Minkowski – Steinerův vzorec - Minkowski–Steiner formula
v matematika, Minkowski – Steinerův vzorec je vzorec vztahující se k plocha povrchu a objem z kompaktní podmnožiny z Euklidovský prostor. Přesněji definuje povrchovou plochu jako „derivát“ uzavřeného objemu ve vhodném smyslu.
Používá se vzorec Minkowski – Steiner spolu s Brunn – Minkowského věta, prokázat izoperimetrická nerovnost. Je pojmenován po Hermann Minkowski a Jakob Steiner.
Výrok vzorce Minkowski-Steiner
Nechat
a nechte
být kompaktní sada. Nechat
označit Lebesgueovo opatření (objem) z
. Definujte množství
podle Minkowski – Steinerův vzorec

kde

označuje uzavřená koule z poloměr
, a

je Minkowského součet z
a
, aby

Povrchová míra
Pro „dostatečně pravidelné“ sady
, množství
skutečně odpovídá
-rozměrná míra hranice
z
. Úplné zacházení s tímto problémem viz Federer (1969).
Konvexní sady
Když se set
je konvexní sada, lim-inf výše je pravda omezit, a lze to ukázat

Kde
jsou některé spojité funkce z
(vidět quermassintegrals ) a
označuje míru (objem) jednotková koule v
:

kde
označuje Funkce gama.
Příklad: objem a povrch koule
Brát
dává následující známý vzorec pro povrch povrchu koule poloměru
,
:

![{ displaystyle = lim _ { delta až 0} { frac {[(R + delta) ^ {n} -R ^ {n}] omega _ {n}} { delta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2dab443dccfcaa5e285f5476539fe9f5c54406)

kde
je jako výše.
Reference