$.

Pak náhodné opatření ${ displaystyle xi}$ se nazývá smíšený binomický proces, pokud má reprezentaci jako

${ displaystyle xi = součet _ {i = 0} ^ {K} delta _ {X_ {i}}}$

To odpovídá ${ displaystyle xi}$ podmíněně zapnuto ${ displaystyle {K = n }}$ být binomický proces na základě ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle P}$.^[1]

Vlastnosti

Laplaceova transformace

Podmíněno ${ displaystyle K = n}$, smíšený binomický proces má Laplaceova transformace

${ displaystyle { mathcal {L}} (f) = vlevo ( int exp (-f (x)) ; P ( mathrm {d} x) vpravo) ^ {n}}$

pro všechny pozitivní, měřitelná funkce ${ displaystyle f}$.

Omezení na ohraničené množiny

Pro bodový proces ${ displaystyle xi}$ a omezenou měřitelnou množinu ${ displaystyle B}$ definovat omezení${ displaystyle xi}$ na ${ displaystyle B}$ tak jako

${ displaystyle xi _ {B} ( cdot) = xi (B cap cdot)}$.

Smíšené binomické procesy jsou stabilní za omezení v tom smyslu, že pokud ${ displaystyle xi}$ je smíšený binomický proces založený na ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle K}$, pak ${ displaystyle xi _ {B}}$ je smíšený binomický proces založený na

${ displaystyle P_ {B} ( cdot) = { frac {P (B cap cdot)} {P (B)}}}$

a nějakou náhodnou proměnnou ${ displaystyle { tilde {K}}}$.

Také pokud ${ displaystyle xi}$ je Poissonův proces nebo a smíšený Poissonův proces, pak ${ displaystyle xi _ {B}}$ je smíšený binomický proces.^[2]

Příklady

Náhodné míry Poissonova typu jsou rodina tří náhodných počitadel, která jsou uzavřena s omezením na podprostor, tj. uzavřena pod ředěním, což jsou příklady smíšených binomických procesů. Jsou to jediné distribuce v kanonické nezáporné řadě výkonových řad distribucí, které vlastní tuto vlastnost a zahrnují Poissonovo rozdělení, negativní binomické rozdělení, a binomická distribuce. Náhodné míry Poissonova typu (PT) zahrnují Poissonovo náhodné měřítko, záporná binomická náhodná míra a binomická náhodná míra^[3].

Reference