Lebesgueova konstanta (interpolace) - Lebesgue constant (interpolation)

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Lebesgueovy konstanty (v závislosti na sadě uzlů a její velikosti) poskytne představu o tom, jak dobrý je interpolant a funkce (v daných uzlech) je ve srovnání s nejlepšími polynomiální přiblížení funkce (stupeň polynomů je zjevně pevný). Lebesgueova konstanta pro polynomy stupně nanejvýš n a pro soubor n + 1 uzly T je obecně označován Λ_n(T ). Tyto konstanty jsou pojmenovány po Henri Lebesgue.

Definice

Opravujeme interpolační uzly ${ displaystyle x_ {0}, ..., x_ {n}}$a interval ${ displaystyle [a, , b]}$obsahující všechny interpolační uzly. Proces interpolace mapuje funkci ${ displaystyle f}$ na polynom ${ displaystyle p}$. To definuje mapování ${ displaystyle X}$ z vesmíru C([A, b]) všech spojitých funkcí na [A, b] pro sebe. Mapa X je lineární a je to projekce na podprostoru Π_n polynomů stupně n nebo méně.

Lebesgueova konstanta ${ displaystyle Lambda _ {n} (T)}$ je definován jako norma operátora z X. Tato definice vyžaduje, abychom specifikovali normu C([A, b]). The jednotná norma je obvykle nejvhodnější.

Vlastnosti

Lebesgueova konstanta ohraničuje chybu interpolace: let str^∗ označit nejlepší aproximaci F mezi polynomy stupně n nebo méně. Jinými slovy, str^∗ minimalizuje || str −  F || mezi všemi str v Π_n. Pak

${ displaystyle | f-X (f) | leq ( Lambda _ {n} (T) +1) levá | f-p ^ {*} pravá |.}$

Zde dokážeme toto tvrzení s maximální normou.

${ displaystyle | f-X (f) | leq | f-p ^ {*} | + | p ^ {*} - X (f) |}$

podle nerovnost trojúhelníku. Ale X je projekce na Π_n, tak

str^∗ − X( F ) = X(str^∗) − X( F ) = X(str^∗ − F ).

Tím je důkaz dokončen od té doby ${ displaystyle | X (p ^ {*} - f) | leq | X | | p ^ {*} - f | = | X | | fp ^ {*} | }$. Všimněte si, že tento vztah přichází také jako speciální případ Lebesgueovo lemma.

Jinými slovy, interpolační polynom je nanejvýš faktorem Λ_n(T ) + 1 horší než nejlepší možná aproximace. To naznačuje, že hledáme sadu interpolačních uzlů s malou Lebesgueovou konstantou.

Lebesgueovu konstantu lze vyjádřit pomocí Lagrangeův základ polynomy:

${ displaystyle ell _ {j} (x): = prod _ { begin {smallmatrix} i = 0 j neq i end {smallmatrix}} ^ {n} { frac {x-x_ { i}} {x_ {j} -x_ {i}}}.}$

Ve skutečnosti máme Lebesgueovu funkci

${ displaystyle lambda _ {n} (x) = součet _ {j = 0} ^ {n} | ell _ {j} (x) |.}$

a Lebesgueova konstanta (nebo Lebesgueovo číslo) pro mřížku je její maximální hodnota

${ displaystyle Lambda _ {n} (T) = max _ {x v [a, b]} lambda _ {n} (x)}$

Není však snadné najít explicitní výraz pro Λ_n(T ).

Minimální Lebesgueovy konstanty

V případě stejně vzdálených uzlů Lebesgueova konstanta roste exponenciálně. Přesněji, máme následující asymptotický odhad

${ displaystyle Lambda _ {n} (T) sim { frac {2 ^ {n + 1}} {en log n}} qquad { text {as}} n do infty.}$

Na druhou stranu Lebesgueova konstanta roste pouze logaritmicky, pokud Čebyševovy uzly jsou používány, protože máme

${ displaystyle { tfrac {2} { pi}} log (n + 1) + a < Lambda _ {n} (T) <{ tfrac {2} { pi}} log (n + 1) +1, qquad a = 0,9625 ldots}$

Znovu usuzujeme, že Čebyševovy uzly jsou velmi dobrou volbou pro polynomiální interpolaci. Existuje však snadná (lineární) transformace Čebyševových uzlů, která dává lepší Lebesgueovu konstantu. Nechat t_i označit i-tý Čebyševův uzel. Poté definujte

${ displaystyle s_ {i} = { frac {t_ {i}} { cos left ({ frac { pi} {2 (n + 1)}} right)}}}}$

Pro takové uzly:

${ displaystyle Lambda _ {n} (S) <{ tfrac {2} { pi}} log (n + 1) + b, qquad b = 0,7219 ldots}$

Tyto uzly však nejsou optimální (tj. Neinimalizují Lebesgueovy konstanty) a hledání optimální sady uzlů (která se již za určitých předpokladů ukázala jako jedinečná) je v dnešní matematice stále zajímavým tématem. Tato sada uzlů je však optimální pro interpolaci ${ displaystyle C_ {M} ^ {n} [- 1,1]}$ soubor n krát diferencovatelné funkce, jejichž n-th deriváty jsou omezeny v absolutních hodnotách konstantou M jak ukazuje N. S. Hoang. Používat počítač, lze přiblížit hodnoty minimálních Lebesgueových konstant, zde pro kanonický interval [−1, 1]:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λn(T)	1.0000	1.2500	1.4229	1.5595	1.6722	1.7681	1.8516	1.9255	1.9917

