Smíšený Poissonův proces - Mixed Poisson process

v teorie pravděpodobnosti, a smíšený Poissonův proces je speciální bodový proces to je zobecnění a Poissonův proces. Jednoduchý příklad jsou smíšené Poissonovy procesy Coxovy procesy.

Definice

Nechat ${ displaystyle mu}$ být lokálně konečné opatření na ${ displaystyle S}$ a nechte ${ displaystyle X}$ být náhodná proměnná s ${ displaystyle X geq 0}$ téměř jistě.

Pak náhodné opatření ${ displaystyle xi}$ na ${ displaystyle S}$ se nazývá smíšený Poissonův proces založený na ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle X}$ iff ${ displaystyle xi}$ podmíněně zapnuto ${ displaystyle X = x}$ je Poissonův proces na ${ displaystyle S}$ s míra intenzity ${ displaystyle x mu}$.

Komentář

Smíšené Poissonovy procesy jsou dvojnásobně stochastické v tom smyslu, že v prvním kroku jde o hodnotu náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ je určeno. Tato hodnota poté určuje „stochasticitu druhého řádu“ zvýšením nebo snížením původní míry intenzity ${ displaystyle mu}$.

Vlastnosti

Podmíněno ${ displaystyle X = x}$ smíšené Poissonovy procesy mají míra intenzity ${ displaystyle x mu}$ a Laplaceova transformace

${ displaystyle { mathcal {L}} (f) = exp vlevo (- int 1- exp (-f (x)) ; (x mu) ( mathrm {d} x) vpravo )}$.

Zdroje

• Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.