Lehmersova domněnka - Lehmers conjecture - Wikipedia

Lehmerova domněnka, také známý jako Lehmerův Mahlerův problém s měřením, je problém v teorie čísel vychován Derrick Henry Lehmer.^[1] Domněnka tvrdí, že existuje absolutní konstanta ${ displaystyle mu> 1}$ takové, že každý polynomiální s celočíselnými koeficienty ${ displaystyle P (x) v mathbb {Z} [x]}$ splňuje jednu z následujících vlastností:

• The Mahlerovo opatření ${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x))}$ z ${ displaystyle P (x)}$ je větší nebo rovno ${ displaystyle mu}$.
• ${ displaystyle P (x)}$ je integrálním násobkem produktu cyklotomických polynomů nebo monomia ${ displaystyle x}$, v jakém případě ${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1}$. (Ekvivalentně každý komplexní kořen ${ displaystyle P (x)}$ je kořen jednoty nebo nuly.)

Existuje celá řada definic Mahlerova opatření, z nichž jedna je zohlednit ${ displaystyle P (x)}$ přes ${ displaystyle mathbb {C}}$ tak jako

${ displaystyle P (x) = a_ {0} (x- alpha _ {1}) (x- alpha _ {2}) cdots (x- alpha _ {D}),}$

a poté nastavit

${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | prod _ {i = 1} ^ {D} max (1, | alpha _ {i} |). }$

Nejmenší známá Mahlerova míra (větší než 1) je pro „Lehmerův polynom“

${ displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1 ,,}$

pro které je Mahlerovým měřítkem Salemovo číslo^[2]

${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1,176280818 dots .}$

Obecně se věří, že tento příklad představuje skutečnou minimální hodnotu: to znamená ${ displaystyle mu = 1,176280818 tečky}$ v Lehmerově domněnce.^[3][4]

Motivace

Zvažte Mahlerovu míru pro jednu proměnnou a Jensenův vzorec ukazuje, že pokud ${ displaystyle P (x) = a_ {0} (x- alpha _ {1}) (x- alpha _ {2}) cdots (x- alpha _ {D})}$ pak

${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | prod _ {i = 1} ^ {D} max (1, | alpha _ {i} |). }$

V tomto odstavci označte${ displaystyle m (P) = log ({ mathcal {M}} (P (x))}$ , kterému se také říká Mahlerovo opatření.

Li ${ displaystyle P}$ má celočíselné koeficienty, to ukazuje ${ displaystyle { mathcal {M}} (P)}$ je algebraické číslo tak ${ displaystyle m (P)}$ je logaritmus algebraického celého čísla. To také ukazuje ${ displaystyle m (P) geq 0}$ a to pokud ${ displaystyle m (P) = 0}$ pak ${ displaystyle P}$ je produktem cyklotomické polynomy tj. monické polynomy, jejichž všechny kořeny jsou kořeny jednoty, nebo monomiální polynom z ${ displaystyle x}$ tj. síla ${ displaystyle x ^ {n}}$ pro některé ${ displaystyle n}$ .

Lehmer si toho všiml^[1][5] že ${ displaystyle m (P) = 0}$ je důležitou hodnotou při studiu celočíselných sekvencí ${ displaystyle Delta _ {n} = { text {Res}} (P (x), x ^ {n} -1) = prod _ {i = 1} ^ {D} ( alpha _ {i } ^ {n} -1)}$ pro monické ${ displaystyle P}$ . Li ${ displaystyle P}$ potom nezmizí na kruhu ${ displaystyle lim | Delta _ {n} | ^ {1 / n} = { mathcal {M}} (P)}$ a toto tvrzení může být pravdivé, i když ${ displaystyle P}$ zmizí na kruhu. Tím byl veden k otázce

zda existuje konstanta ${ displaystyle c> 0}$ takhle ${ displaystyle m (P)> c}$ pokud ${ displaystyle P}$ není cyklotomický ?,

nebo

daný ${ displaystyle c> 0}$, jsou tam ${ displaystyle P}$ s celočíselnými koeficienty, pro které ${ displaystyle 0$?

