Místní tuhost - Local rigidity

Místní tuhost věty v teorii diskrétních podskupin Lež skupiny jsou výsledky, které ukazují, že malé deformace určitých takových podskupin jsou vždy triviální. Liší se od Poskytnout tuhost a slabší (ale drží častěji) než superrigidita.

Dějiny

První taková věta byla prokázána Atle Selberg pro ko-kompaktní diskrétní podskupiny unimodulárních skupin ${ displaystyle mathrm {SL} _ {n} ( mathbb {R})}$.^[1] Krátce nato podobné prohlášení prokázal Eugenio Calabi v nastavení základních skupin kompaktních hyperbolických variet. Nakonec byla věta rozšířena na všechny ko-kompaktní podskupiny poloplných Lieových skupin André Weil.^[2][3] Rozšíření na nekompaktní mřížky provedli později Howard Garland a Madabusi Santanam Raghunathan.^[4]Výsledek se nyní někdy označuje jako Calabi - Weil (nebo jen Weil) rigidita.

Prohlášení

Deformace podskupin

Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být skupina generováno konečným počtem prvků ${ displaystyle g_ {1}, ldots, g_ {n}}$ a ${ displaystyle G}$ Lieova skupina. Pak mapa ${ displaystyle mathrm {Hom} ( Gamma, G) až G ^ {n}}$ definován ${ displaystyle rho mapsto ( rho (g_ {1}), ldots, rho (g_ {n}))}$ je injekční a to dotuje ${ displaystyle mathrm {Hom} ( Gamma, G)}$ s topologií indukovaný tím ${ displaystyle G ^ {n}}$. Li ${ displaystyle Gamma}$ je podskupina ${ displaystyle G}$ pak deformace z ${ displaystyle Gamma}$ je libovolný prvek v ${ displaystyle mathrm {Hom} ( Gamma, G)}$. Dvě reprezentace ${ displaystyle phi, psi}$ jsou považovány za konjugované, pokud existuje a ${ displaystyle g v G}$ takhle ${ displaystyle phi ( gamma) = g psi ( gamma) g ^ {- 1}}$ pro všechny ${ displaystyle gamma v gama}$. Viz také odrůda znaků.

Mříže v jednoduchých skupinách, které nejsou typu A1 nebo A1 × A1

Nejjednodušší prohlášení je kdy ${ displaystyle Gamma}$ je mřížka v jednoduché Lieově skupině ${ displaystyle g}$ a druhý není místně izomorfní ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ nebo ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C})}$ a ${ displaystyle Gamma}$ (to znamená, že jeho Lieova algebra není algebrou jedné z těchto dvou skupin).

Existuje sousedství ${ displaystyle U}$ v ${ displaystyle mathrm {Hom} ( Gamma, G)}$ zařazení ${ displaystyle i: Gamma podmnožina G}$ takový, že jakýkoli ${ displaystyle phi v U}$ je konjugován s ${ displaystyle i}$.

Kdykoli takové prohlášení platí pro pár ${ displaystyle G supset Gamma}$ řekneme, že lokální tuhost platí.

Mříže v ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C})}$

Lokální tuhost platí pro kompaktní mřížky v ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C})}$. Mříž ${ displaystyle Gamma}$ v ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C})}$ který není kompaktní, má netriviální deformace vycházející z Thurstonových hyperbolická Dehnova operace teorie. Pokud však přidáte omezení, že reprezentace musí posílat parabolické prvky ${ displaystyle Gamma}$ na parabolické prvky, pak platí lokální tuhost.

Mříže v ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$

V tomto případě lokální tuhost nikdy nedrží. U kocompaktních mřížek zůstává malá deformace kocompaktní mřížkou, ale nemusí být konjugovaná s původní (viz Teichmüllerův prostor pro více podrobností). Nekompaktní mřížky jsou prakticky volné, a proto mají nemřížkové deformace.

Poloplné Lieovy skupiny

Místní tuhost platí pro svazy v polojednodušých Lieových skupinách, které poskytují druhé, nemají žádný faktor typu A1 (tj. Místně izomorfní k ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ nebo ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C})}$) nebo první je neredukovatelný.

Další výsledky

Existují také výsledky lokální tuhosti, kde se změní okolní skupina, a to i v případě, že superrigidita selže. Například pokud ${ displaystyle Gamma}$ je mříž v jednotná skupina ${ displaystyle mathrm {SU} (n, 1)}$ a ${ displaystyle n geq 2}$ pak zahrnutí ${ displaystyle Gamma podmnožina mathrm {SU} (n, 1) podmnožina mathrm {SU} (n + 1,1)}$ je místně tuhý.^[5]

Jednotná mříž ${ displaystyle Gamma}$ v jakékoli kompaktně generované topologické skupině ${ displaystyle G}$ je topologicky místně rigidní, v tom smyslu, že každá dostatečně malá deformace ${ displaystyle varphi}$ zařazení ${ displaystyle i: Gamma podmnožina G}$ je injekční a ${ displaystyle varphi ( Gamma)}$ je jednotná mřížka v ${ displaystyle G}$. Neredukovatelná uniformní mřížka v izometrické skupině jakéhokoli správného geodetického celku ${ displaystyle mathrm {CAT} (0)}$-prostor, který není izometrický k hyperbolické rovině a bez euklidovských faktorů, je místně tuhý.^[6]

Důkazy věty

Weilův původní důkaz je spojením deformací podskupiny ${ displaystyle Gamma}$ v ${ displaystyle G}$ na první kohomologie skupina ${ displaystyle Gamma}$ s koeficienty v Lieově algebře z ${ displaystyle G}$, a pak ukazuje, že tato kohomologie zmizí pro kompaktní mřížky, když ${ displaystyle G}$ nemá jednoduchý faktor absolutního typu A1. Geometrickější důkaz, který funguje i v nekompaktních případech, se používá Charles Ehresmann (a William Thurston 's) teorie ${ displaystyle (G, X)}$ struktur.^[7]

Reference