Kompaktní kvantová skupina - Compact quantum group
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, a kompaktní kvantová skupina je abstraktní struktura na unital oddělitelné C * -algebra axiomatizováno z těch, které existují na komutativní C * algebře „spojitých komplexních funkcí“ na kompaktní kvantové skupině.
Základní motivace pro tuto teorii vychází z následující analogie. Prostor komplexně oceněných funkcí na kompaktním Hausdorffově topologickém prostoru tvoří a komutativní C * -algebra. Na druhou stranu Gelfandova věta, komutativní C * -algebra je izomorfní k C * -algebře spojitých komplexních funkcí na kompaktním Hausdorffově topologickém prostoru a topologický prostor je jednoznačně určen C * -algebrou až homeomorfismus.
S. L. Woronowicz [1] představil důležitý koncept kompaktní maticové kvantové skupiny, kterému původně volal kompaktní pseudoskupiny. Kvantové skupiny kompaktních matic jsou abstraktní struktury, na nichž jsou „spojité funkce“ na struktuře dány prvky C * -algebry. Geometrie kvantové skupiny kompaktní matice je zvláštním případem a nekomutativní geometrie.
Formulace
Pro kompaktní topologická skupina, Gexistuje homomorfismus C * -algebry
kde C(G) ⊗ C(G) je minimální produkt tenzoru C * -algebry - dokončení algebraiky tenzorový produkt z C(G) a C(G)) - takové, že
pro všechny a pro všechny , kde
pro všechny a všechno . Existuje také lineární multiplikativní mapování
- ,
takhle
pro všechny a všechno . Přísně vzato to nedělá C(G) do Hopfova algebra, pokud G je konečný.
Na druhou stranu konečně-dimenzionální zastoupení z G lze použít ke generování a * -subalgebra z C(G) což je také Hopfova -algebra. Konkrétně pokud
je n-dimenzionální reprezentace G, pak
pro všechny i, j, a
pro všechny i, j. Z toho vyplývá, že *-algebra generováno uživatelem pro všechny i, j a pro všechny i, j je Hopf * -algebra: počet je určen
pro všechny (kde je Kroneckerova delta ), antipod je κ, a jednotka je dána
Kompaktní maticové kvantové skupiny
Jako zobecnění, a kompaktní maticová kvantová skupina je definován jako pár (C, u), kde C je C * -algebra a
je matice se záznamy v C takhle
- * -Subalgebra, C0, z C, který je generován maticovými prvky u, je hustá C;
- Existuje homomorfismus C * -algebry, nazývaný comultiplication, Δ: C → C ⊗ C (tady C ⊗ C je C * -algebraový tenzorový produkt - dokončení algebraického tenzorového produktu z C a C) takové, že
- Existuje lineární antimultiplikativní mapa, zvaná coinverse, κ : C0 → C0 takhle pro všechny a kde Já je prvek identity C. Od té doby κ je antimultiplikativní, κ(vw) = κ(w)κ(proti) pro všechny .
V důsledku kontinuity je komultiplikace zapnuta C je koassociativní.
Obecně, C je bialgebra a C0 je Hopf * -algebra.
Neformálně, C lze považovat za * -algebru spojitých komplexních funkcí nad kvantovou skupinou kompaktní matice a u lze považovat za konečně-dimenzionální reprezentaci kvantové skupiny kompaktní matice.
Kompaktní kvantové skupiny
Pro C * -algebry A a B působící na Hilbertovy prostory H a K. respektive je jejich minimální tenzorový součin definován jako normální doplnění algebraického tenzorového součinu A ⊗ B v B(H ⊗ K.); dokončení normy je také označeno A ⊗ B.
Kompaktní kvantová skupina[2][3] je definován jako pár (C, Δ), kde C je jednotná oddělitelná C * -algebra a
- Δ: C → C ⊗ C je C * -algebra unital homomorphism uspokojující (Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ;
- sady {(C ⊗ 1) Δ (C)} a {(1 ⊗ C) Δ (C)} jsou husté C ⊗ C.
Zastoupení
Reprezentace kvantové skupiny kompaktní matice je dána a základní prezentace Hopfovy algebry[4] Dále reprezentace, proti, se nazývá unitární, pokud je matice pro proti je unitární nebo ekvivalentní, pokud
Příklad
Příkladem kvantové skupiny kompaktní matice je SUμ(2),[5] kde parametr μ je kladné reálné číslo.
První definice
SUμ(2) = (C(SUμ(2)), u), kde C(SUμ(2)) je C * -algebra generovaná α a y, s výhradou
a
takže komultiplikace je určena , a coinverse je určen . Všimněte si, že u je reprezentace, ale ne jednotkové zastoupení. u je ekvivalentní jednotkové reprezentaci
Druhá definice
SUμ(2) = (C(SUμ(2)), w), kde C(SUμ(2)) je C * -algebra generovaná α a β, s výhradou
a
takže komultiplikace je určena , a coinverse je určen , . Všimněte si, že w je jednotkové vyjádření. Realizace lze identifikovat pomocí rovnice .
Mezní případ
Li μ = 1, pak SUμ(2) se rovná konkrétní kompaktní skupině SU (2).
Reference
- ^ Woronowicz, S.L. "Compact Matrix Pseudogrooups", Commun. Matematika. Phys. 111 (1987), 613-665
- ^ Woronowicz, S.L. "Kompaktní kvantové skupiny". Poznámky od http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
- ^ van Daele, A. a Maes, Ann. „Notes on compact quantum groups“, arXiv: math / 9803122
- ^ základní představa o koaliční koalicii uhlígebra A je čtvercová matice
- ^ van Daele, A. a Wang, S. "Univerzální kvantové skupiny" Int. J. Math. (1996), 255-263.