Některé pozitivní odpovědi byly poskytnuty následovně, ale Lehmerova domněnka ještě není zcela prokázána a stále je otázkou velkého zájmu.

Částečné výsledky

Nechat ${ displaystyle P (x) v mathbb {Z} [x]}$ být neredukovatelným monickým polynomem stupně ${ displaystyle D}$.

Smyth ^[6] dokázal, že Lehmerova domněnka platí pro všechny polynomy, které nejsou reciproční, tj. všechny polynomy vyhovující ${ displaystyle x ^ {D} P (x ^ {- 1}) neq P (x)}$.

Blanksby a Montgomery^[7] a Stewart^[8] nezávisle prokázal, že existuje absolutní konstanta ${ displaystyle C> 1}$ takové, že buď ${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1}$ nebo^[9]

${ displaystyle log { mathcal {M}} (P (x)) geq { frac {C} {D log D}}.}$

Dobrowolski ^[10] vylepšil to na

${ displaystyle log { mathcal {M}} (P (x)) geq C left ({ frac { log log D} { log D}} right) ^ {3}.}$

Dobrowolski získal hodnotu C ≥ 1/1200 a asymptoticky C> 1-ε pro všechny dostatečně velké D. Voutier v roce 1996 získal C ≥ 1/4 pro D ≥ 2.^[11]

Eliptické analogy

Nechat ${ displaystyle E / K}$ být eliptická křivka definováno přes číselné pole ${ displaystyle K}$a nechte ${ displaystyle { hat {h}} _ {E}: E ({ bar {K}}) to mathbb {R}}$ být kanonická výška funkce. Kanonická výška je analogem pro eliptické křivky funkce ${ displaystyle ( deg P) ^ {- 1} log { mathcal {M}} (P (x))}$. Má tu vlastnost, že ${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) = 0}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle Q}$ je torzní bod v ${ displaystyle E ({ bar {K}})}$. The eliptický Lehmerův dohad tvrdí, že existuje konstanta ${ displaystyle C (E / K)> 0}$ takhle

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D}}}$ pro všechny nezkrutné body ${ displaystyle Q v E ({ bar {K}})}$,

kde ${ displaystyle D = [K (Q): K]}$. Pokud eliptická křivka E má komplexní násobení, pak platí analogie výsledku Dobrowolského:

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D}} vlevo ({ frac { log log D} { log D}} vpravo) ^ {3},}$

kvůli Laurentovi.^[12] Pro libovolné eliptické křivky je nejznámější výsledek

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D ^ {3} ( log D) ^ {2}}},}$

kvůli Masser.^[13] Pro eliptické křivky s neintegrálem j-invariantní, toto bylo vylepšeno na

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D ^ {2} ( log D) ^ {2}}},}$

Hindry a Silverman.^[14]

Omezené výsledky

Silnější výsledky jsou známy u omezených tříd polynomů nebo algebraických čísel.

Li P(X) tedy není vzájemný

${ displaystyle M (P) geq M (x ^ {3} -x-1) přibližně 1,3247}$

a to je jasně nejlepší možné.^[15] Pokud dále všechny koeficienty P jsou potom zvláštní^[16]

${ displaystyle M (P) geq M (x ^ {2} -x-1) přibližně 1,618.}$

Pro jakékoli algebraické číslo α, nechť ${ displaystyle M ( alpha)}$ být Mahlerovým měřítkem minimálního polynomu ${ displaystyle P _ { alpha}}$ z α. Pokud pole Q(α) je Galoisovo rozšíření z Q, pak platí Lehmerova domněnka ${ displaystyle P _ { alpha}}$.^[16]

Reference

• Smyth, Chris (2008). "Mahlerova míra algebraických čísel: průzkum". V McKee, James; Smyth, Chris (eds.). Teorie čísel a polynomy. Série přednášek London Mathematical Society. 352. Cambridge University Press. 322–349. ISBN  978-0-521-71467-9.

externí odkazy

• http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ je pěkná zmínka o problému.
• Weisstein, Eric W. „Lehmerův Mahlerův problém s měřením“. MathWorld.