Teorie Littlewood – Paley - Littlewood–Paley theory - Wikipedia

v harmonická analýza, obor v matematice, Teorie Littlewood – Paley je teoretický rámec používaný k rozšíření určitých výsledků o L² funkce do L^p funkce pro 1 <p <∞. Obvykle se používá jako náhrada za argumenty ortogonality, které se vztahují pouze na L^p funkce, když p = 2. Jedna implementace zahrnuje studium funkce jejím rozložením na funkce s lokalizovanými frekvencemi a použitím Littlewood – Paley G-funkce pro porovnání s Poissonovým integrálem. Případ 1 proměnné vznikl J. E. Littlewood a R. Paley  (1931, 1937, 1938 ) a dále rozvíjeni polskými matematiky A. Zygmund a J. Marcinkiewicz ve 30. letech pomocí teorie složitých funkcí (Zygmund 2002, kapitoly XIV, XV). E. M. Stein později rozšířil teorii na vyšší dimenze pomocí technik reálných proměnných.

Dyadický rozklad funkce

Teorie Littlewood – Paley používá rozklad funkce F do součtu funkcí F_ρ s lokalizovanými frekvencemi. Existuje několik způsobů, jak takový rozklad postavit; typická metoda je následující.

Li f (x) je funkce na R, a ρ je měřitelná množina (ve frekvenčním prostoru) s charakteristická funkce ${ displaystyle chi _ { rho} ( xi)}$, pak F_ρ je definován prostřednictvím jeho Fourierova transformace

${ displaystyle { hat {f}} _ { rho}: = chi _ { rho} { hat {f}}}$.

Neformálně, F_ρ je kousek F jejichž frekvence leží vρ.

Pokud Δ je soubor měřitelných množin, které (až do míry 0) jsou disjunktní a mají sjednocení na reálné linii, pak dobře vychovaná funkce F lze zapsat jako součet funkcí F_ρ pro ρ ∈ Δ.

Když Δ sestává ze sad formuláře

${ displaystyle rho = [- 2 ^ {k + 1}, - 2 ^ {k}] pohár [2 ^ {k}, 2 ^ {k + 1}].}$

pro k celé číslo, to dává takzvaný „dyadický rozklad“ F : Σ_ρ F_ρ.

Existuje mnoho variant této konstrukce; například charakteristická funkce množiny použitá při definici F_ρ lze nahradit hladší funkcí.

Klíčovým odhadem teorie Littlewood – Paley je věta Littlewood – Paley, která ohraničuje velikost funkcí F_ρ z hlediska velikosti F. Existuje mnoho verzí této věty, které odpovídají různým způsobům rozkladu F. Typickým odhadem je svázat L^p norma (Σ_ρ |F_ρ|²)^1/2 násobkem L^p normaF.

Ve vyšších dimenzích je možné tuto konstrukci zobecnit nahrazením intervalů obdélníky se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Bohužel se jedná o poměrně speciální sady, které omezují použití na vyšší rozměry.

Littlewood – Paley G funkce

The G funkce je nelineární operátor L^p(Rⁿ), které lze použít k ovládání L^p norma funkce F pokud jde o jeho Poissonův integrál Poissonův integrál u(X,y) z F je definováno pro y > 0 o

${ displaystyle u (x, y) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} P_ {y} (t) f (x-t) , dt}$

Kde Poissonovo jádro P darováno

${ displaystyle P_ {y} (x) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi itx-2 pi | t | y} , dt = { frac { Gamma ((n + 1) / 2)} { pi ^ {(n + 1) / 2}}} { frac {y} {(| x | ^ {2} + y ^ {2}) ^ {(n + 1) / 2}}}.}$

Littlewood – Paley G funkce G(F) je definován

${ displaystyle g (f) (x) = left ( int _ {0} ^ { infty} | nabla u (x, y) | ^ {2} y , dy right) ^ {1 / 2}}$

Základní vlastnost G je to, že přibližně zachovává normy. Přesněji, pro 1 <p <∞, poměr L^p normy F a G(F) je ohraničen nahoře i dole pevnými kladnými konstantami v závislosti na n a p ale ne naF.

Aplikace

Jednou z prvních aplikací teorie Littlewood-Paley byl důkaz, že pokud S_n jsou dílčí součty Fourierovy řady periodika L^p funkce (p > 1) a n_j je uspokojivá sekvence n_j+1/n_j > q pro některé pevné q > 1, pak sekvence S_nj konverguje téměř všude. Toto bylo později nahrazeno Carleson – Huntova věta což ukazuje S_n sama konverguje téměř všude.

Teorii Littlewood – Paley lze také použít k prokázání Marcinkiewiczova multiplikační věta.

Reference

• Coifman, R. R .; Weiss, Guido (1978), „Recenze knihy: Littlewood-Paley a teorie multiplikátorů“, Bulletin of the American Mathematical Society, 84 (2): 242–250, doi:10.1090 / S0002-9904-1978-14464-4, ISSN  0002-9904, PAN  1567040
• Edwards, R.E .; Gaudry, G. I. (1977), Littlewood-Paley a teorie multiplikátorů, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-07726-8, PAN  0618663
• Frazier, Michael; Jawerth, Björn; Weiss, Guido (1991), Teorie Littlewood-Paley a studium funkčních prostorů, CBMS Regionální konferenční seriál z matematiky, 79, Publikováno pro konferenční výbor matematických věd, Washington, DC, doi:10.1090 / cbms / 079, ISBN  978-0-8218-0731-6, PAN  1107300
• Littlewood, J. E .; Paley, R. E. A. C. (1931), „Věty o Fourierových řadách a výkonových řadách“, J. London Math. Soc., 6 (3): 230–233, doi:10.1112 / jlms / s1-6.3.230
• Littlewood, J. E .; Paley, R. E. A. C. (1937), „Věty o Fourierově řadě a Power Series (II)“, Proc. London Math. Soc., 42 (1): 52–89, doi:10.1112 / plms / s2-42.1.52
• Littlewood, J. E .; Paley, R. E. A. C. (1938), „Věty o Fourierově řadě a Power Series (III)“, Proc. London Math. Soc., 43 (2): 105–126, doi:10.1112 / plms / s2-43.2.105
• Stein, Elias M. (1970), Témata harmonické analýzy související s teorií Littlewood-Paley., Annals of Mathematics Studies, No. 63, Princeton University Press, PAN  0252961
• Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometrická řada. Sv. I, II, Cambridge Mathematical Library (3. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-89053-3, PAN  1963498