Mahlerův objem - Mahler volume

v konvexní geometrie, Mahlerův objem a centrálně symetrický konvexní tělo je bezrozměrné množství který je spojen s tělem a je neměnný pod lineární transformace. Je pojmenována po německo-anglickém matematikovi Kurt Mahler. Je známo, že tvary s největším možným objemem Mahlera jsou koule a pevné elipsoidy; toto je nyní známé jako Nerovnost Blaschke – Santaló. Stále nevyřešený Mahlerova domněnka uvádí, že minimálního možného Mahlerova objemu je dosaženo a hyperkrychle.

Definice

Konvexní tělo Euklidovský prostor je definována jako a kompaktní konvexní sada s neprázdným vnitřkem. Li B je centrálně symetrické konvexní tělo v n-dimenzionální Euklidovský prostor, polární tělo B^Ó je další centrálně symetrické tělo ve stejném prostoru, definované jako množina

${ displaystyle left {x mid x cdot y leq 1 { text {pro všechny}} y v B right }.}$

Mahlerův objem B je produktem objemů B a B^Ó.^[1]

Li T je tedy invertibilní lineární transformace ${ displaystyle (TB) ^ { circ} = (T ^ {- 1}) ^ { ast} B ^ { circ}}$; tedy platí T na B změní svůj objem o ${ displaystyle det T}$ a změní hlasitost souboru B^Ó podle ${ displaystyle det (T ^ {- 1}) ^ { ast}}$. Celkový Mahlerův objem tedy činí B je zachována lineárními transformacemi.

Příklady

Polární tělo an n-dimenzionální jednotková koule je sama o sobě další jednotkovou sférou. Jeho Mahlerův objem je tedy jen druhou mocninou jeho objemu,

${ displaystyle { frac { Gamma (3/2) ^ {2n} 4 ^ {n}} { Gamma ({ frac {n} {2}} + 1) ^ {2}}}.}$

Zde Γ představuje Funkce gama. Afinní invariantností libovolné elipsoid má stejný Mahlerův objem.^[1]

Polární tělo a mnohostěn nebo polytop je jeho duální mnohostěn nebo duální polytop. Zejména polární tělo a krychle nebo hyperkrychle je osmistěn nebo křížový mnohostěn. Jeho Mahlerův objem lze vypočítat jako^[1]

${ displaystyle { frac {4 ^ {n}} { Gamma (n + 1)}}.}$

Mahlerův objem koule je přibližně o faktor větší než Mahlerův objem hyperkrychle ${ displaystyle left ({ tfrac { pi} {2}} right) ^ {n}}$.^[1]

Extrémní tvary

Nevyřešený problém v matematice: Je Mahlerův objem centrálně symetrického konvexního těla vždy alespoň takový jako v hyperkrychli stejné dimenze? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Nerovnost Blaschke – Santaló uvádí, že tvary s maximálním Mahlerovým objemem jsou koule a elipsoidy. Trojrozměrný případ tohoto výsledku byl prokázán Wilhelm Blaschke; plný výsledek byl prokázán mnohem později Luis Santaló  (1949 ) pomocí techniky známé jako Steinerova symetrizace kterým lze libovolně centrálně symetrické konvexní těleso nahradit tělesem podobným více koulím, aniž by se zmenšil jeho Mahlerův objem.^[1]

Tvary s minimálním známým Mahlerovým objemem jsou hyperkrychle, křížové polytopy a obecněji Hanner Polytopes které zahrnují tyto dva typy tvarů a jejich afinní transformace. Mahlerova domněnka uvádí, že Mahlerův objem těchto tvarů je nejmenší ze všech n-rozměrné symetrické konvexní tělo; zůstává nevyřešeno, když ${ displaystyle n geq 4}$. Tak jako Terry Tao píše:^[1]

Hlavním důvodem, proč je tato domněnka tak obtížná, je to, že na rozdíl od horní hranice, ve které je v podstatě pouze jeden extremizér až po afinní transformace (jmenovitě koule), existuje mnoho odlišných extremizérů pro dolní hranici - nejen kostka a osmistěn, ale také výrobky z kostek a oktaedrů, polární tělesa z výrobků z kostek a oktaedrů, výrobky z polárních těles ... no, máte představu. Je opravdu obtížné představit jakýkoli druh postupu toku nebo optimalizace, který by konvergoval přesně k těmto orgánům a k žádným dalším; může být zapotřebí radikálně odlišný typ argumentu.

Bourgain & Milman (1987) prokázat, že objem Mahlera je omezen níže ${ displaystyle c ^ {n}}$ krát objem koule pro nějakou absolutní konstantu ${ displaystyle c> 0}$, odpovídající chování škálování objemu hyperkrychle, ale s menší konstantou. Výsledek tohoto typu se nazývá a zvrátit Santaló nerovnost.

Částečné výsledky

• Dvourozměrný případ Mahlerova domněnky vyřešil Kurt Mahler^[2] a trojrozměrný případ Hiroshi Iriyeh a Masataka Shibata.^[3]

• V roce 2009 Fedor Nazarov, Fedor Petrov, Dmitrij Ryabogin a Artem Zvavitch prokázali, že jednotková kostka je přísným lokálním minimalizátorem objemu Mahlera ve třídě původu symetrických konvexních těl obdařených Vzdálenost Banach – Mazur.^[4]

Poznámky

Reference

• Bourgain, Jean; Milman, Vitali D. (1987). "Nové vlastnosti objemového poměru pro konvexní symetrická těla ve Windows ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$". Inventiones Mathematicae. 88 (2): 319–340. doi:10.1007 / BF01388911. PAN  0880954..
• Santaló, Luis A. (1949). "Afinní invariant pro konvexní těla n-dimenzionální prostor ". Portugaliae Mathematica (ve španělštině). 8: 155–161. PAN  0039293.
• Tao, Terence (8. března 2007). „Otevřená otázka: Mahlerova domněnka o konvexních tělech“. Přepracováno a znovu vydáno Tao, Terence (2009). „3,8 Mahlerova domněnka pro konvexní těla“. Struktura a náhodnost: Stránky z prvního roku matematického blogu. Americká matematická společnost. 216–219. ISBN  978-0-8218-4695-7..