Existuje nespočet nekonečně mnoha sad uzlů v [−1,1], které se pro fixní minimalizují n > 1, Lebesgueova konstanta. I když předpokládáme, že pro interpolaci vždy vezmeme -1 a 1 (což se nazývá a kanonický konfigurace uzlu), pak je taková sada jedinečná a nulově symetrická. Pro ilustraci této vlastnosti uvidíme, co se stane, když n = 2 (tj. Uvažujeme 3 interpolační uzly, v takovém případě není vlastnost triviální). Lze zkontrolovat, zda je každá sada (nulově symetrických) uzlů typu (−A, 0, A) je optimální, když √8/3 ≤ A ≤ 1 (uvažujeme pouze uzly v [−1, 1]). Pokud vynutíme, aby množina uzlů byla typu (−1, b, 1), pak b musí se rovnat 0 (podívejte se na Lebesgueovu funkci, jejíž maximum je Lebesgueova konstanta). Všechno libovolný (tj. nulově symetrický nebo nulově asymetrický) optimální sady uzlů v [−1,1], když n = 2 určil F. Schurer a alternativně H.-J. Rack a R. Vajda (2014).

Pokud předpokládáme, že pro interpolaci vezmeme -1 a 1 jako uzly, pak jak ukazuje H.-J. Rack (1984 a 2013) n = 3, jsou známy explicitní hodnoty optimálních (jedinečných a nulově symetrických) 4 interpolačních uzlů a explicitní hodnota minimální Lebesgueovy konstanty. Všechno libovolný optimální sady 4 interpolačních uzlů v [1,1], když n = 3 byly výslovně stanoveny ve dvou různých, ale ekvivalentních módech, H.-J. Rack a R. Vajda (2015).

The Padova body poskytnout další sadu uzlů s pomalým růstem (i když ne tak pomalým jako uzly Čebyšev) a s další vlastností být neisolventní bodová sada.

Citlivost hodnot polynomu

Lebesgueovy konstanty vznikají také v dalším problému. Nechat str(X) být polynomem stupně n vyjádřeno v Lagrangeova forma spojené s body ve vektoru t (tj. vektor u jeho koeficientů je vektor obsahující hodnoty ${ displaystyle p (t_ {i})}$). Nechat ${ displaystyle { hat {p}} (x)}$ být polynomem získaným mírnou změnou koeficientů u původního polynomu str(X) až ${ displaystyle { hat {u}}}$. Zvažte nerovnost:

${ displaystyle { frac { | p - { hat {p}} |} { | p |}} leq Lambda _ {n} (T) { frac { | u - { klobouk {u}} |} { | u |}}}$

To znamená, že (relativní) chyba v hodnotách ${ displaystyle { hat {p}} (x)}$ nebude vyšší než příslušná Lebesgueova konstanta krát relativní chyba v koeficientech. V tomto smyslu lze Lebesgueovu konstantu považovat za relativní číslo podmínky operátoru mapujícího každý vektor koeficientu u na množinu hodnot polynomu s koeficienty u ve formě Lagrange. Můžeme vlastně definovat takový operátor pro každý polynomiální základ, ale jeho číslo podmínky je větší než optimální Lebesgueova konstanta pro nejvhodnější báze.

Reference

• Brutman, L. (1997), „Lebesgueovy funkce pro polynomiální interpolaci - průzkum“, Annals of Numerical Mathematics, 4: 111–127, ISSN  1021-2655
• Smith, Simon J. (2006), „Lebesgueovy konstanty v polynomiální interpolaci“ (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 33: 109–123, ISSN  1787-5021
• Ibrahimoglu, Bayram Ali (2016), „Lebesgueovy funkce a Lebesgueovy konstanty v polynomiální interpolaci“, Journal of Nerovností a aplikací: 2016:93, doi:10.1186 / s13660-016-1030-3, ISSN  1029-242X
• Rack, H.-J. (1984), "Příklad optimálních uzlů pro interpolaci", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 15 (3): 355–357, doi:10.1080/0020739840150312, ISSN  1464-5211
• Rack, H.-J. (2013), „Příklad optimálních uzlů pro interpolaci znovu navštíven“, Pokroky v aplikované matematice a teorii aproximaceSpringer Proceedings in Mathematics and Statistics, 41: 117–120, doi:10.1007/978-1-4614-6393-1_7, ISSN  2194-1009
• Rack, H.-J .; Vajda, R. (2014), „Optimální kvadratická Lagrangeova interpolace: Extrémní uzlové systémy s minimální Lebesgueovou konstantou pomocí symbolického výpočtu“, Serdica Journal of Computing, 8: 71–96, ISSN  1312-6555
• Rack, H.-J .; Vajda, R. (2015), „Optimální kubická Lagrangeova interpolace: Extrémní uzlové systémy s minimální Lebesgueovou konstantou“ (PDF), Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica, 60 (2): 151–171, ISSN  0252-1938
• Schurer, F. (1974), „Poznámka k extrémním množinám v teorii polynomiální interpolace“, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 9: 77–79, ISSN  0081-6906
• Hoang, N. S., Distribuce uzlů pro interpolační a spektrální metody., arXiv:1305.6104, Bibcode:2013arXiv1305.6104H
• Lebesgueovy konstanty na MathWorld.