Lobachevského integrální vzorec - Lobachevsky integral formula

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice Dirichletovy integrály hrají důležitou roli v teorie distribuce. Dirichletův integrál můžeme vidět z hlediska distribucí.

Jedním z nich je nesprávný integrál funkce sinc přes kladnou skutečnou hranici

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {2 } x} {x ^ {2}}} , dx = { frac { pi} {2}}.}$

Lobachevského Dirichletův integrální vzorec

Nechat ${ displaystyle f (x)}$ být spojitá funkce uspokojení ${ displaystyle pi}$- periodický předpoklad ${ displaystyle f (x + pi) = f (x)}$, a ${ displaystyle f ( pi -x) = f (x)}$, pro ${ displaystyle 0 leq x < infty}$. Pokud integrální ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} f (x) , dx}$ je považován za nesprávný Riemannův integrál, my máme Lobachevsky je Dirichletův integrál vzorec

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {2} x} {x ^ {2}}} f (x) , dx = int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} f (x) , dx = int _ {0} ^ { pi / 2} f (x) , dx}$

Kromě toho máme následující identitu jako rozšíření Lobachevsky Dirichletův integrální vzorec^[1]

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {4} x} {x ^ {4}}} f (x) , dx = int _ {0} ^ { pi / 2} f (t) , dt - { frac {2} {3}} int _ {0} ^ { pi / 2} sin ^ {2} tf (t) , dt. }$

Jako aplikaci si vezměte ${ displaystyle f (x) = 1}$. Pak

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {4} x} {x ^ {4}}} , dx = { frac { pi} {3}}}$

Reference

• Hardy, G. H. „Integrál ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = { frac { pi} {2}},}$ Matematický věstník, Sv. 5, č. 80 (červen – červenec 1909), s. 98–103 JSTOR  3602798
• Dixon, A. C. „Důkaz toho ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = { frac { pi} {2}},}$ Matematický věstník, Sv. 6, č. 96 (leden 1912), s. 223–224. JSTOR  3604314